有限元发展简史和未来趋势

有限元的发展历史和趋势

摘要

1965年，“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。有限元法起源于固体力学,并逐步扩展到热传导、计算流体力学、电磁学等不同领域,已经成为数学物理中很重要的数值计算方法。

关键词有限元数值发展趋势

前言

有限元方法在数值计算方法中具有极为重要的地位，有限元方法在应用中不仅本身具有很大的潜力，而且，结合其它理论和方法还有广阔的发展前景。

1 有限元的发展历程

有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944一1960)和完善(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。

1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生。

有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。1960年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束。

有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为: 第一，建立了严格的数学和工程学基础;第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论;第四，发展起了相应的商业软件包。

在国内，我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。1965年，他发表论文《基于变分原理的差分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法不成熟，但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家学者和国家领导人都有很高的评价。

2 有限元的基本思路及解题步骤

2-1有限元法的基本思路

有限元法的基本思路是将计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展逐渐用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,将计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看作是由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

2-2有限元法的解题步骤

(1)划分单元网格,并按照一定的规律对单元和结点编号。根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分的工作量比较大,除了对计算单元和节点进行编号并确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号及相应的

边界值。

(2)选定直角坐标系,按程序要求填写和输入有关信息。

(3)使用已经编好的程序进行上机计算。计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算。

(4)对计算成果进行整理、分析,用表格或图线示出所需的位移及应力。在划分单元时,单元的大小(即网格的疏密)要根据精度要求和计算机的速度及容量来确定。单元分得越小,计算结果越精确。所以,有限元法的核心是网格剖分与边界条件的确定,然后是选用现代数学进行运算求解,最后对求解结果进行分析。对于许多具体情况,可使用一些建立起来的物理模型,从而可使问题简单化。而真正在设计中,目前多使用CAD一类的高级辅助软件进行分析、设计,以保证设计的正确性、准确性及最优化。

3 有限元的发展趋势

随着有限元技术应用的不断扩大,其发展呈现如下特点:

（1）单一场计算向多物理耦合场问题的求解发展

有限元分析技术应用在装备产品的设计制造中,主要是求解线性的结构问题,但根据火电、风电、核电等装备产品的极端性、复杂性、多场性特点,结构非线性,流体动力学和耦合场问题的应用迫在眉睫,如汽轮机叶片、风机桨叶的流体动力学问题、流固耦合问题,重型装备产品热加工过程的热、结构、电磁多场耦合的问题。随着有限元技术的深层次应用,需要解决的工程问题也越来越复杂,耦合场的计算求解必定成为有限元软件开发的发展方向。

（2）由求解线性问题发展到求解非线性问题

随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。

(3)与CAD/CAM等软件的集成

有限元分析软件的一个发展趋势是与通用计算机辅助工程软件的集成使用,即数据信息在整个产品设计制造过程中的无缝多向流通,实现新产品开发中三维设计、有限元分析优化、数控加工等过程的快速响应,满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求,提高设计水平和效率。

(4)提高自动化的网格处理能力

应用有限元技术求解问题过程中,产品几何模型离散后的有限元网格质量直接影响着计算量的大小和分析结果的正确性。各软件公司在网格处理方面的投入也在加大,划分网格的效率和质量都有所提高,但在实际工业生产中,尤其是专业领域复杂产品的分析中还存在问题,如网格划分的自动化、网格质量检查的标准化。要想摆脱装备产品分析中繁重的网格处理任务,就必须突破自动六面体网格功能的技术瓶颈,实现可循环的网格自动优化功能。

(5)软件面向专业用户的开放性

有限元软件应用的技术领域多,用户需求各不相同,因此开放的软件环境对用户而言至关重要,