江苏常州2020高三数学模拟考试试题

2020届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

锥体的体积公式V ＝1

3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x －)2，其中x －＝

1

n x i .

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

(第3题)

1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________．

2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________．

3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．

4. 函数y ＝2x －1的定义域是________．

5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．

6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．

7. 已知函数f(x)＝⎩⎨

⎧

1

x －1

，x ≤0，－x 23

，x ＞0，

则f(f(8))＝________．

8. 函数y ＝3sin(2x ＋π

3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________．

9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________． 10. 已知cos （π

2

－α）

cos α

＝2，则tan 2α＝________．

11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的

一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________．

12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________．

14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB →

|恒成立，则cos

∠ABC ＝________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33

. (1) 若A ＝π

3

，求sin C 的值；

(2) 若b ＝2，求c 的值．

16.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：

(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.

17. (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为

A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上．

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →

＝－132AN →，求直线

F 1M 的斜率．

18. (本小题满分16分)

请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．

(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；

(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋a

2x

2＋1(a∈R)．

(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；

(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e≈2.718 28…)

20. (本小题满分16分)

设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n

－B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1

＝1

2，n ∈N *.

(1) 求数列{a n }通项公式；

(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”；

(3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时

的k(均用m 表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)