圆周运动——绳球杆球模型
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圆周运动中的绳杆模型
当环对小球的弹力向下时：
解得小球的速率
21
例6、如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距 球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面 内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用 力，则下列说法正确的是（ ）
A．数据a与小球的质量无关 B．数据b与小球的质量无关 C．比值 只与小球的质量有关，
与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量
和圆周轨道半径
.
练4、如图所示，质量为M＝1kg的薄壁细圆管竖直放置在固定的底座上，圆管内部光
滑，圆半径比细管的内径大得多．已知圆的半径R＝0.4m，一质量m＝0.5kg的小球，
二、杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周
运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，
杆的受力与速度的关系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度为v1时，
杆的受力与速度的关系怎样？
A
杆球模型：
B
F3 v2
mg F2
o
F1
v1 A mg
最低点： 最高点：
F1
A．2m/s C．4m/s
B．3m/s D．5m/s
例2、如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝
0.4m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给小球一水平向右的初
速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足（g＝10m/s2）（ ） ①v0≥0 ②v0≥4m/s ③v0≥2 m/s ④v0≤2 m/s
圆周运动的绳杆模型
圆周运动绳杆模型讲解学习
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
圆周运动-杆模型(王平)
面在竖直平面内作圆周运动，杆长l=40cm； 求：1）在最高点速度为3m/s，求杆上的弹力和方 向。 2）在这种模型中，小球过最高点有速度限制吗？ 请说明原因。
三、杆—球模型
例3：在上题中，若小球在竖直放置的半径 为40cm的光滑圆管内作圆周运动，运动到 最高点的速度为3m/s，求小球的受力情况。
练习
如图示，轻杆长3L，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为 3m的B球，杆上距A球为L处的O点安装在水平转轴上，杆在 转轴的带动下在竖直面内以角速度ω匀速转动，试问： （1）若A球运动到最高点时，杆OA对球A有力作用，此时水
平轴的力多大？ （2）当杆转动的角速度为多少时，杆处于竖直位置时水平轴
刚好不受力作用？
圆周运动——杆模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆周运动解题一般步骤：
（1）明确研究对象； （2）确定在哪个平面做圆周运动,
找圆心和半径； （3）确定研究的位置，受力分析，
分析哪些力提供了向心力； (4）据向心力公式列方程。
杆的模型:
如图所示的有物体支承的小球,在竖直平面作圆周运动:
临界条件：硬杆支撑 最高点的临界速度为零 在最高点 mg±FN=mv2/L
解法：小球在A点的速度大于 gl 时，杆受到 拉力，小于时，杆受压力。
V0= gl＝ 10 0.5m／s＝ 5 m／s 由于v＝2.0 m／s＜ 5 m／s，我们知道： 过最高点时，球对细杆产生压力。
小球受重力mg和细杆的支持力N
由牛顿第二定律 mg－N＝m 2
N＝mg－m 2＝6.0N
L
故应选 B。 L
O
例1：
长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的 小球A，A绕O点做圆周运动，在A通过最高 点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
三、杆—球模型
例3：在上题中，若小球在竖直放置的半径 为40cm的光滑圆管内作圆周运动，运动到 最高点的速度为3m/s，求小球的受力情况。
练习
如图示，轻杆长3L，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为 3m的B球，杆上距A球为L处的O点安装在水平转轴上，杆在 转轴的带动下在竖直面内以角速度ω匀速转动，试问： （1）若A球运动到最高点时，杆OA对球A有力作用，此时水
平轴的力多大？ （2）当杆转动的角速度为多少时，杆处于竖直位置时水平轴
刚好不受力作用？
圆周运动——杆模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆周运动解题一般步骤：
（1）明确研究对象； （2）确定在哪个平面做圆周运动,
找圆心和半径； （3）确定研究的位置，受力分析，
分析哪些力提供了向心力； (4）据向心力公式列方程。
杆的模型:
如图所示的有物体支承的小球,在竖直平面作圆周运动:
临界条件：硬杆支撑 最高点的临界速度为零 在最高点 mg±FN=mv2/L
解法：小球在A点的速度大于 gl 时，杆受到 拉力，小于时，杆受压力。
V0= gl＝ 10 0.5m／s＝ 5 m／s 由于v＝2.0 m／s＜ 5 m／s，我们知道： 过最高点时，球对细杆产生压力。
小球受重力mg和细杆的支持力N
由牛顿第二定律 mg－N＝m 2
N＝mg－m 2＝6.0N
L
故应选 B。 L
O
例1：
长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的 小球A，A绕O点做圆周运动，在A通过最高 点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
5.7生活中的圆周运动(轻绳轻杆模型)
A （2）当小球在最高点B的速度为v1 时，杆的受力与速度的关系怎样？
轻杆模型
B
F3 v2
mg
F2
o
F1
v1 A mg
最低点： F1
mg
m
v12 L
最高点：
F2 mg
m v22 L
mg
-
F3
m
v22 L
轻杆模型
B F3
v2
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
mg
F2
o
mg
-
F3
m
grvf??00gv2gf1v1f2f3结论当当????????????内壁对球有向上的支持力力当当????????????外壁对外壁对球有向下的支持力轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下也可能等于零弹力可能向下可能向上也可能等于零轻绳模型轻杆模型受力示意图力学方程mgftmv2rmgfnmv2r临界特征ft0即mgmv2r得得vgrv0即f向0此时时fnmgvgr的意义物体能否过最高点的临界点fn表现为拉力还是支持力的临界点剧终
A
mg FN
v2 mg FN m r
思考：小球过最高点的最小速度是多少?
FN 0, v0 gr
结论
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须
满足： v gr
轻 杆 模 型
轻杆模型
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球 在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的 受力与速度的关系怎样？
临界速度：F 0,v0 gR
结论
微课：绳杆模型圆周运动最高点分析(罗新勇)
专题：绳、杆模型最高点受力分析 （竖直平面内圆周运动）
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：
匀速圆周运动之绳杆模型
第3讲 匀速圆周运动及其应用
匀速圆周运动 角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀 速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终 指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终 与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析 对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的 边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动 属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动
匀速圆周运动 角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀 速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终 指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终 与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析 对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的 边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动 属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动
5.7竖直面圆周运动(绳杆模型)
自由转动，细杆长0.5m，小球质量为0.5kg，现给小
球一初速度使它做竖直面圆周运动，求:小球通过最
高点时,下列两种情况下杆对球作用力的大小。
(g=10m/s2) （1）过最高点时小球的速率为1.0m/s;
(1)FN
2N
（2）过最高点时小球的速率为4.0m/s. (2)F拉 15N
学以致用
练习：小球在最高点的速度由零逐减增大的过程中
BD
C 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无
作用力
D 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对
小球一定有作用力
小结：竖直面圆周运动最高点的临界问题
模型图
细绳
mA
r O
细杆
mA
r O
小球的 受力情况
最高点 的速度
B
重力、 绳的拉力
vA gr
B
重力、杆的拉 力或支持力
vA 0
m v临 2 r
v临＝ gr vmin
mv r
O
v临＝ gr vmin
m
v
(1)当v
gr时，mg
m
v2 r
即：F拉 0
O
r
物体恰能做完整的圆周运动
(2)当v＞
gr时，mg
F拉
m
v2 r
即：F拉
v2 m
r
mg
物体能做完整的圆周运动,F拉随v的增大而增大。
(3)当v gr时，物体不能做完整的圆周运动，即还 未到达最高点就已经脱离了轨道
【演示】水流星
学以致用
O
例1:绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运 动，成为“水流星”，水的质量m=0.5kg,绳长 L=0.4m,求：(g=10m/s2) ⑴求水桶经过最高点时水不流出的最小速率？ ⑵水在最高点速率V=4m/s时，桶底对水的压力？
六周 圆周运动绳杆模型
专题训练（第六周）―――圆周运动中的两种模型一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）.类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.）①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；④当v >gr 时，杆对小球提供 力.类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。