数量积坐标表示

应用向量知识证明三线共点、三点共线
例5、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 F CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF 过点H 只须证明BA CH B 由此可设 BC a CA b
CH p
A
H
D
E C
1.数量积的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2
2
2.向量坐标表示的求模公式 a x 2 y 2 , 或 a x 2 y 2 3.平面内两点间的距离公式
AB （x1 x2 ) （y1 y2 )
2
2
4.两向量夹角的余弦
cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
如何证 p BA 0？
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
p a p b 0 p (a b) 0 CH BA 0 CH BA
AM EN (8, 4) (4 e, 2) 0
A
E
B
解得：e=5 故△AEM的面积为10
应用向量知识证明等式、求值
例8、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 M 由题意可得M(8,4)，N是AM的 N 中点，故N(4,2) AM (8,4) A E B =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) EN AN AE
解：设向量a与b的夹角为，则 26 cos . 2 26 32 22 12 （-1） 3 1 2 （-1）
26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
例2
OC AB , 证明O为ABC垂心。
2 2
已知O为ABC所在平面内一点且满足： OA BC OB CA
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
PA AN NP, PA (b a) a b AQ AM MQ, AQ (b a) a b
即 PA AQ 故有 PA// AQ ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 Q
1 2 1 CM MQ a b 2
2
A
M
B
应用向量知识证明等式、求值
2 1 2 1 2 2 2 2
5.向量垂直的判定
a b x1 x2 y1 y2 0
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角△OAB，B=90， 求点B的坐标. y
B
A
O
3 7 7 3 答案： B的坐标为 ， 或 ， . 2 2 2 2
x
五、课后练习
平面向量的数量积
的坐标表示
一、复习练习:
1. 若 | a | 2, | b | 1, a与b夹角为60 ， a b | a || b | cos
。
（其中是a与b的夹角） 则a b （1 ） a b | a | 1, | b | 2, 2. 若a b 2，
。 45 则a与b夹角为 （ ）
应用向量知识证明三线共点、三点共线
例6、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 P C 解：设 AB a, AC b 1 1 N 则 AN b, AM a
2
由此可得 BN NP b a
a =(x1,y1), b=(x2,y2),则
a x1i y1 j，b x2 i y2 j,
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2.
cos
| a || b |
3. 若 a与 b垂 直 ， 则 a b （0 ）
a b a b 0；
a a | a |2 | a | aa
则a a （4 ） ； 4. 若| a | 2，
5. 若i ， j分别为与 x轴、 y轴方向 相同的两个单位向量 , 则i i ( 1 ); j j ( 1 ); i j j i ( 0 ).
AM EN (8,4) (4 e,2) 0
解得：e=5
即AE=5
SAEM
1 AE BM 10 2
应用向量知识证明等式、求值
练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 求证： 3 B m n Q 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, G 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知： O分 PA 的比为 -? 的比为-n m，O分 QB ? PO mOA, QO nOB 由此可设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 PG // GQ，得到 m n 的关系。
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则a b x1 x2 y1 y2 0.
（2）平行
设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a// b x1 y2 x2 y1 0
四、基本技能的形成与巩固
例1.已知a (3, 2), b (1, 1), 求向量a与b的 夹角的余弦值.
若a a 9， 则 | a | （3 ） .
二.创设教学情境
已知a (1, 3), b (1,1), a与b的夹角为 , 求cos .
a b 根据以前的知识， cos . | a || b |
我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样 用 a和b的坐标表示a b呢？
1.已 知 OA (3,1)， OB (0,5)， 且 AC // OB， BC AB， 则 点 C的 坐 标 为
29 C 3, 3
2.已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形.
a = (1，2)， b = (-3，2)， 若 k a 2b 与 2 a - 4 b 平行，则k =- 1
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2


2

2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2
例7、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4), N是AM的中点，故N(4,2) M N AM (8, 4)
EN AN AE =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)
2
2
2
2
证明:由 OA BC OB CA 得:OA OB CA BC ,
2
2
2
2
2
2
2
2
即：（OA+OB） （ OA-OB）（ = CA+ BC） （ CA-BC）
所以：（OA+OB） BA BA（ CA-BC）
所以：（OA+OB-CA+ BC） BA=0
C B O
解：设AO=a， OC=b
CB a ? b 则AC a b， CB
由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)
a b a b
2 2 2 2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？
应用向量知识证明平面几何有关定理
ab c ab c PG ( ma , ) GQ ( nb , nc ) 3 3 3 3 由向量 PG // GQ 可得：
3
3
O
A
ab c c ab ( Fra Baidu bibliotekma )( nc ) ( nb )0 3 3 3 3
1 1 3 化简得： m n
设向量m与n夹角为，因为m n | m || n | cos ， 从而 3 1 1 （-7） 2 4 cos . 2 3 2 2 2 2 1 （ ） 1 （-7） 4
所以 45，即直线l1和l2的夹角为45.
练习1：
1，已知a （2，2 3 -4）， b （1， 1 ）， 求： （1） a b； （2）与 a b的夹角的大小.
2,已知a （3，2）， b （6，9）， 求证a b.
本堂小结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题：
2 2
故两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和.即 y
A(x1,y1)
a
i
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算.
2.向量的模和两点间的距离公式
(1)a a a 或 a
2
a a；
·
应用向量知识证明等式、求值
练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 B 求证： 3 m n Q 证：如图建立坐标系， G 设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) A(a,0), B(b, c) ab c ( , ) 所以重心G的坐标为
·
P
由PO=mOA, QO=nOB可知： PO mOA, QO nOB 即O分PA 的比为-m，O分QB 的比为-n 求得 P(m a,0)Q(nb, nc)
即： OC BA 0, 所以： OC BA
同理可证： OB CA ， OA BC，
所以O为ABC垂心得证。
应用向量知识证明平面几何有关定理
例3、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
(1)向量的模
设a ( x, y), 则 a x2 y 2 , 或 a
2
x2 y 2 .
（2）两点间的距离公式
设A （x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2 .
3.两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 a b a b 0
三、新课学习
1.平面向量数量积的坐标表示 如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y 轴上的单位向量，
由于a b a b cos ，所以
y A( x , y ) 1 1
B(x2,y2)
b
j
i i 1 . j j 1 .
i j j i 0 .
a
o
i
x
下面研究怎样用 a和b的坐标表示a b. 设两个非零向量