浙教版八年级上册特殊三角形常见的题目模型

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(完整版)浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习

初二几何第2单元疑难问题集锦一•选择题（共10小题）1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 1252. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 503. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（）4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（5•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形, 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ，6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（） ① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；③ 有斜边和一条直角边对应相等；④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的是（）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④D. 那么（m+n ）2的值为（25 D .无答案8. 如图，锐角△ ABC中，D、E分别是AB AC边上的点，△ ADG^A ADC, △AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）A. 52B. 42C. 76D. 7210. 如图，△ ABC面积为1,第一次操作：分别延长AB，BC, CA至点A i，B i, C i,使A1B=AB C1B=CB C1A=CA 顺次连接A1，B1，C，得到△A1B1C1 .第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1 至点A Z,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B I C1,QA1=C1A1,顺次连接A2, B2, C2,得到△ A2B2C2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过（）次操作.AA. 7B. 6C. 5D. 4二•填空题（共9小题）11. 在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有________ 个.12. 如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是_______ .13. 在Rt A ABC中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线BC上一动点D,从点B出发，以一•厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_________ 秒.（结果可含根号）. 14. 如图，已知/ AON=40，0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= ______ ,Q P N15. _________ 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30，当/ A= 时，△ AOP为直角三角形.16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，/ AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为________ .17. 如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段 PQ=AB P, Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= ________ 时，△ ABC 和 △ PQA 全等.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE 是四个全等的直角三角形.若 EF=2CB三•解答题（共11小题）20.如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D，DE丄AB, DF丄AC, E、F为垂足，求证：BE=CF21.已知：如图，△ ABC中，/ ABC=45, CD丄AB 于D，BE平分/ ABC，且BE 丄AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G. （1）求证：BF=AC22 .如图，D为AB上一点，△ ACE^A BCD, AD2+DB2=D^，试判断厶ABC的形23. 把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE, AD, AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE324. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角为钝角，并使其面积等于4.團1 圏225. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.27. 如图，在△ ACB 中，/ ACB=90 , CD 丄AB 于 D .(1) 求证：/ ACD=Z B ;(2) 若AF 平分/ CAB 分别交CD BC 于E 、F ,求证：/ CEF 2 CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B .(1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.29. 如图，在厶ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA . A n5\ C4 9 30. 已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点. （1）直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2）直线AH 丄CE 于点H ,交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BEz?相等的线段，并证明.初二几何第2单元疑难问题集锦参考答案与试题解析一•选择题（共10小题）1.如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 125【解答】解：：CE平分/ ACB, CF平分/ ACD,•••/ ACE寺/ ACB / ACF寺/ ACD,即/ ECF= (/ ACB^Z ACD) =90°,•••△ EFC为直角三角形，又T EF// BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD,•••/ ECB2 MEC=Z ECM , / DCF=/ CFM=Z MCF,••• CM=EM=MF=5 EF=10由勾股定理可知CE+CF^EFMOO.故选B.2.等腰Rt A ABC中，/ BAC=90 , D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F ,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 50【解答】解：：CEL BD ,:丄 BEF=90,vZ BAC=90,:丄 CAF=90,•••Z FAC Z BAD=90 , Z ABD+Z F=90°, Z ACF+Z F=90°,•••Z ABD=Z ACF ,•••在厶ABD 和A ACF 中ZBAD=ZCAFAB=AC, ZABD=ZACF • △ ABD ^A ACF ,• AD=AFv AB=AC D 为 AC 中点,• AB=AC=2AD=2AFv BF=ABAF=12• 3AF=12• AF=4• AB=AC=2AF=8• △ FBC 的面积是丄 X BF X AC 二 X 12X 8=48 ,2 2故选C .3•如图,将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和厶A B 拼在一起,其中点 A与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B C 若Z ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（）A . 3 - B. 6 C. 3 * D. 1汀[【解答】解：I/ ACBKAC B' =90AC=BC=3•i AB= ［「j | =3 '_,/ CAB=45,•••△ ABC 和△ A B'大I 、、形状完全相同，•••/ C' AB /=AB=45, AB =AB=3,•••/ CAB =9Q°:B C =：J-甘 J =3 ：:，故选：A .4.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90，CD 丄AB,垂足为 D , AF 平分/CAB 交v/ ACB=90，CD 丄 AB,•••/ CDA=90,•••/ CAF+/ CFA=90, / FA&/ AED=90 ,v AF 平分/ CAB•••/ CAF=/ FAD,•••/ CFA=/ AED=/ CEF ••• CE=CFv AF 平分/ CAB / ACF=/ AGF=90 ,••• FC=FGv/ B=/ B , / FGB=/ ACB=90 ,•••△ BF3A BAC, :-FGAB = AC '【解答】解：过点F 作FG 丄AB 于点G ，则CE 的长为（••• AC=3 AB=5, / ACB=90,••• BC=45•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为较短的直角边为n ，那么（m+n ）2的值为（）A . 23 B. 24 C. 25 D .无答案【解答】解：（m+n ）2=m 2+n 2+2m 门=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和(13- 1) =25.故选C .6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；=13+即CE 的长为32③有斜边和一条直角边对应相等；④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个【解答】解：①有两条直角边对应相等，可以利用 SAS 证明全等，正确;② 有两个锐角对应相等，不能利用 AAA 证明全等，错误；③ 有斜边和一条直角边对应相等，可以利用 HL 证明全等，正确；④ 有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用 AAS 证明全等，错误;⑤ 有斜边和一个锐角对应相等，可以利用 AAS 证明全等，正确；⑥ 有两条边相等，不一定可以利用 HL 或SAS 证明全等，错误；故选D .7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的是（）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④①-②得2xy=45 ③,2xy+4=49,① + ③得 x 2+2xy+y 2=94， .•.（ x+y ） 2=94，.①②③正确，④错误.故选B8. 如图，锐角△ ABC 中，D 、E 分别是 AB AC 边上的点，△ ADG^A ADC , △【解答】解: 由题意AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°【解答】解：设/ C =,Z B'=,•••△ADC^A ADC, △AEB^A AEB,•••/ ACD=/ C' =, Z ABE=Z B' =，/ BAE=Z B' AE=35•••/ C' DB Z BACACD=35+a, Z CEB =35°.•••C' / EB'// BC,•••Z ABC=/ C DB Z BACACD=35+a, Z ACB=/ CEB =3倂B,•••Z BAG Z ABO Z ACB=180, 即卩105° + a+B =180：则a+B =75：•Z BFC Z BDG Z DBE,•Z BFC=35+a+B =35+75°=110°.9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）【解答】解：依题意得，设数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为X ,则貳=122+52=169,解得x=13.故数学风车”的周长是：（13+6）X 4=76.故选：C.10. 如图，△ ABC 面积为1,第一次操作：分别延长 AB , BC, CA 至点A i , B i , C 1 ,使 A 1B=AB GB=CB GA=CA 顺次连接 A , B 1 , C ，得到△ A 1B 1C 1 .第二次操作：分别延长 A 1B 1 , B 1C 1 , C 1A 1 至点 A 2 , B 2 , C 2 ,使 A 2B 1=AB 1, B 2C 1=B I C 1 , C 2A 1=C 1A 1 , 顺次连接A 2 , B 2 , C 2 ,积比为1： 2,得到△ A 2B2C 2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过（）次操作.C. 5 D . 4 【解答】解: △ ABC 与厶A i BBi 底相等(AB=AB ),高为 1： 2 (BB i =2BC ),故面 A . 7B. 6 4S A1B1B F2.同理可得，S\CIBI（=2,S\AAIC=2,S\ A1B1C=S\ C1B1（+S\ AA1C+S^ A1B1B+S\ ABC=2+2+2+1=7；同理可证厶A2B2C2的面积=7XA A1B1C1的面积=49,第三次操作后的面积为7X 49=343,第四次操作后的面积为7X 343=2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过4次操作.故选D.二•填空题（共9小题）11 •在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10 个.【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：10.12.如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是—丄_ .【解答】解：如图，作BH 丄AC,垂足为H ,交AD 于M 点，过M 点作M N1AB, 垂足为N',则BM+M N 为所求的最小值.••• AD 是/ BAC 的平分线，••• M H=M N••• BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）,••• AB=2 / BAC=45,••• BH=AB?si n45 =乂返，！, 2••• BM+MN 的最小值是 BM +M N =B+M H=BH=[.故答案为：一二13.在 Rt A ABC 中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线 BC 上一动点 D ,从点 B 出发，以.匚厘米每秒的速度匀速运动，若点 D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_「.!.一：,—秒.（结果可含根号）.【解答】解：①如图1，当AD=BD 时，在Rt A ACD 中，根据勾股定理得到: AD 2=AC ?+CD 2, 即卩 BD ^= （8 - BD ） 2+42，解得，BD=5 （cm ）,则t=〒=.，（秒）;② 如图2,当AB=BD 时.在Rt A ABC 中，根据勾股定理得到:AB=J ; ；'=4「！•，则 A N V B（秒③如图3,当AD=AB时，BD=2BC=16则t于■弋蜃（秒）；综上所述，t的值可以是：！ . —- \ ;14•如图，已知/ AON=40, 0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= 50 或90【解答】解：当AP I ON时，/ APO=90,则/ A=50°,当PAIOA时，/ A=90°,即当△ AOP为直角三角形时，/ A=50或90°故答案为：50或90.15. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30 , 第19页（共32页）当/ A 60或90°时，△ AOP为直角三角形.【解答】解：若/ APO是直角，则/ A=90°-Z AON=90 - 30°60°,若/ APO是锐角，•••/ AON=30是锐角，•••Z A=90°，综上所述，Z A=60°或90°故答案为：60°或90°16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，Z AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为 J或4—或4 .【解答】解：如图1,当Z AMB=90时,•OM=OB=4,又TZ AOC=/ BOM=6°，•△ BOM是等边三角形，••• BM=B0=4,••• Rt A ABM 中，AM= j — =4 . 如图2,当/ AMB=90时，v O是AB的中点，AB=8, ••• OM=OA=4,又v/ AOC=60,•△ AOM是等边三角形，•AM=AO=4;如图3,当/ ABM=90时,v/ BOM=/ AOC=60,•/ BMO=3° ,•MO=2BO=2X 4=8,--Rt A BOM 中，BM二q j. =4 :;,Rt A ABM 中，AM= , . 'ir =4 7,综上所述，当△ ABM为直角三角形时，AM的长为4 -；或4 -或4.故答案为：4■或4■或4.17. 如图，在Rt A ABC中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段PQ=AB P, Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 5 或10 时，△ ABC 和厶PQA全等.【解答】解：当AP=5或10时，△ ABC和厶PQA全等,理由是：I / C=90, AO丄AC,•/ C=/ QAP=90，①当AP=5=BC时，在Rt A ACB和Rt A QAP 中fAB=PQ|BC=AP•Rt A ACB^ Rt A QAP ( HL)，②当AP=10=AC时，在Rt A ACB和Rt A PAQ中fAB=PQ 仏二AP•Rt A ACB^ Rt A PAQ( HL)，故答案为：5或10.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是第22页（共32页）正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2••• BF=BG- BF=6,•••直角△ ABF中，禾I」用勾股定理得：AB=十，厂=10・故答案是：10.19. 如图：在△ ABC中，AB=AC BC=BD AD=DE=EB 贝U/ A= 45【解答】解：：DE=EB•••设/ BDE=/ ABD=x•••/ AED=/ A=2x,•••/ BDC=/ C=/ ABC=3x 在厶ABC中，3x+3x+2x=180°, 解得x=22.5 °•••/ A=2x=22.5°X 2=45°.故答案为：45°.三.解答题（共11小题）20. 如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D , DE 丄AB , DF 丄AC, E 、F 为垂足，求证：BE=CF•••点D 在BC 的垂直平分线上,••• DB=DCv D 在/BAC 的平分线上，DE± AB, DF 丄AC, ••• DE=DFvZ DFC=z DEB=90,在 Rt A DCF 和 Rt A DBE 中，卩出DCI DMF ,••• Rt A DCF ^Rt A DBE (HL ),21. 已知：如图，△ ABC 中，Z ABC=45, CD 丄AB 于 D , BE 平分Z ABC ,且 BE丄AC 于E ,与CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .（1）求证：BF=AC【解答】解：连接DB.••• CF=BE （全等三角形的对应边相等）【解答】(1)证明：T CD 丄AB ,/ ABC=45,•••△ BCD 是等腰直角三角形.••• BD=CDv/ DBF=90-/ BFD, / DCA=90 -/ EFC 且/ BFD=Z EFC•••/ DBF=/ DCA在 Rt A DFB 和 Rt A DAC 中，ZBDF=ZCDA■-■ I -,BD=DC••• Rt A DFB ^ Rt ^ DAC (AAS ,••• BF=AC(2) 证明：v BE 平分/ ABC,•••/ ABE=/ CBE在 Rt A BEA 和 Rt A BEC 中,ZAEB=ZCEBr … ,ZABE=ZCBE••• Rt A BEA^ Rt A BEC(ASA ).••• CE=AE 二AC,2 ，又 v BF=AC••• CE 丄 BF.2 22 .如图，D 为AB 上一点，△ ACE^A BCD AD 2+DB 2=D^，试判断厶ABC 的形[ [状，并说明理由.【解答】解：△ ABC是等腰直角三角形,理由是::△ ACE^A BCD,••• AC=BC / EAC2 B, AE=BD••• A D2+DB2=DE：,••• AD2+AE2=DE?,•••/ EAD=90 ,•••/ EAOZ DAC=90 ,•••/ DAG/ B=90° °•••/ ACB=180 - 90°=90°°••• AC=BC•••△ ABC是等腰直角三角形.23•把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上,连接BE, AD , AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE【解答】证明：AF丄BE,理由如下：由题意可知/ DEC/ EDC=4O5 , / CBA=/ CAB=45 ,••• EC=DC BC=AC 又/ DCE/ DCA=90 ,•••△ ECD^PA BCA都是等腰直角三角形,••• EC=DC BC=AC / ECD/ ACB=90.在厶BEC^n^ ADC中EC=DC / ECB W DCA, BC=AC•••△ BEC^A ADC (SAS.•••/ EBC=z DACvZ DAC+Z CDA=90，/ FDB=Z CDA•••/ EBG Z FDB=90.•••Z BFD=90,即AF丄BE.24. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.（1）如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4.【解答】解：（1）以AB为对角线的正方形AEBF如图所示，正方形的周长为4.丨| .囹1(2)等腰△ EFG如图所示，&EFG^ X ■ tx「=4.11严■ ■ * ■ u r!，•■ - —|1■ . -4L_. JF■…/i N；；111_ 125. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）;（2）三边分别为：.】、2二、.II （如图2）;26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.【解答】解::△ ABC中，/ B=90 ° AB=3,••• AC=一= ：L '=5-v CD=12 AD=13. AC=5,••• AC2+CD2=AD2,•••△ ACD是直角三角形,S阴影=S\ACD—S A ABC^X 5X 12 - —X 3X 4=30- 6=24. :- :-27. 如图，在△ ACB中，/ ACB=90 , CD丄AB于D.(1)求证：/ ACD=Z B;(2)若AF平分/ CAB分别交CD BC于E、F,求证：/ CEF2 CFE【解答】证明：(1)vZ ACB=90 , CD丄AB于D,•••/ ACD F Z BCD=90，/ B+Z BCD=90,•••/ ACD=/ B;(2)在Rt A AFC中，Z CFA=90—Z CAF, 同理在Rt A AED中，Z AED=90-Z DAE 又v AF平分Z CAB•••Z CAF=/ DAE,•••Z AED=/ CFE又vZ CEF Z AED,• Z CEF Z CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B .(1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.【解答】(1)证明：I / ACB=90,•••/ 1+/ BCD=90,v/ 仁/ B,•••/ B+/ BCD=90,•••/ BDC=90,••• CD 丄 AB ;29. 如图，在△ ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA .【解答】证明：v MD 丄BC,且/ B=90°,.AB// MD ,./ BAD=/ D又v AD 为/ BAC 的平分线./ BAD=/ MAD ,•••/ D=Z MAD,••• MA=MD...CD—I IAB 10 =4.8.(2)解：v S\AB ?CD丄 AC ?BC30.已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90,点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点.（1）直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2）直线AH 丄CE 于点H ，交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE 相等的线段，并证明.•••/ ACB=90，•••/ A=Z ABC=45，Z ACE=90-Z BCF••• BF 丄 CE,•••/ CFB=90,•••/ CBG=90-Z BCF•••/ ACE W CBQ在厶ACE ft^ CBG 中，ZA=ZBCG=45&AC=BC,ZACE=ZE0G •••△ ACE^A CBG( ASA )，••• AE=CG(2)解：CM=BE 理由：•••CD 丄AB ，AH 丄CE•••/ CDE W CHM=9,，•••/ DCE ■/CEB=90，Z DCE^Z CMA=90，•••/ CEB W CMA ,在厶 BCE^n ^ ACM 中，[r ZB=ZACI!-45frZCEB=ZCMA ,t AC=BC•••△ BCE^A ACM (AAS),••• CM=BE。

浙教版八年级数学上册全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？例5：如图，点A. B. C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

浙教版八上第二章特殊三角形重难点习题

^数学辅导教案时间：年级：八年级课时数：２学员姓名：辅导科目：数学学科教师：等腰三角形和直角三角形的性质与判定授课内容逆定理的运用、勾股定理教学目标学会利用本章所学知识证明三角形问题*等腰三角形性质与判定。

《>＝＝-》"！直角三角形的性质与判定考查类型一直角三角形的三边关系（勾股定理）解题思路：①勾股定理：a、b为直角边，c为斜边，则a²+b²=c²；②一个直角三角形斜边上有高，则可以利用等面积法，即等面积计算，两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积求解。

③普通三角形的三边关系同时适用于直角三角形。

1.如图，在锐角△ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，-求AB的长．2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则求BD。

^3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．<4.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，且AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．5.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高~(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗考查类型二直角三角形斜边上的中线的应用.解题思路：①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.②直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半.6.<7.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。

求证：四边形OEFG是等腰梯形。

8.如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DE"9.过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30度.求证：3OG=DC！10.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。

等边三角形压轴必考题型归纳(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册(浙教版)

等边三角形压轴必考题型归纳【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】【题型02：平行法法构造全等三角形】【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】【方法点拨】类型一﹑平行线法构造全等三角形：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形相关的性质时非常有用。

类型三﹑截长补短法：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另一边，从而构造出全等三角形。

这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。

【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．【变式1-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC 上的动点．（1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．（2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？【变式1-2】如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由．（2）试说明AE∥BC的理由．（3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE ∥BC？请说明理由．（4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由．【题型02：平行法法构造全等三角形】【典例2】如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当E为AB的中点时，则AE______DB（填“>”“<”或“=”）．(2)如图2，当E为AB边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，若△ABC的边长为2，AE=3，求CD的长．【变式2-1】如图，在等边△ABC中，点M为AB上任意一点，延长BC至点N，使AM=CN，连接MN交AC于点P．(1)求证：MP=NP；(2)作MH⊥AC于点H，设AB=a，请用含a的式子表示PH的长度．【变式2-2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AC的延长线上取点E，使得BD=CE，求证：DG=GE．【变式2-3】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，(1)提出问题：①请用无刻度的直尺和圆规过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）②试猜想ED与AD(2)解决问题：①AB+AC_______2AD（填“>”“=”或“<”）.②若AB=3，AC=5，则AD长度的取值范围为_______．(3)拓展应用：如图②，CE，CB分别是△ABC和△ADC的中线，AB=AC，直接写出CD与CE的数量关系．【变式2-4】某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边△ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究：(1)特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“>”“<”或“=”）；(2)特例启发，解答题目：当点E不是边AB的中点时，如图2，可过点E作EF∥BC，交AC于点F，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断AE与DB的大小关系，并完成解答过程；(3)总结方法，解决新题：在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，直接写出CD的长．【变式2-4】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．小星的思路是：(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“>”，“<”或“=”）；(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE DB（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整）证明：过点E作EF∥BC交AC于点F．(3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC2，AE=4，求CD的长．【变式2-5】（综合与实践）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“>”、“<”或“=”）；(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE______DB（填“>”、“<”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）：(3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（直接写出结果）．【变式2-6】已知：△ABC中，AB=AC点D是BC的中点．(1)如图1，DE⊥AB，DF⊥AC．垂足分别为E、F．求证：DE=DF；(2)若BC=AC．点E在AB的延长线上．且∠EDF=120°①如图2，若点F（恰好在AC上），求证：DE=DF；②如图3，若点F在CA的延长线上，BC=5，BE=4，直接写出AF的长．【变式2-7】已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED=EC．(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系：AE______DB（填“>”“<”或“=”）(2)如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(3)如图3，在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．【变式2-8】已知，在等边△ABC中，点E在射线AB上，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．【特殊情况】（1）如图①，当点E为边AB的中点时，线段AE与线段DB的数量关系是：AE_________DB（填“>”“<”或“=”）；【特例引路】（2）如图②，当点E为AB边上任意一点时，过点E作EF∥BC，交AC于点F，试确定线段AE与线段DB的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图③，当点E在边AB的延长线上时，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．【变式2-9】数学课上，李老师出示了如下框中的题目．如图1，边长为6的等边△ABC中，点D沿线段AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G．求线段AC与EG的数量关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况·探索结论当点D恰好在点B处时，易知线段AC与EG的关系是：______（直接写出结论）(2)特例启发·解答题目猜想：线段AC与EG是（1）中的关系，进行证明：辅助线为“过点D作DH∥BC交AC于点H”，请你利用全等三角形的相关知识完成解答；(3)拓展结论·设计新题如果点D运动到了线段AB的延长线上（如图2），刚才的结论是否仍成立？请你说明理由．【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】【典例3】已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°．小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD．通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程．【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=20°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数；②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数．【变式3-1】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AB=AC，D是AC上一点．CE⊥BD于点E，连接AE．(1)求∠AEB的度数；(2)若BE=10，CE=4，求△AEC的面积．【变式3-2】如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图①，若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD；【类比探究】如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．【变式3-3】△ABC为等边三角形，点D为边AC上一点，点E在直线BC上，连接DE，在直线DE右侧作等边三角形DEF，连接CF．(1)如图1，当点D与点A重合时，点E在BC边上，BE与CF相等吗？说明你的理由；(2)如图2，点D不与点A、C重合，点E为边BC上一动点，直接写出CD，CE，CF三条线段的数量关系；(3)若AC=6，点D为AC中点，BE=1，则CF的长为______ ．【变式3-4】如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD与BC于点D，P是BA延长线上一点，O是线段AD上一点，OP=OC，连接OB．(1)求证：△OPC是等边三角形；(2)求证：AB=AO＋AP．。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合能力测试题1(附答案详解)

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形单元综合能力测试题1（附答案详解）1．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．24πB．22πC．1 D．22．已知一元二次方程x2﹣6x+9=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．10 B．10或8 C．9 D．83．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°4．以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．8，15，17 C．3，4，7 D．6，8，10 5．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．②⑤B．②④C．③⑤D．①⑤6．下列几组数中，为勾股数的是（）A．13，14，15B．3，4，6C．5，12，13D．0.9，1.2，1.57．O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（）A3B5C7D．38．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是( ).A．6B．26C．22＋2D．2510．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A．2B．3C．5D．211．在镜中看到的一串数字是“80008”，则这串数字是______________12．在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC 上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A1A2为第1条线段.设AA1=A1A2=A2A3=1，则∠A =_____；若记线段A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数），如A1A2=a1,A3A4=a2，则此时a2=_______，a n=________（用含n的式子表示）.13．轴对称图形对应点连线被________，对应角对应线段都________．14．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=22，则∠ABC的大小为________度．16．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为____________ .17．如图，在凸四边形ABCD 中，AB=BC=BD ，∠ABC=80°，则∠ADC 等于_______18．已知点P （x ，x+y ）与点Q （5，x ﹣7）关于x 轴对称，则点P 的坐标为_____． 19．如图①，在边长为4cm 的正方形ABCD 中，点P 以每秒2cm 的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 停止.过点P 作PQ //BD ，PQ 与边AD(或边CD)交于点Q ，PQ 的长度()y cm 与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P 运动2.5秒时，PQ 的长度是______cm ．20．如图，长方体ABCD —A 1B l C l D 1中，AD ＝3，AA l ＝4，AB ＝5，则从A 点沿表面到C l 的最短距离为______．21．如图，ABC 中，AB AC =，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠．（1）求证：BDE ≌CEF ；（2）若40A ∠=，求EDF ∠的度数．22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？23．在如图所示的5×5网格中，小方格的边长为1.(1)图中格点正方形ABCD的面积为________；(2)若连接AC，则以AC为边的正方形的面积为________；(3)在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为_____．24．在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，、的垂直平分线交于点.（1）求证：；（2）设交轴于点，若，求点的坐标；（3）作交轴于点，若，求点的坐标.25．如图，D 是△ABC 的BC 边上的一点，∠B =40°，∠ADC=80°．（1）求证：AD=BD ；（2）若∠BAC=70°，判断△ABC 的形状，并说明理由．26．如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足2)60a b b -+-=（，OC ∶OA =1∶3．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、．当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG =HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．27．如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC 为8m ，宽AB 为1m ，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m ，宽2.3m ．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．28．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A、B 是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是多少米？参考答案1．C【解析】【分析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，利用等腰直角三角形的性质得，∠A=∠B=45°，OC ⊥AB ，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt △AOP ≌△COQ 得到AP=CQ ，接着利用△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形得到PE=2AP=2CQ ，QF=2BQ ，所以PE+QF=2BC=1，然后证明MH 为梯形PEFQ 的中位线得到MH=12，即可判定点M 到AB 的距离为12，从而得到点M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M 所经过的路线长．【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴，BQ ，∴PE+QF=2（CQ+BQ）=2BC=22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 2．A【解析】【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案．【详解】解方程x2−6x+9=1可得x=2或x=4，当△ABC的底为2时，则三角形的三边长为2、4、4，满足三角形三边关系，其周长为10，当△ABC的底为4时，则三角形的三边长为4、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，∴△ABC的周长为10.故答案选：A.【点睛】本题考查了三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及根据因式分解法解一元二次方程.3．C【解析】【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【详解】当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；当50°是底角时也可以．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．4．C【解析】【分析】根据勾股定理逆定理逐个分析即可.如果a2+b2=c2,那么以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 【详解】因为52+122=132;82+152=172;32+42≠72;62+82=102所以，以5，12，13；8，15，17；6，8，10为长度的三条线段能组成直角三角形，以3，4，7为长度的三条线段不能组成直角三角形.故选C【点睛】本题考核知识点：勾股定理逆定理. 解题关键点：熟记勾股定理逆定理.5．A【解析】试题分析：右边的图案中由两种基本图形拼接而成，分别是②⑤，左上方和右下方的基本图形是②，左下方和右上方的基本图形是⑤考点：图形拼接点评：本题考查图形拼接，考查学生的观察图形的能力6．C【解析】【分析】可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据这个概念进行判断即可. 【详解】A：13，14，15不是整数，故其不为勾股数；B：222346+≠，故其不为勾股数；C：22251213+=，故其为勾股数；D：0.9，1.2，1.5不是整数，故其不为勾股数.故选:C.【点睛】考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键.7．B【解析】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，由旋转的性质，得BO=BO′，∴△BO′O为等边三角形，由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，∴∠CO′O=150°-60°=90°，又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC=2222+=+=．O O O C''125故选B．8．B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，所以逆命题成立的只有一个，故选B.【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.9．C【解析】【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AC的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．【详解】作AC的中点D，连接OD、DB，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵D是AC中点，∴OD=12AC=2， ∵BD=22222=2+，OD=12AC=2， ∴点B 到原点O 的最大距离为2+22，故选D ．【点睛】此题主要考查了两点间的距离，以及勾股定理的应用，本题的难度较大，理解D 到O 的距离不变是解决本题的关键． 10．C 【解析】∵展开后由勾股定理得：AB 2=12+（1+1）2=5， ∴AB=5，故选C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 11．80008【解析】根据镜面对称可得这串数字是80008，故答案为：80008. 12．22.5︒ 12+ (112n -+【解析】∵A 1A 2=A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴△A 1A 2A 3为等腰直角三角形， ∴∠A 2A 1A 3=45°，又AA 1=A 1A 2， ∴∠A =∠AA 2A 1，又∠A 2A 1A 3为△AA 2A 1的外角， ∴∠A =∠AA 2A 1=12∠A 2A 1A 3=22.5°；∵AA1=A1A2=A2A3=1，∴A1A2=a1=1；在Rt△A1A2A3中，根据勾股定理得：A1A3，∴AA3=A3A4=a2=AA1+A1A3；同理AA5=A5A6=a3=AA3+A3A5（）=（）2；以此类推，a n=（）n-1．故答案为：22.5°；；（）n-1．点睛：此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形的外角性质，属于规律型题，锻炼了学生归纳总结的能力，是中考中常考的题型．13．对称轴垂直平分相等【解析】【分析】根据轴对称图形对应点和对应角的性质可解得此题.【详解】根据轴对称图形的性质：轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应角对应线段都相等．【点睛】此题考查了学生轴对称图形知识，掌握轴对称图形的性质是解决此题的关键.14．5或4【解析】【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13-5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13-5×2=3（cm），能够组成三角形．故答案为：4或5．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质与三角形的三边关系，解题时要注意分类讨论思想的运用． 15．30或150 【解析】如图，作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ACD 中，∵AC=3、cos ∠ACB=223，∴CD=ACcos ∠ACB=3×223=22，则AD=()2222322AC CD -=-=1，①若点B 在AD 左侧，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若点B 在AD 右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案为30或150．16．96m 2 【解析】试题解析：如图，连接AC ．在△ACD 中，∵AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， ∴AC=15m ，又∵AC 2+BC 2=152+202=252=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC 的面积-△ACD 的面积=12×15×20-12×9×12=96（平方米）．故答案为：96m 2． 17．140° 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得1902ADB ABD ∠=︒-∠，1902CDB CBD ∠=︒-∠，由于∠ADC=∠ADB+∠CDB ，∠ABC=80°，依此即可求解．【详解】 ∵AB =BC =BD ，∴11909022ADB ABD CDB CBD ，，∠=︒-∠∠=︒-∠ ∴11909022ADC ADB CDB ABD CBD ∠=∠+∠=-∠+-∠11180()1808018040140.22ABD CBD =-∠+∠=-⨯=-=故答案为140. 【点睛】考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和，得到190,2ADB ABD ∠=︒-∠ 190,2CDB CBD ∠=︒-∠是解题的关键.18．（5，2）【解析】试题解析：由点P （x ，x+y ）与点Q （5，x ﹣7）关于x 轴对称，得 x=5，x+y=7﹣x ．解得x=5，y=﹣3，点P 的坐标为（5，2）.点睛：对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．19．【解析】【分析】根据运动速度乘以时间，可得P 的位置，根据线段的和差，可得CP 的长，最好根据勾股定理，可得PQ 的长度．【详解】由题可得：点P 运动2.5秒时，P 点运动了5cm ，此时，点P 在BC 上，853cmCP∴=-=，Rt PCQ中，由勾股定理，得223332cmPQ=+=，故答案为：32．【点睛】本题考查了动点函数图象，依据点P的位置，利用勾股定理进行计算是解题关键．20．74【解析】【分析】A点沿表面到C l共有三种情况，一是经平面AB1，A1C1，二是经平面AB1，BC1，三是经平面AC，BC1，画出三种情况下的图形，并利用勾股定理进行求解，最后比较三个结果，最小的即为答案．【详解】从A点沿表面到C l的情况可以分为以下三种：与A1B1相交，如下图示：此时174AC②与BB1相交，如下图示：此时180AC=③与BC相交，如下图示：此时190AC=综上,从A点沿表面到C l7474【点睛】考查多面体表面上的最短路径问题，利用数形结合思想，根据两点之间，线段最短，用勾股定理求解即可.21．（1）证明见解析；（2）55°．【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质可得到∠CEF=∠BDE，可证△BDE≌△CEF；（2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数．【详解】（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE．∵AB =AC ，∴∠C =∠B ．又∵CE =BD ，∴△BDE ≌△CEF ．（2）∵△BDE ≌△CEF ，∴DE =FE ． ∴△DEF 是等腰三角形，∴∠EDF =∠EFD ． ∵AB =AC ，∠A =40°，∴∠B =70°．∵∠DEF =∠B ，∴∠DEF =70°，∴∠EDF =∠EFD =12×（180°﹣70°）=55°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22．（1）该城市会受到这次台风的影响（2）415小时（3）6.5级【解析】试题分析：（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A 到BC 的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A 作AD BC ⊥于D ，AD 就是所求的线段 Rt △ABD 中，有ABD ∠的度数，有AB 的长，AD 就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A 为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC 上的线段的长即EF 得长，可通过在Rt AED △和Rt AFD 中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D 点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．试题解析：(1)该城市会受到这次台风的影响。

浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件

知识结构框架图如下:
等腰三角形
等腰三角形的性质: 轴对称性
在同一个三角形中, 等边对等角
底边上的高、中线、顶角平分线三线合一
特
殊
三角
等边三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性质和判定直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
又会有几个等腰三角形？
A
BE＋CF=EF仍然成立吗？
E
OF
B
C
例2、如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD 相交于E点，由这些条件你能推导出哪些结论呢？请说明理由。
D
A
E
C
B
在网格中已有两个点A、B，现要在格点上寻找一个点C，使△ABC为等腰三角形。
① 已知BC=7cm，
D是AB的中点，CD
AD平分∠CAB，BC=10，
BD=7，求点D到
E
AB的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点E C
D
B
∵∠C= 90°， DE⊥AB ,AD平分∠CAB，
∴CD=D(E角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ BC=10，BD=7
∴DE=CD=BC-BD=10-7=3
2 .如图，D为等腰三角形ABC底边BC
有两个角互余的三角如果三角形中两边的平方和等于第三边的平
形是直角三角形
方，那么这个三角形是直角三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性质和判定直角三角形的性质

浙教版八年级数学上册第二章《特殊三角形》专题提升直角三角形的判定与性质

2020学年浙教版第二章《特殊三角形》专题提升：直角三角形的判定与性质专题一：直角三角形的性质例1：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB上的一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，∠DCA= ∠DAC.有下列结论:①∠DCB= ∠B；②CD= 12AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E= 30°，则DE= EF+ CF.其中正确的是 _________ （填序号）.变式1 - 1 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1= 6，S3= 15，则S2 = _________ .变式1 - 2 在△ABC中，AB =8，BC = 1，∠ABC = 45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD = 90°，连结CD，则线段CD的长为 _________ .专题二：直角三角形的判定例2：如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD相交于点E，∠1 = ∠2.求证:△ABC是直角三角形.变式2 - 1 有下列结论:①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC 的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+ AC2= AB2，则∠A= 90°；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C= 1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形.其中错误的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个变式2 - 2 在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 2:1:1，则△ABC是 _________ 三角形.巩固练习1.（大连中考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D.若E是AB的中点，CD = DE = a，则AB的长为A.2aB.22aC.3aD.334a2.如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 3，CD = 13，AD = 12，则四边形ABCD 的面积为（）A.12B.24C.36D.483.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 _________ m.4.在△ABC中，∠A= 50°，∠B= 30°，点D在AB边上，连结CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 _________ .5.如图，以正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，且四边形EFGH为正方形，这样的图形我们称为弦图.将正方形ABCD放入右边每个小正方形的边长为1的网格中，若正方形的四个顶点A，B，C，D和四个直角顶点E，F，G，H都在格点上，我们把这样的图形称为格点弦图，问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为5时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_________ .6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA = 6，PB = 8，PC = 10，则∠APB = _________ .7.（温州中考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数.（2）若CD = 2，求DF的长.8.（1）如图①，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2 + b2 = c2.该结论也称为勾股定理.证明:∵大正方形的面积可表示为S = c2，又可表示为S = 4 ×12ab + （b-a）2，∴4 ×12ab + （b-a）2 = c2，∴a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形，如图②，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.（3）如图③，∠ABC = ∠ACE = 90°，请你添加适当的辅助线证明结论:a2 + b2 = c2.。

浙教版数学八年级上册第2章《特殊三角形》测试题(Word版)

浙教版数学八年级上册第2章《特殊三角形》测试题（Word 版）A. 32B. 16C. 8D. 6(第6题)【解】∵△A1B1A2 是等边三角形，∴A1A2＝A1B1，∠B1A1A2＝60°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2－∠MON＝30°，∴A1B1＝OA1＝1，∴A1A2＝1，∴OA2＝2.同理，A2B2＝2，A3B3＝4，A4B4＝8，A5B5＝16，A6B6＝32，∴△A6B6A7 的边长为32.7．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝(C)(第7题) A. a＋b B. b＋cC. a＋cD. a＋b＋c【解】∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.又∵∠ABC＝∠CDE＝90°，AC＝CE，∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴AB＝CD.同理可证得△PQM≌△MFN，∴PQ＝MF.∵CD2＋DE2＝AB2＋DE2＝a，MF2＋FN2＝PQ2＋FN2＝c，又∵S1＝AB2，S2＝DE2，S3＝PQ2，S4＝FN2，∴S1＋S2＋S3＋S4＝AB2＋DE2＋PQ2＋FN2＝a＋c.( D ) 8．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是A. ①②③B.①②④C. ②③④D.①③④(第8 题)【解】①作∠ABC 的平分线与AC 交于点D，则△ABD 和△BCD 为等腰三角形．②不能分成两个小的等腰三角形．③作∠BAC 的平分线与BC 交于点D，则△ABD 和△ACD 为等腰三角形．④过点A 作∠BAD＝36°交BC 于点D，则△ABD 和△ACD 为等腰三角形．二、填空题(每小题4 分，共24 分)9．已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝53°．10．若等腰三角形的两边长分别为4 和8，则周长为20 ．11．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是如果一个三角形两边上的高相，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．12．如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线DE 与AC，BC 分别交于D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是直角三角形．【解】∵∠B＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.又∵∠DEC＝∠A，∴∠DEC＋∠C＝90°，∴△EDC 是直角三角形．,(第 12 题)) ,(第 13 题))13．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝30°，以直角顶点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥AC 于点 E .若 DE ＝a ，则△ABC 的周长用含 a 的代数式表示为(6＋ 2 3)a ．【解】 ∵∠BAC ＝90°，DE ⊥AC ，∠C ＝30°，∴BC ＝2AB ，CD ＝2DE ＝2a ，∠B ＝60°. ∵AB ＝AD ，∴∠BDA ＝∠B ＝60°，∴∠DAC ＝∠BDA －∠C ＝30°＝∠C .∴AD ＝CD ＝2a .∴AB ＝AD ＝2a .∴BC ＝4a .∴AC 22BC AB -22(4)(2)a a - 2 3.∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2a ＋4a ＋3＝(6＋3a .(第14题) 14．如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt △ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰直角三角形 ACD ，再以 Rt △ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直角三角形 ADE ……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为15.5 ．AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°， ∴CA DC .∴ABC S ∆=12 AB ·BC ＝12×1×1＝12，ACD S∆=12 AC ·CD ＝121.同理，S △ADE ＝2，S △AEF ＝4，S △AFG＝8.∴图形总面积＝12＋1＋2＋4＋8＝1152三、解答题(共 44 分)15．(8 分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是 BC 延长线上一点，D 为 AC 边上一点，AE ＝BD ，且 CE ＝CD .求证：BC ＝AC .(第15题)【解】 ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACE ＝90°.⎪⎧BD ＝AE ，在 Rt △BCD 和 Rt △ACE 中，∵⎨ ⎩⎪CD ＝CE ，∴Rt △BCD ≌Rt △ACE (HL )．∴BC ＝AC .16．(10 分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点 E 在 CA 的延长线上，∠E ＝∠AFE ，请判断 EF 与 BC 的位置关系，并说明理由．(第16题)【解】 EF ⊥BC .理由如下：过点 A 作 AD ⊥BC 于点 D ，延长 EF 交 BC 于点 G . ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAC ＝2∠CAD .又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，∴∠BAC＝2∠E.∴∠CAD＝∠E.∴AD∥EF.又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC. 17．(12 分)一牧童在A 处牧马，牧童的家在B 处，A，B 处距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C，D 两地间的距离也为500 m，天黑前牧童从点A 将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．(2)问：他至少要走多少路？(第17题)【解】(1)如解图①，作点A 关于河岸的对称点A′，连结BA′交河岸于点P，此时PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′，所走的路程最短，故牧童应将马赶到河边的点P 处．(第17 题解)(2)如解图②，过点A′作A′B′⊥BD 交BD 的延长线于点B′.易知四边形A′B′DC 是长方形，∴B′A′＝CD＝500，B′D＝A′C＝AC＝500.在Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝1200，A′B′＝500，∴BA′＝12019＋5002＝1300(m)．答：他至少要走1300 m.18．(14 分)如图，D 为等腰直角三角形ABC 内的一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE＝CA.(第18 题)(1)求证：DE 平分∠BDC.(2)若点M 在线段DE 上，且DC＝DM.求证：EM＝BD.【解】(1)在等腰直角三角形ABC 中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴AD＝BD.又∵AC＝BC，DC＝DC，∴△ADC≌△BDC(SSS)．∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDE＝∠EDC，∴DE 平分∠BDC.(2)连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC 是等边三角形，∴CM＝CD，∠DMC＝∠MDC＝60°，∴∠EMC＝∠ADC＝120°.又∵CE＝CA，∴∠CEM＝∠CAD. ∴△EMC≌△ADC(AAS)．∴EM＝AD.∴EM＝BD.。

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八年级上册第二章特殊三角形
一、将军饮马
例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（）
A 、3
B 、10
C 、9
D 、9
【变式训练】
1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（）
A 、2
B 、2
C 、4
D 、
2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为
3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为
4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ．（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值
E
B
C
A
D
P
第2题
B
O
A
P
C
D
第1题
B
O
A
C
N
第3题
A
E
二、等腰三角形中的分类讨论
例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为
（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为
（3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为
【变式训练】
1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为
2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为
3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数
5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为
6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为
7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置
三、两圆一线定等腰
例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，
使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个
B
【变式训练】
1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
2、在平面直角坐标系中，若点A（2，0），点B（0，1），在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到个．
3、在坐标平面内有一点A（2，），O为原点，在x轴上找一点B，使O，A，B为顶点的三角形为等腰三角形，写出B点坐标
4、平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，-3），试在y轴上找一点P，使△APB为等腰三角形，求点P的坐标
5、如图1，已知一次函数分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=OB．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由
四、折叠问题
例4：如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点D 落在线段BC 的点F 处，则线段DE 的长为
【变式训练】
1、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点B 落在对角线AC 的点F 处，则线段BE 的长为
B
B
B
B
2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，若，则折痕EF的长为
3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿AC将矩形折叠，使得点B落在点E处，则线段EF的长为
4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好
落在EF上的P点处．
（1）求点M、P的坐标；
（2）求折痕AM所在直线的解析式；
（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三
角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
例5 如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线．
（1）如果BD=CE，那么△ABC是等腰三角形，请说明理由；
（2）如果∠A=60°，取BC中点F，连结点D、E、F得到△DEF，请
判断该三角形的形状，并说明理由；
（3）如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE
【变式训练】
1、如图，点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．
（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2；
（2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由
2、问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）填空：∠AEB的度数为；
拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M 为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．
全等之三垂直（K型图）
例1 如图，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE求证：AC=BF,BC=EF
1、如图，已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF求证：AB=CE
G
E
A
2、已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AG ⊥CE ，AG=CE 求证：AG=CF
3、如图：已知，AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠ABC=90°，AB=AC ，求证：AE=BD ，BE=CD
4、如图，点A 是直线在第一象限内的一点；连接OA ，以OA 为斜边向上作等腰直角三角形OAB ，若点A 的横坐标为4，则点B 的坐标为
5、已知：如图，点B,C,E 在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE 证明：△ACB ≌△CFE
E
A
B
D C
G
E
A
60°
60°
60°
F
A
E
全等之手拉手模型
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC
1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC
（2）AE=DC
（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
3、如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
5、两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a
连接AE与CD.
问（1）△ABE≌△DBC是否成立？
（2）AE是否与CD相等？
（3）AE与CD之间的夹角为多少度？
（4）HB是否平分∠AHC？
钢架中的等腰三角形
例 1 如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架．若
AB=BC=CD=DE…一直作下去，那么图中这样的钢条至多需要根
1、如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A= ．
2、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，量得
∠BP5P4=100°，则∠A=（）度．
A．10 B．20 C．15 D．25
3、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A的取值范围．
4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若
AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是。