高等代数习题(北大第四版)答案一到四讲

高等代数答案

第一章

多项式

1．用)(x g 除

)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：

1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）

2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。

解1）由带余除法，可得9

2926)(,9731)(−−=−=

x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。

解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，

所以当⎩⎨⎧=−=++0

12m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010

)2(2

2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。综上所诉，当⎩⎨

⎧+==1

q p m 或⎩⎨⎧=+=2

12

m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：

1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。

解1）432()261339109

()327

q x x x x x r x =−+−+=−；

2）2()2(52)()98q x x ix i r x i

=−−+=−+。

4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成

2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：

1）50(),1f x x x ==；

2）420()23,2f x x x x =−+=−；

3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。

解1）由综合除法，可得2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+−+−+−+−+−；2）由综合除法，可得42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x −+=−+++−+++；3）由综合除法，可得4322(1)3(7)

x ix i x x i +−+−++234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+−++−−+−+++。

5．求

()f x 与()g x 的最大公因式：

1）43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+−−−=+−−；2）4332()41,()31f x x x g x x x =−+=−+；

3）42432()101,()61f x x x g x x x =−+=−+++。解1）((),())1f x g x x =+；2）((),())

1f x g x =；

3）2((),())1f x g x x =−−。

6．求(),()u x v x 使()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=。1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+−−−=+−−−；2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =−−++=−−+；3）4322()441,()1f x x x x x g x x x =−−++=−−。解1）因为22((),())2()

f x

g x x r x =−=

再由11212()()()()()()()()

f x q x

g x r x g x q x r x r x =+⎧⎨

=+⎩，解得

22121212()()()()()()[()()()]

[()]()[1()()]()

r x g x q x r x g x q x f x q x g x q x f x q x q x g x =−=−−=−++，

于是212()()1()1()()11(1)2

u x q x x v x q x q x x x =−=−−=+=++=+i 。

2）仿上面方法，可得((),())

1f x g x x =−，且21122(),()13333

u x x v x x x =−+=−−。

3）由((),())1f x g x =可得32()1,()32u x x v x x x x =−−=+−−。

７．设32()(1)22f x x t x x u =++++与32()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值。解

因为32211212()()()()()(2)()()()()

f x q x

g x r x x tx u x x u g x q x r x r x =+=+++++=+，

2((2))(2)(24)(3)x t x x u u t x u t =+−++−+−+−，

且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式2()r x 为0，即

(24)0

(3)0u t u t −+−=⎧⎨

−=⎩

，从而可解得110

2

u t =⎧⎨

=⎩或

22

2

3u t =−⎧⎨=⎩。８．证明：如果()|(),()|()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。证

易见()d x 是()f x 与()g x 的公因式。另设()x ϕ是()f x 与()g x 的任一公因式，下证

()|()x d x ϕ。

由于()d x 是

()f x 与()g x 的一个组合，这就是说存在多项式()s x 与()t x ，使

()()()()()d x s x f x t x g x =+，

从而由()|

(),()|()x f x x g x ϕϕ可得()|()x d x ϕ，得证。

９．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，(()h x 的首系数为１）。