第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

[A 组 学业达标]

1．下列结论中成立的个数是( )

① ⎠⎛0

1 x 3d x ＝∑n

i ＝1 i 3n 3·1n ；② ⎠⎛0

1 x 3d x ＝lim n →∞∑n

i ＝1 (i －1)3n 3·1n ；③ ⎠

⎛0

1 x 3d x ＝lim n →∞∑n

i ＝1 i 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：根据定积分的定义知②③正确． 答案：C

2．已知定积分 ⎠⎛06 f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则

＝( )

A ．0

B ．16

C ．12

D ．8

解析：本题主要考查定积分的概念．因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以根据定积分的性质有 ⎠⎛6－6 f (x )d x ＝2 ⎠⎛06 f (x )d x ＝16.

答案：B

3．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A. ⎠⎛01 (－x )d x

B ． ⎠⎛01 |－x |d x

C. ⎠

⎛0－1 x d x D ．－ ⎠⎛0

1 x d x

解析：由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S ＝ ⎠⎛01 |－x |d x .

答案：B

4．下列阴影部分的面积S 不可以用S ＝ ⎠⎛a

b [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )

解析：定积分S ＝ ⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部

分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方，对照各选项，知D 中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方． 答案：D 5．若则正数a 的最大值为( )

A ．6

B ．56

C ．36

D ．2 016

解析：由

≤2 016，得

∵∴a 2≤36，即0＜a ≤6.故正数a 的最大值为6.

答案：A

6．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________． 答案：132

7．如果 ⎠⎛01 f (x )d x ＝1, ⎠⎛02 f (x )d x ＝－1，则 ⎠⎛12 f (x )d x ＝________.

解析：∵ ⎠⎛02 f (x )d x ＝ ⎠⎛01 f (x )d x ＋ ⎠⎛1

2 f (x )d x ， ∴ ⎠⎛12 f (x )d x ＝ ⎠⎛02 f (x )d x － ⎠⎛01 f (x )d x ＝－1－1＝－2.

答案：－2

8．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．

解析：由定积分的几何意义知，

答案：

9．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？

解析：(1)分割

在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间．记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤(2(i －1))n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －(2(i －1))n ＝2n . 每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑n

i ＝1

Δs i .

(2)近似代替

取ξi ＝2i

n (i ＝1,2，…，n )，于是

Δs i ≈Δs i ′＝v 2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n ＝24i 2

n 3＋4

n

(i ＝1,2，…，n )．

(3)求和

s n ＝∑n

i ＝1Δs i ′＝∑n

i ＝1

⎝ ⎛⎭⎪⎫24i 2

n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2

)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝

8⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4. 从而得到s 的近似值s ≈s n . (4)取极限

s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12.

答：这段时间内行驶的路程为12 km.

10．利用定积分的几何意义求下列定积分的值： (1) ⎠⎛01 (－x ＋1)d x ；(2) ⎠⎛0

2

1－(x －1)2d x .

解析：(1) ⎠⎛01 (－x ＋1)d x 表示的是图①中阴影所示三角形的面积．由于这个三角

形的面积为12×1×1＝1

2，

所以 ⎠⎛0

1 (－x ＋1)d x ＝1

2.

(2) ⎠⎛0

2

1－(x －1)2d x 表示的是图②中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为

π2，所以 ⎠

⎛0

2 1－(x －1)2d x ＝π

2.

[B 组 能力提升]

11．由曲线y ＝e x ，直线y ＝x ，x ＝3

2所围成平面图形的面积S 可以表示为( )

答案：C 12．若

则m 等于________．

解析：如图，d x ＝

1－(x ＋1)2