和差化积 积化和差公式
04-积化和差与和差化积（教案）
四、 积化和差与和差化积【知识提要】【知识提要】积化和差与和差化积等公式：积化和差与和差化积等公式：积化和差：积化和差： 和差化积：和差化积：sin α·cos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)]； sin α+sin β=2sin 2b a +·cos2ba -； cos α·sin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)]； sin α-sin β=2cos 2ba +·sin2b a -； cos α·cos β=12[cos(α+β)+cos(α-β)]； cos α+cos β=2cos 2b a +·cos2ba -； sin α·sin β= -12[cos(α+β)-cos(α-β)] 。
cos α-cos β= -2sin2b a +·sin 2ba -。
【例题解析】【例题解析】1． 求证：sin3θsin 3θ+cos3θcos 3θ=cos 32θ.（课本例题）（课本例题）证明：左边=sin 2θ(sin3θsin θ)+cos 2θ(cos3θcos θ) =12sin 22θ(cos2θ-cos4θ)+12cos 22θ(cos4θ+cos2θ) =12cos2θ(sin 2θ+ cos 2θ)+12cos4θ(cos 2θ- sin 2θ) =12cos2θ+12cos4θcos2θ=12cos2θ(1+cos4θ)=12cos2θ×2 cos 22θ= cos 32θ=右边。
右边。
∴ 原式成立。
原式成立。
2． 已知α+β=23p ，且0≤α≤2p ，求y =sin αsin β的最大值和最小值。
的最大值和最小值。
解：由α+β=23p ，得β=23p-α, ∴ y =sin αsin β=12-[cos 23p -cos(2α-23p )]=14+12cos(2α-23p) ∵ 0≤α≤2p，-23p ≤2α-23p ≤3p当α=3p时，y 取得最大值34；当α=0时，y 取得最小值0. 3． 求证：在△ABC 中，cos A +cos B +cos C =1+4sin2A sin2Bsin2C.（课本例题）（课本例题）证明：∵A +B +C =π，∴，∴C =π-A -B ∴ 2C =2p -2A B+. cos A +cos B +cos C = cos A +cos B -cos(A +B )=2cos 2A B +cos 2A B -+1-2cos 22A B + =1+2cos 2A B +( cos2A B -- cos2A B +)==1+4 sin 2A sin2B sin2C . 4． 已知sin sin 3(cos cos ),,(0,)2pa b b a a b +=-Î，求a b -的值的值 解：2sin()cos()23sin()sin()2222a b a b a b b a+-+-×=-×,(0,)2pa b Î， sin()02a b +¹，3tan()23a b -=，a b -=3p5． 已知3sin sin 5a b +=，4cos cos 5a b +=， 分别求出cos(α-β),cos(),sin()a b a b ++,tan αtan β的值的值 解：3sin sin 5a b += （1） 4cos cos 5a b += （2） (1)2+(2)2得：2+2 cos(α-β)=1，∴，∴ cos(α-β)=12-由（1）得：2sin()2a b +cos()2a b -=35 (3) 由（2）得：2cos()2a b +cos()2a b -=45(4) (3)(4): 3tan()24a b +=, ∴ cos()a b +=725,sin()a b +=2425. cos(α-β)=12-ècos αcos β+sin αsin β=12- (5) cos()a b +=725 è cos αcos β-sin αsin β=725(6) 由（5）、（6）解得：cos αcos β=11100- ，sin αsin β=39100- ∴ tan αtan β=39116． 若a 、b 为锐角，且满足2cos(a +b )+2(sin a +sin b )-3=0，求a ，b 的值。
三角函数的积化和差与和差化积公式
三角函数的积化和差与和差化积公式三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而三角函数的积化和差与和差化积公式是三角函数中常用的变形公式。
本文将详细介绍三角函数的积化和差与和差化积公式以及其应用。
一、三角函数的积化和差公式1. 正弦函数的积化和差公式：对于任意两个角A和B，正弦函数的积化和差公式可以表示为：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式常用于将正弦函数的和差形式转化为积的形式。
2. 余弦函数的积化和差公式：对于任意两个角A和B，余弦函数的积化和差公式可以表示为：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式常用于将余弦函数的和差形式转化为积的形式。
二、三角函数的和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：对于任意两个角A和B，正弦函数的和差化积公式可以表示为：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式常用于将正弦函数的积形式转化为和差的形式。
2. 余弦函数的和差化积公式：对于任意两个角A和B，余弦函数的和差化积公式可以表示为：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式常用于将余弦函数的积形式转化为和差的形式。
三、应用示例下面通过几个具体的应用示例来说明三角函数的积化和差与和差化积公式的应用。
例1：已知sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)和sin(A-B)的值。
根据三角函数的积化和差公式，可以得到：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB = (3/5)(4/5) + sqrt(1 - (3/5)^2) * sqrt(1 - (4/5)^2) = 12/25 + sqrt(1 - 9/25) * sqrt(1 - 16/25) = 12/25 +sqrt(16/25) * sqrt(9/25) = 12/25 + 4/5 * 3/5 = 12/25 + 12/25 = 24/25sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB = (3/5)(4/5) - sqrt(1 - (3/5)^2) * sqrt(1 - (4/5)^2) = 12/25 - sqrt(1 - 9/25) * sqrt(1 - 16/25) = 12/25 - sqrt(16/25) * sqrt(9/25) = 12/25 - 4/5 * 3/5 = 12/25 - 12/25 = 0所以，sin(A+B) = 24/25，sin(A-B) = 0。
三角函数和差化积与积化和差公式口诀
三角函数和差化积与积化和差公式口诀三角函数是高中数学中的一个重要内容，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决数学问题中，我们常常会用到三角函数的和差化积与积化和差公式，这两个口诀是帮助我们简化计算的重要工具。
三角函数的和差化积公式是指将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积，从而简化计算过程。
对于正弦函数和余弦函数来说，和差化积公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB对于正切函数来说，和差化积公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这两个公式的使用可以大大简化计算过程，特别是在解决三角函数的和差问题时，能够显著提高解题效率。
而积化和差公式则是将两个三角函数的积转化为一个三角函数的和或差，同样也是为了简化计算过程。
对于正弦函数和余弦函数来说，积化和差公式如下：sinAcosB = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)]cosAsinB = 1/2 [sin(A + B) - sin(A - B)]对于正切函数来说，积化和差公式如下：tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)积化和差公式的使用也能够帮助我们简化计算，特别是在解决三角函数的积问题时，能够提高解题效率。
通过掌握三角函数的和差化积与积化和差公式，我们可以更加灵活地运用三角函数来解决各种问题。
下面我们通过几个例子来说明这两个公式的具体应用。
例1：计算sin75°根据和差化积公式，可以将75°分解为45°+30°，即sin75° = sin(45°+30°)。
和差化积公式
和差化积公式
积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。
积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。
积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2
sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2
cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2
cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2
铁氰化钾和差记忆口诀
积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
表述：
（1）积化和差最后的结果是和或者差；
（2）若两项相加，后者为cos项，则铁氰化钾和高的结果为两项相乘；若不是，则结果为两项相乘；
（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；
（4）若两项相加，两项均为sin，则铁氰化钾和高的结果前面挑负号。
三角函数和差化积与积化和差公式口诀
三角函数和差化积与积化和差公式口诀三角函数的和差化积公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosb∓sinasinbtan(a±b)=tanatanb1∓tanatantanbcot(a±b)=cotacotb1∓cotacotbsec(a±b)=secasecb1±tanatanbcosec(a±b)=coseccosecb1±cotacotb这些公式是非常重要的，它们能够将不同角度的三角函数表达式相互转化，方便我们在解题过程中灵活运用。
而如果我们需要将两个三角函数的乘积展开为和差形式，我们可以利用积化和差公式来进行转化：sinacosb=12[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=12[cos(a-b)-cos(a+b)]tanatanb=1tanatglntanb利用这些公式，我们可以将三角函数的乘积转化为和差形式，从而简化计算过程。
同时，这些公式也可以反过来使用，将和差形式的三角函数表达式转化为乘积形式。
上面提到的公式在解决三角函数相关的问题时非常有用，尤其是在求解实际问题中经常会用到。
因此，熟练掌握这些公式的推导方法和应用技巧是非常重要的。
最后，我们可以用一个口诀来帮助记忆这些重要的公式：“正弦积备要异余弦和商期同基性正切秒余割商第取反”通过这个口诀，我们可以更加方便地记忆三角函数的和差化积与积化和差公式，从而在解决相关问题时能够更加灵活地运用这些公式。
总之，三角函数的和差化积与积化和差公式是解决三角函数问题的关键工具，在解题过程中的灵活运用将能够大大提高我们的解题效率和准确度。
希望大家能够通过学习和练习，熟练掌握这些公式，为解决相关问题打下坚实的基础。
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式积化和差公式和和差化积公式是数学中非常基础的一种公式，应用广泛。
下面我们来了解一下这两个公式的含义以及如何应用。
积化和差公式是指对于两个数$a$和$b$，有如下公式：$a\cdot b=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$
这个公式的实际应用非常广泛，比如我们在做二次方程
$ax^2+bx+c=0$的求根公式时，可以先用这个公式将$b^2-4ac$化简成和式，之后再使用求根公式进行计算。
另一个非常基本的公式是和差化积公式，可以将两个数的和或差化成它们的积的形式。
具体来说，这个公式是：
$a+b= (a-b)+2b$
$a-b= (a+b)-2b$
$a\cdot b= \dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$
这个公式可以用于各种场合，比如求平方差、化简表达式、求和式等等。
尤其是在高中数学中，一些复杂的三角公式和行列式的求解都需要用到和差化积公式。
除此之外，还有一些和积分、微积分、概率统计等有关的应用场景，也可以使用这两个公式进行变形和简化。
总之，对于学习数学的
人来说，掌握积化和差公式和和差化积公式是非常基础的一步，有助于更好地理解和应用各种数学知识。
高中教育数学必修第二册《4.2.4 积化和差与和差化积公式》教学课件
α＋β ∴③÷④得 tanα＋2 β＝32，∴sin(α＋β)＝1＋2tatann2α2＋2 β＝1123.
方法归纳 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可 能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类 题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况．
跟踪训练 1 已知 sinθ＋π6sinθ－π6＝2110，求 tan θ.
2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式 cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
解析：原式＝21sin α(cos 2α－cos 120°) ＝21sin αcos 2α＋14sin α ＝41(sin 3α－sin α)＋41sin α ＝41sin 3α.
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研 例 3 求证：cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
＝2cos α2cos β2.
答案：(1)21sin198°－41
αβ (2)2cos 2cos 2
题型一 利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研 例 1 若 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，求 sin(α＋β)的值．
解析：已知 cos α－cos β＝12，①
sin α－sin β＝－13，② 将①②两式左边和差化积，得－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12，③ 2cosα＋2 βsinα－2 β＝－31，④ 由④得 cosα＋2 β≠0，sinα－2 β≠0，
和差化积积化和差
和差化积1概述正弦、余弦的和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式以上公式可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。
证明：由和角公式有，两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。
正切的和差化积tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明）cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ）tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ）tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ）=sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边∴等式成立2注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然生动的口诀：（和差化积）帅+帅=帅哥[1]帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然语文老师教的口诀：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]另一口诀：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]另另一种口诀（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]3记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
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和差化积积化和差公式
和差化积积化和差是一组数学公式，被广泛应用于代数中的因式分解和展开等问题。
这两个公式的推导过程相似，但运用的角度不同，可以相互转化使用。
我们来看和差化积公式。
和差化积公式可以将一个和式表示为一个乘积。
它的形式如下：
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
这个公式的意义在于，它可以将一个二次项的差式表示为一个乘积，简化了计算过程。
例如，我们可以将(a+3)(a-3)展开，得到的结果是a^2 - 3^2，也就是a^2 - 9。
接下来，我们来看积化和差公式。
积化和差公式可以将一个乘积表示为一个和式。
它的形式如下：
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
这个公式的意义在于，它可以将一个二次项的差式表示为一个和式，便于进行因式分解等计算。
例如，我们可以将16x^2 - 9展开，得到的结果是(4x+3)(4x-3)。
和差化积公式和积化和差公式是代数中的重要工具，它们可以帮助我们简化计算、解决因式分解等问题。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用这两个公式的情况，因此掌握它们的推导和运用方法是非常重要的。
总结一下，和差化积公式和积化和差公式是代数中常用的公式，它们可以将一个和式和一个乘积相互转化使用。
通过运用这两个公式，我们可以简化计算、解决因式分解等问题，提高数学的应用能力。
希望大家能够理解和掌握这两个公式，并能灵活运用于实际问题中。