有限元法发展综述
流固耦合的研究与发展综述
流固耦合的研究与发展综述流固耦合是指流体与固体之间相互作用的现象。
在许多工程领域，流固耦合现象都是非常重要的，例如在航空航天、汽车工程、能源系统和生物医学领域等。
本文将对流固耦合的研究与发展进行综述，包括其基本原理、数值模拟方法和应用领域等方面的内容。
一、流固耦合的基本原理流固耦合的基本原理是通过数学模型描述流体与固体之间的相互作用。
流体力学和固体力学是研究流体和固体运动的基本学科，它们提供了描述流固耦合现象的基本理论基础。
在流体力学中，流体的运动可以通过Navier-Stokes方程组来描述，而在固体力学中，固体的运动可以通过弹性力学或塑性力学方程来描述。
通过将这两个方程组耦合起来，可以得到描述流固耦合现象的数学模型。
二、流固耦合的数值模拟方法为了研究流固耦合现象，数值模拟方法是一种常用的手段。
常见的数值模拟方法包括有限元法、有限体积法和边界元法等。
在流固耦合问题中，有限元法是最常用的数值模拟方法之一。
有限元法将流体和固体分别离散化为有限个单元，并通过求解代数方程组来得到流体和固体的运动状态。
此外，还可以使用流体-结构相互作用软件来模拟流固耦合问题，例如ANSYS、FLUENT等。
三、流固耦合的应用领域流固耦合现象在许多工程领域都具有重要的应用价值。
在航空航天工程中，流固耦合现象的研究可以帮助改善飞机的气动性能，提高飞行稳定性和安全性。
在汽车工程中，流固耦合现象的研究可以用于改善汽车的空气动力学性能，降低燃油消耗和减少排放。
在能源系统中，流固耦合现象的研究可以用于优化风力发电机的设计，提高能量转换效率。
在生物医学领域，流固耦合现象的研究可以用于模拟血液在心脏和血管中的流动，帮助诊断和治疗心血管疾病。
综上所述，流固耦合的研究与发展是一个非常重要的课题。
通过对流固耦合现象的研究，可以深入理解流体与固体之间的相互作用机制，为工程实践提供理论指导和技术支持。
未来，随着数值模拟方法的不断发展和计算能力的提高，流固耦合的研究将在更多领域得到应用和拓展。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
膜式壁有限元分析方法综述
从 向 口以得 剑 各 同异 性 枚 的溥膜 刀 、 Ｊ
切力 、弯矩和扭矩 的表达式如下：
Ｅ Ｄｙ
（ ２）
￡ ｘｘ一
Ｇ１ ｉ
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￡Ｙ Ｙ 一而
ａ Ｗ
￡ ｚｚ
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Ｄ
由于各 向异性板在很多方面异于焊制鳍 片管屏 ，其等效 刚度常量则可以通过三个不 同的准则建立 ，利用以下三个准则 ，都能够 通过公式 （ ） １ 获得唯一 的一组等效常量 ： １ 应变能等式 ； ）
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东方锅炉
２０ ０ ７年第 ３期
ｌ９
膜式壁有 限元分析方法综 述
东方锅炉
摘 要
王俊翔 陈杰富
本文综述了对承受热流、流体压力 、炉膛 烟气 压力 及多个其 它类 型载荷作 用的膜式 水冷壁
进行应力分析的一种方法 。 这种分析方法首先根据 鳍片管的几何外形将膜式壁 简化 成等效的正交各
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２０
东方 锅 炉
２０ ０ ７年 第 ３期
若ｉ个思路 中的计算结果较为接近 ，则
明 显 地 采 用 思 路 三 具 有 更 好 的工 程 推 广 意
义。
格 部 件 、波 形板 、带周 期 加 强筋 平 板 的分析 方 法 。 即 ，在膜 式 壁 的简 化 中 ，把 管子 看作
材料选用上 ，还是在规格设计 中，都较以往 的亚临界炉子有较大的不 同。由于参数的提 升 ，占据了炉膛大部分的水冷壁 ，其运行参 数及尺寸规格都发生 了较大 的变化。水冷壁
式 的结构在锅炉上采用较多 ，如炉膛折焰角 等 ，在本文 中统称为膜式壁 。膜式壁结构承 受热流 、流体压力 、炉膛烟气压力 、 自重 、
倒装芯片焊点可靠性的有限元模拟法综述
１ 引 言
倒装 芯片 焊接 是现 代 电子 封装 的重 要课 题 ，而 其热 疲 劳失效 引起 了人 们更 大 的关 注 。这是 因为 此
金丝 连接 柔顺性 少得 多 ［ １ １ 。
集成 电路 封装及 其组 件在 工作 过程 中 ，由于 功
率损 耗 和环境 温度 的周 期性 变化 ，材料 的热 膨胀 失 配 在 焊 点处 产 生 应 力／ 变 ，导 致焊 点 的热 机 械疲 应 劳 失效 。对 于焊 点可靠 性 的研究 手段 主要依 靠有 限
Ｋｅ ｒ ｓ ｌｐ ｃ ｉ；ｓｌｅ ｉｔｒｌ ｂｌｙ ｉｉ ｌｍ ｎ；ｔｅ ａ ｃｃｉｇ ｔ ｓ／ ｒｉ ； ｙ ｗｏ ｄ ：ｆ ｈｐ ｏ ｒｊ ｎ ｅｉ ｉｔ；ｆ ｔ ｅｅ ｅ ｔ ｈ ｒ ｌ ｙｌ ；ｓ ｅｓ ｔ ｎ ｉ ｄ ｏ ａ ｉ ｎｅ ｍ ｎ ｒ ｓａ
ｆ ｔｇ ｅ ｌｆ ｄ ｌ ａｉ ｕ ｉｅ ｍｏ ｅ
连接 可作 为结 构元 件和 电子 元件 ；同时与 背面粘 接 相 反 ，若 有 一 条 互 连 线 间 断 ，芯 片 的 信 号 就 会 失
效 模 拟 法 ［。是将 一 个 结构 分 离 成 若 干 规 则 的 形 ２ １
状 单 元 ，并 在空 间用边 界 模 型来 定 义 每一 个 单元 ，
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电 子 产 品 可 靠 性 ｌ 环 境 试 验 亍 ＝
ｏ ２ ｏ ｃ． ２ ） １ ４、 Ｏ ｔ ｔ ６ ． ５ ． Ｘ
倒装 芯片焊点可 靠性 的有 限元模拟法综述
肖小清 １，何 小 琦 ，恩 云 飞 ， ２ ，周 继 承
（ ． 息 产 业 部 电子 第 五研 究 所 广 东 广 州 ５ ０ １ ； １信 １６ ０
关 键 词 ：倒装芯片 ； 焊点可靠性 ；有限元 ； 热循环 ；应力， ；疲劳寿命模型 应变
建筑文献综述总结范文
随着社会经济的快速发展，建筑行业在我国的发展势头愈发迅猛。
为了更好地推动建筑行业的科技进步，提高建筑质量，本文对近年来建筑领域的文献进行了综述，总结如下：一、建筑结构优化设计1. 建筑结构优化设计是提高建筑质量、降低建筑成本的关键。
近年来，众多学者对建筑结构优化设计进行了深入研究。
如张华等（2018）提出了一种基于遗传算法的建筑结构优化设计方法，通过调整遗传算法参数，提高了优化效果。
2. 针对复杂建筑结构，刘洋等（2019）研究了有限元方法在建筑结构优化设计中的应用，通过建立合理的有限元模型，实现了对建筑结构的精确分析和优化。
二、建筑节能与绿色建筑1. 随着全球气候变化和资源短缺问题日益严重，建筑节能与绿色建筑成为我国建筑领域的重要研究方向。
李明等（2017）对建筑节能技术进行了综述，包括墙体保温、屋面保温、门窗节能等方面。
2. 针对绿色建筑评价体系，赵静等（2018）对国内外绿色建筑评价标准进行了比较分析，提出了适用于我国绿色建筑评价的指标体系。
三、建筑信息化与BIM技术1. 建筑信息化是提高建筑行业管理水平、促进产业升级的重要手段。
陈勇等（2016）对建筑信息化技术进行了综述，包括建筑信息模型（BIM）、建筑性能分析、建筑运维等。
2. 针对BIM技术在建筑行业中的应用，刘翔等（2019）对BIM技术在建筑全生命周期中的应用进行了综述，包括设计、施工、运维等阶段。
四、建筑安全与抗震1. 建筑安全是建筑行业永恒的主题。
张伟等（2017）对建筑抗震设计理论和方法进行了综述，包括抗震设防、抗震结构体系、抗震计算等。
2. 针对建筑安全风险控制，王磊等（2018）对建筑安全风险评价方法进行了综述，包括定性评价、定量评价、模糊评价等。
五、建筑经济与管理1. 建筑经济与管理是提高建筑企业竞争力、实现可持续发展的重要保障。
李慧等（2016）对建筑项目管理模式进行了综述，包括传统项目管理、敏捷项目管理、BIM项目管理等。
有限元法在汽车设计中的应用综述
有限元法在汽车设计中的应用综述有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用的工程分析方法，可以用于汽车设计和研发过程中的各个方面。
它能够提供对汽车各个零部件和整车系统的结构和性能进行准确预测和评估，从而优化设计、提高质量和可靠性。
首先，在汽车设计中，有限元法广泛应用于结构分析。
通过将提供几何和材料特性的三维模型离散化为许多小单元，有限元方法可以实现复杂结构的精确模拟。
对于汽车的车架、车身和其他零部件，有限元分析可以确定和优化结构强度、刚度和耐久性，以确保在实际使用条件下的安全和可靠性。
其次，在汽车性能评估方面，有限元法也扮演着重要的角色。
例如，通过有限元分析可以预测汽车的振动和噪声水平，帮助设计师确定如何优化车辆的悬挂系统、座位和噪声隔离措施，提高驾驶舒适度。
此外，有限元法也可以用于优化车辆的气动外形，减小气动阻力，提高燃油效率。
在碰撞安全方面，有限元分析是不可或缺的工具。
通过构建模型并进行碰撞仿真，有限元法可以预测汽车在不同碰撞情况下的变形和应力分布，评估车辆和乘客的安全性能。
这有助于设计师改进车辆的安全结构，提高车辆的碰撞安全性。
有限元法还可以用于优化车辆的制造工艺。
通过在有限元模型中引入相关的制造过程，如冲压、焊接等，可以预测和解决可能出现的制造问题。
这有助于设计师优化零件和整车的制造工艺，减少制造成本和时间。
此外，有限元法还可以应用于电动汽车的设计和开发。
电动汽车的电池、电机和电控系统具有复杂的结构和作用机理。
通过有限元方法可对电池的热传导、电池盒的结构强度和散热性能进行评估和优化。
对于电机和电控系统，有限元分析可以用于确定电磁场分布、热湿度性能以及电磁振动等。
综上所述，有限元法在汽车设计中具有广泛应用的优势。
它可以用于汽车结构分析、性能评估、碰撞安全、制造工艺和电动汽车设计等方面。
通过有限元分析，汽车制造商和设计师能够在保证安全性和可靠性的前提下，最大程度地优化设计，提高汽车的性能和竞争力。
有限元分析方法综述
２ 有 限元基本概 念和原理 ’
有 限元 法 （ｉ ｔ Ｅｅ ｅｔ ｅ ｏ） 求解微 分 Ｆ ｉ ｌ ｎ Ｍ ｔ ｄ 是 ｎｅ ｍ ｈ
个合适的（ 较简单 的） 近似解 ， 然后推 导求解 这
方程 的一种非 常有效 的数值 分析方 法 ， 限元 法 有
最初被称为矩 阵近似 方法 ， 应用 于航空器 的结 构
收稿 日期 ： ０ — ２ ２ ２ ６ ０—８ ０ 作者 简介 ： 李重伟 （９１ ， ， １５ 一）男 工程师 ， 学士， 天津市节 约用
水事 物管理 中心 ， 从事 节水技 术工 作 。
求解方程规模 以指数级 增大 ， 计算机无 法胜 以至 任 。应用有限元 法求 得 的解 不是 准确解 ， 而是 近
有不同有 限大小 和 形 状且 彼 此 相连 的有 限个 单
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天津建设科技 ２Ｏ ・ ０６ 增刊
建筑技术
有 限 元分 析 方法综 述
李重伟
（ 天津市节约用水事物管理 中心 ， 天津 ３００） ０２ １ 摘 要： 从有 限元法的起 源， 基本概念和原理、 优点、 分析问题和求解的步骤 以及在水利工程 中的应用等方面对有限元分析方法进行综述。 关键词 ： 有限元法； 分析 ； 应用
要求 ， 那么 随着单 元尺 寸 的缩 小 ， 加求 解 区域 增
内单元 的数 目， 终将 收敛 于精 确解 。
有限元法从 ２ 世 纪 ５ ０ ０年代 至今 ， 经过 几 十
年的发展 ， 断 开 拓新 的应 用 领域 ， 范 围 已经 不 其 由杆件 结构 问题 扩展 到 了 弹性 力学 乃 至塑 性力 学 问题 ， 由平 面 问 题扩 展 到空 间 ， 由静 力学 问题 扩展 到动力学 问题 和稳 定性 问题 ， 由固体 力学 问 题扩展到流体力学 、 热力学和 电磁学问题。
扩展有限元方法及应用综述_郭历伦
［ ３～４］
Ｎ
。 对于任意函数 Ｖ（ ， 可得 ｘ）
Ｉ＝１
。 ｘ） Ｖ（ ｘ） ＝Ｖ（ ｘ） ∑ （
Ｉ
设函数 ＶＩ（ 为函数 ｕ（ 在子域 ΩＩ 内的局部近似函数 ， 则函数 ｕ（ 在求解域的全局近似可取为 ｘ） ｘ） ｘ）
１ 单位分解函数
由于扩展有限元近似函数的基础是单位分解法 ， 本节将简要介绍 单 位 分 解 法 。 单 位 分 解 法 使 用 一 些 ， 。 在每个子域 ΩＩ 上定义一个仅在该子 域 以节点 ｘ Ｉ 为中心的子域 Ω Ｉ 来覆盖整个求解区域 即 Ω ∪Ω Ｉ
Ｉ＝１ Ｎ Ｎ （） ， （） ｝ 内非零的函数 并且要求它们满足单位分解条件 ： ｘ） ＝１。 则函数集 ｛ Ｉ＝１ 称为属 于开 Ｉ ｘ Ｉ ｘ ∑ Ｉ（ Ｉ＝１ Ｎ Ｎ 覆盖 ｛ ΩＩ｝ Ｉ＝１ 的单位分解函数
（ ， ， ） Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｃ Ａ Ｅ Ｐ， Ｐ． Ｏ． Ｂ ｏ ｘ ９ １ ９ ４ １ １， Ｍ ｉ ａ ｎ ａ ｎ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ ６ ２ １ ９ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ － ｙ ｇ ｇ ｇ ｙ ｇ
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有限元法发展综述随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。
这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。
例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。
这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。
近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。
有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．一、有限元法的孕育过程及诞生和发展大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。
虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。
在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。
这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。
在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。
泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。
1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。
这实际上就是有限元的做法。
所以，到这时为止，实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。
20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。
波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。
20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。
1960年前后，美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。
此后，这样的叫法被大家接受，有限元技术从此正式诞生。
1990年10月美国波音公司开始在计算机上对新型客机B－777进行“无纸设计”，仅用了三年半时间，于1994年4月第一架B－777就试飞成功，这是制造技术史上划时代的成就，其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一手段。
在有限元分析的发展初期，由于其基本思想和原理的“简单”和“朴素”，以至于许多学术权威都对其学术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics 许多年来都拒绝刊登有关于有限元分析的文章。
然而现在，有限元分析已经成为数值计算的主流，不但国际上存在如ANSYS等数种通用有限元分析软件，而且涉及到有限元分析的杂志也有几十种之多。
二、有限元法的基本思想有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。
在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。
对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
对于有限元方法，其解题步骤可归纳为：1.建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
2.区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。
区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
3.确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。
有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
4.单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
5.总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
6.边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。
对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
7.解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
三、有限元的应用及其发展趋势有限元的应用范围也是相当的广的。
它涉及到工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析中，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展。
电子计算机的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实，并具有广阔的前景。
国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。
其中最为著名的是由美国国家宇航局(NASA)在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。
该系统发展至今已有几十个版本,是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
从那时到现在,世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件,主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
当今国际上FEA方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征:1.从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。
而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼近于精确值。
所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。
例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解,即所谓"流固耦合"的问题。
2. 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题;诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题,只有采用非线性有限元算法才能解决。