中国石油大学(华东)线性代数期末复习总结(老师ppt)

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a 4、设 A c
d
1 d b b 1 c a ad bc 。 且ad bc 0, 则A =
1 2 2 n 1 。 3
5、设向量组 α 1 ,α 2 , ,α r 与β 1 ,β 2 , ,β t 等价，且
| A B || AE EB |
| AB 2 A 2 B | | A | | B A | | B |
第一章到第五章：复 习 要 点
第一章
第二章 第三章 第四章 第五章
逆序数的计算、行列式的性质及计算；
解矩阵方程、伴随矩阵的性质、用矩阵的初等 变换解题； 向量的线性相关性讨论、矩阵及向量组的秩 的讨论、求向量组的秩和最大无关组； 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的结构的讨论； 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换
化二次型为标准形）、正定性判别。
线性代数中的 “一、二、三、四、五、六”
一种基本运算： 矩阵的初等变换。 两大主线： 向量与矩阵。 三种矩阵关系： 等价、相似、合同。 四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵； 3. 相似变换 ; 4. 特征值和特征向量的讨论. 五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型 。 六个重要知识点： 1. 行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件; 3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相关性讨论; 5. 线性方程组的解的讨论 ; 6. 二次型化简（或对称阵化 为对角阵）。
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.
04年考研题
解 将原式化为 ( A 2 E )BA* E
| A 2 E || B || A* || E | 1 0 1 0 | A 2 E | 1 0 0 1, 0 0 1
2
1 | A* || A | 9, 所以| B | . 9
例 3 设 An 为 n 阶行列式, 证明 A1 ,A2， …， An ,… 是一 个等差数列，并由此求出 An . 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 An 0 1 2 0 0 0 0 0 1 2 解
β 1 ,β 2 , ,β t 线性无关，则 r 与 t 间满足 r t
1 2 4 5 6. 设方阵A 2 x 2 与 4 2 1 则x , y的值 x 4, y 5
。 7、设 A是 3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 2， - 4， 8 。
| 1 2 3 , 2 3 3 , 2 3 |
2 | 1 2 3 , 2 , 3 | 2 | 1 , 2 , 3 | 2 | A | 2.
c3 c2
2 1 0 例 2 设矩阵A 1 2 0 , 矩阵B满足 0 0 1 ABA* 2 BA * E , 其中A * 为的伴随矩阵 , E是单位矩阵 , 则 | B |
所以等差数列的首项为 2，公差为1，由此可得
An n 1.
例4
设 A, B 都是n阶方阵，且 A 2 E , B 2 E ,
由条件知 | A | 1， | B | 1,
且 | A | | B |
| A | | B | 0, 证明： | A B | 0.
证
| A || B | 1
9、若二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 x 2 x 3 2 x1 x 2 tx 2 x 3
是正定的，则t的取值范围是
2t 2
。
2 3 10、若 n阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为a, 则数 a 一
定是矩阵 2 A1 3 E 的特征值。
例 1 设 1 , 2 , 3 均为3维向量, 记矩阵 A ( 1 , 2 , 3 )
一、填空 1、 6 阶行列式中项 a 23a 41a 35a16a 52a 64 的符号为 + 。 2、已知向量组
a1 1 2 1 1, a 2 2 0 t 0
线性相关。则t=
3
a 3 0 4 5 2
。
3、设 A， B同为 n 阶矩阵， A 2, B 3,
则 2A* B
B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 )
如果 | A | 1, 那么| B |
c3 c2 c2 c1
2
.
05年考研题
解 | B | | 1 2 3 , 2 3 3 , 2 5 3 |
。
y
相似, 4
a1b1 a1b2 a2b1 a2b2 A 8、设 ai 0, bi 0 (i 1, 2, , n)， an b1 an b2 则矩阵 A的秩R(A)= 1 .
2 2 2
a1bn a2bn ， anbn
2 1 ( 1) 0 0
1 2 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 2 n 2
2 An1 An 2
即 An An1 An1 An 2
所以A1 , A2 ,, An是一个等差数列 .
2 又因为 A1 2, A2 1 1 3 A1 1. 2
2 1 An 2 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 ( 1) 0 0 1 2 1 0
0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 2 n 1
0 1 2 n 1
An 2 An 1