二次函数与特殊四边形综合问题

二次函数与特殊四边形综合问题

一、知识准备：

抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形

（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 （3）抛物线上的点能否构成梯形。

特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键

二、例题精析

㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】

例一、如图，抛物线2

y x bx c =-++与直线1

22

y x =

+交于,C D 两点，

其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2

。点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交

CD 于点F .

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

（3）若存在点P ，使45PCF ∠=︒，请直接写出相应的点P 的坐标

【解答】（1）∵直线1

22

y x =

+经过点C ,∴(0,2)C

∵抛物线2

y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2

∴22727

332

2c b b c c =⎧⎧

=⎪

⎪∴⎨⎨=-++⎪⎪=⎩⎩ ∴抛物线的解析式为2

7

22

y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上

∴2

71

(,2),(,2)22

P m m m F m m -+

++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形

① 当03m <<时，2

271

2(2)322

PF m m m m m =-+

+-+=-+ ∴2

32m m -+=，解得：121,2m m ==

即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2

217

(2)(2)32

2

PF m m m m m =+--+

+=- 232m m -=，解得：12317317

22

m m +=

=（舍去） 即当1317

2

m +=

时，四边形OCFP 是平行四边形 （3）如图，当点P 在CD 上方且45PCF ∠=︒时，

作,PM CD CN PF ⊥⊥,则

△PMF ∽△CNF ，∴

212

PM CN m

MF FN m

=== ∴2PM CM CF ==

∴55555522

PF FM CF CN CN m ===⨯

== 又∵2

3PF m m =-+ ∴2

5

32

m m m -+=

解得：112m

=

，20m =（舍去） ∴17(,)22

P 。 同理可以求得：另外一点为2313

(

,)618

P ㈡【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】 例二．（2013•荆州）如图，已知：如图①，直线y=﹣

x+

与x 轴、y 轴分别交于A 、B

两点，两动点D 、E 分别从A 、B 两点同时出发向O 点运动（运动到O 点停止）；对称轴过点A 且顶点为M 的抛物线y=a （x ﹣k ）2+h （a ＜0）始终经过点E ，过E 作EG∥OA 交抛物线于点G ，交AB 于点F ，连结DE 、DF 、AG 、BG ．设D 、E 的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t 秒．

（1）用含t 代数式分别表示BF 、EF 、AF 的长；

（2）当t 为何值时，四边形ADEF 是菱形？判断此时△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由；

（3）当△ADF 是直角三角形，且抛物线的顶点M 恰好在BG 上时，求抛物线的解析式．

考点： 二次函数综合题

分析：（1）首先求出一次函数y=﹣x+与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；

（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；

如答图1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，证明△AFG与△AGB相似．

（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：

①若∠ADF=90°，如答图2所示．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用

待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；

②若∠AFD=90°，如答图3所示．解题思路与①相同．

解答：解：（1）在直线解析式y=﹣x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1．∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=．

∴tan∠OAB=，∴∠OAB=60°，

∴AB=2OA=2．

∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°．

∴EF===t，BF=2EF=2t，

∴AF=A B﹣BF=2﹣2t．

（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形．

若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．

由DE=2OD，即：t=2（1﹣t），解得t=．

∴t=时，四边形ADEF是菱形．

②此时△AFG与△AGB相似．理由如下：

如答图1所示，连接AE，

∵四边形ADEF是菱形，

∴∠DEF=∠DAF=60°，

∴∠AEF=30°．

由抛物线的对称性可知，AG=AE，

∴∠AGF=∠AEF=30°．