武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第四章解答

因式分解讲义

因式分解讲义课题因式分解学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。学习重点重点：因式分解的概念与提公因式法。难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。学习方法讲解法练习法学习内容与过程教师分析与批改一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？（1）单项式乘以单项式（2）单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3）多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？（1）两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2）两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算（1）3a （a －2b ＋c ）（2）（a ＋3）（a －3）（3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？（1）32a －6ab ＋3ac=（）（）（2）2a －9=（）（）（3）2a ＋4ab ＋42b =（）（）（4）2a －6ab ＋92b =（）（）把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ）说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。结论：因式分解与整式乘法正好相反。三、巩固练习

因式分解复习专题讲义知识点典型例题

因式分解复习一、基础知识 1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂。（2）公式法： ①常用公式平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。（4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

因式分解的四种方法(讲义)

因式分解的四种方法（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？ ? 知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分

解． 2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时要提出负号； ③提公因式后项数不变．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a 和b ．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-；

因式分解专题复习讲义

因式分解专题复习讲义教学内容【内容回顾】 1.计算 (1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982 （5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值

3.指出下列各多项式的公因式：（1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; （3）a2－4=（a+2）（a－2）; （4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 【知识精讲】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。

（一）提公因式法 1、公因式多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。（二）公式法 1.平方差公式 a 2－ b 2 =(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=（a ±b ）2 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. （三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2

初二数学人教版因式分解_讲义

初二数学因式分解辅导教案因式分解的常用方法第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且

，则的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解：三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：

一元二次函数解法辅导讲义

课题一元二次方程的解法重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法教学内容一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8

练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （使方程右边为零）方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=

讲义一：《因式分解》专题辅导讲义

因式分解专题辅导讲义一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。例题精选1：把4224b a b a -因式分解。解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=- 解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。例题精选2：把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+= 评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。例题精选3：把44b 4a +因式分解。解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+ )b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到

因式分解讲义适合基础的

因式分解讲义适合基础的集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法： 1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-；完全平方公式 ()2 222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。 4【课前回顾】 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）（A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m （C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )，（A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 3 3．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2 （C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()2 22y x y x +=+ 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．（A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12 6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：

因式分解讲义(适合基础的)

因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法： 1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。 2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-；完全平方公式 ()2 222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。 4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）（A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m （C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )，（A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 3 3．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2 （C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()222y x y x +=+ 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．（A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12 6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12 经典例题讲解：

因式分解讲义doc资料

环球雅思学科教师辅导教案

(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； (2 )取相同的字母，字母的指数取较低的； (3 )取相同的多项式，多项式的指数取较低的 (4 )所有这些因式的乘积即为公因式? 4、注意事项：多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示： 1、将下列各式分解因式： (1)3a(x y)-2b(x y); (2)12(m n)218(m n)3 4; (3)3(2x y)6( y 2x)3; (4) 1 2 a b(2P 3 2 2 2 q) . ab (q p ) 4 8 2、下列分解因式结果正确的是() A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x) B. x3 2x2 x x(x22x) 2 2 C. a(a b) ab(a b) a(a b) D. 3x n 6xn 3xn(x 2) 提高练习 1、如果b-a=—6, ab=7，那么a2b ab2的值是() A.42 B. —42 C.13 D. —13 3 2 2 2、若4x —6x =2x(2 x+k)，贝U k= ______ . 3.2( a—b)3—4(b—a)2=2(a—b)2( ________ ). 4.36 X 29—12X 33=

5、分解因式 2 2 ⑴(x y)(x y) (x y) ⑵8a(x y) 4b(y x) 6. 计算与求值 29X 20.03+72 X 20.03+13 X 20.03 —14X 20.03. 7、.先化简，再求值 1 1 a(8 —a)+ b(a—8) —c(8 —a)，其中a=1, b= , c=. 2 2 1 8、已知2x y - , xy 2，求2x4y3 x3y4的值. 8 方法二?公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 F面我们就来学习用公式法进行因式分解

整式乘法与因式分解辅导讲义(word完整版)

整式乘法与因式分解【知识框架】【知识点&例题】知识点一：“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： ⑴多重负号的化简例如：[] (3)3 (3)3 -+-=. ---=-；[] ⑴有理数乘法例如：(3)(2)(6)36 -?-?+=. -?-?-=-，而(3)(2)(6)36 ⑴有理数乘方例如：2 -=-. (3)27 (3)9 -=，3 特别地：当n为奇数时，()n n a a a a -=. -=-；而当n为偶数时，()n n 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.

知识点二：幂运算同底数的幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： ,m n 都是正整数）．例1：()()()854 x y y x x y -?-?- 【变式一】已知：240x y +-=，求：1233x y -的值【变式二】计算：() ()2008200922-+- 幂的乘方：幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：,m n 都是正整数）．: 例2：()()23 211n n a a -+? 【变式一】若5n a =，2n b =，则()32n a b = 【变式二】已知105a =，106b =，求2310a b +的值积的乘方：积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， n 是正整数）．例3：()322ab - 【变式一】()()35232xy y --- 【变式二】已知25n x =，求61 55 n x -的值

人教版八年级上册14.3因式分解讲义(含知识点、例题、作业、无答案)

因式分解讲义因式分解知识精讲一．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：2222(),2()a ab a a b x yx y x y -=-++=+等．因式分解与整式乘法是互逆过程．因式分解要注意以下几点： 1．分解的对象必须是多项式； 2．分解的结果一定是几个整式的乘积的形式； 3．要分解到不能分解为止．二．提公因式法如多项式()am bm cm m a b c ++=++，其中叫做这个多项式各项的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．找公因式的三步： 1．公因式的系数——找各因式系数的最大公约数． 2．公因式的字母——各因式中相同的字母． 3．相同字母指数——取各字母指数的最低次幂．三．公式法 1．平方差公式： ()()22a b a b a b -=+-．即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积．例如：()()()2 2249232323x x x x -=-=+-． 2．完全平方公式： ()2 222a ab b a b ±+=±其中，222a ab b ±+叫做完全平方式．即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．例如： ()()()222 2241292223323x xy y x x y y x y -+=-??+=-．例题讲解一：概念例1.1.1下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）（1）2 (1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323623x y x y =? （4）24(2)(2)x x x -=+- （5）3229633(32)a a a a a a -+=- A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

因式分解(讲义)(含答案)

因式分解（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：______________________________________． 2. 探索新知：39999-能被100整除吗？小明是这样做的： 3229999 9999991 99(991) 999800 9998100-=?-?=?-=?=?? 所以39999-能被100整除．类比小明的做法，请说明38989-能被90整除．

? 知识点睛 1. _________________________________________，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式． 2. 多项式各项都含有的___________，叫做这个多项式各项的公因式． 3. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把_________ 提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法．运用提公因式法需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时，先提出负号； ③提公因式后项数不变． 4. 公式法：利用__________把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．“两项”通常考虑___________，“三项”通常考虑_____________．运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a 和b ． 5. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-； ③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ??++=++ ???； ⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-． 2. 因式分解（提公因式法）：（1）33x x -；（2）32520y y +；解：原式= 解：原式= （3）2212246a b ab ab -+；（4）32a a a --+；

因式分解四种方法(讲义)

因式分解的四种方法（讲义）课前预习 1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗小明是这样做的： 32299999999991 99(991)99(991)(991)9998009998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗你是怎样想的（3）3m m -能被哪些整式整除知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点： ①___________________________； ②___________________________； ③___________________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法的时候需要注意两点： ①___________________________； ②___________________________．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．

因式分解讲义(适合0基础的)

例：x 2 y xy 2 p(x y) q(y x) x(a b) y(a b) 知识网络详解: 因式分解的基本方法: 1 2 因式分解、提公因式法一一如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。、运用公式法一一把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个: 平方差公式 a 2 b 2 a b a b ；完全平方公式 a 2 2ab b 2 、分组分解法一一适当分组使能提取公因式或运用公式。要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。、十字相乘法【课前回顾】 1.下列从左到右的变形，其中是因式分解的是( (A ) 2 a b 2a 2b (B ) (C ) x 2 2x 1 x x 2 1 b b 1 2.把多项式—8a 2b 3 + 16a 2b 2 c 2— 24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是 (D ) (D ) (A ) — 8a 2bc (B ) 2a 2b 2c 3 3?下列因式分解中，正确的是( (A ) 3m 2 6m m 3m 6 (C ) x 2 2xy y 2 x (C )— 4abc 2 (B ) a b (D ) x 2 4?下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是( (A ) a 2 4 (B ) a 2 2 (C ) 5.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是 ( ab 2 y ) 4 2 (A ) 4x — 1 2 (B ) 4x + 4x — 1 2 (C ) x —xy + y 2 6.若 4x 2 mx (A ) 3 9是完全平方式，则 m 的值是( (B ) 4 ( C ) 12 经典例题讲解: 提公因式法: m 2 a ( 24a ab b 1 ), 3b 3c 3 a a b 2 y (D ) a 2 4 x 2 — x + - (D )± 12 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律

因式分解的四种方法(讲义)解析

解． 2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点： ①___________________________； ②___________________________； ③___________________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法的时候需要注意两点： ①___________________________； ②___________________________．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-；

初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b) ； (2 ) (a ±b)2 = a 2 ±2ab+b 2 ——— a 2 ±2ab+b 2 =(a ±b)2 ；例.已知a b c ，，是ABC 的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A.直角三角形B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca 2 2 2 () () () 0a b b c c a a b c 选C 练习 (1))(3) (2x y b y x a (2) 122 2 b ab a (3) （x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2 －18a ； (6)9a 2(x －y)＋4b 2 (y －x)； (7) (x ＋y)2 ＋2(x ＋y)＋1.

(完整版)2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义

2018-2019学年八年级（上）数学-专属教案整式的乘法与因式分解知识点平方差公式:(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算 ) A ．(x ＋y )(x ＋y ) B ．(－x ＋y )(x －y ) C ．(－x －y )(y －x ) D ．(x ＋y )(－x －y ) 解析：A 中含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B 中(－x ＋y )(x －y )＝－(x －y )(x －y )，含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C 中(－x －y )(y －x )＝(x ＋y )(x －y )，含x 的项符号相同，含y 的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D 中(x ＋y )(－x －y )＝－(x ＋y )(x ＋y )，含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C. 方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【类型二】直接应用平方差公式进行计算 (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【类型三】平方差公式的连续使用求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋ 1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1. 方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．【类型四】应用平方差公式进行简便运算 (1)2013×1923 ；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．

因式分解经典讲义(精)

第二章分解因式【知识要点】 1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。 ②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。 ③分解因式要分解到不能再分解为止。 2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以，分解因式和整式乘法为_______关系。 3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。 ②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。 4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________ 注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：（1）32 41626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+ （3）2 ()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--