高三复数总复习知识点、经典例题、习题

复数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平

方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数

虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；

纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应

点坐标为(),p a b ；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；

【2】复数的基本运算

设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；

（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅

【3】复数的化简

c di z a bi

+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22

ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b

=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为

c di z xi a bi

+==+进一步建立方程求解

二． 例题分析

【例1】已知()14z a b i =++-，求

（1） 当,a b 为何值时z 为实数

（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数

（3） 当,a b 为何值时z 为虚数

（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为

A ．1-

B ．0

C 1

D ．1-或1

【变式2】求实数m 的值，使复数

22(23)(34)m m m m i --+--分别是：

（1）实数。

（2）纯虚数。

（3）零

【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z

【变式1】(1)设,,(1)232(1)x y R x xi

y y i ∈+-=-+-求,x y 的值。

(2)

(22)(4)0x i y i ++-=求,x y 的值。

【变式2】设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；

【变式1】复数z 满足21i z i

-=-，则求z 的共轭z

【变式2】已知复数

z =

z z ∙= A.

14 B.12

C.1

D.2 【变式3】若复数z 满足(1)1z i i +=-，则其共轭复数z -=________________

【例4】已知12z i =-，232z i =-+

（1） 求12z z +的值；

（2） 求12z z ⋅的值；

（3） 求12z z ⋅.

【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.

【变式2】若复数()2

1ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.

【变式3】已知21z i i

-

=++，则复数z =（ ） A ．13i -+ B ．13i - C ．3i + D ．3i -

【例5】下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2

p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-

()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34

【例6】若复数()312a i z a R i

+=

∈-（i 为虚数单位）， （1） 若z 为实数，求a 的值

（2） 当z 为纯虚，求a 的值.

【变式1】设a 是实数，且112

a i i -++是实数，求a 的值..

【变式2】若()3,1y i z x y R xi

+=∈+是实数，则实数xy 的值是 .

【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第几象限？

【变式1】i 是虚数单位,41i (

)1-i +等于 ( ) A ．i

B ．-i

C ．1

D ．-1

【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

【变式3】i 是虚数单位，若

17(,)2i a bi a b R i

+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15

【例8】复数73i z i

-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --

【变式1】已知i 是虚数单位，3

2i 1i

=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --

【变式2】.已知i 是虚数单位，复数131i i

--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i --

【变式3】已知i 是虚数单位，复数1312i i

-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i