材料力学10压杆稳定_4稳定条件_折减系数法
10压杆稳定解析
第十章压杆稳定30mm1m两根相同材料（松木）制成的杆，σb =20MPa ；A ＝10mm ×30mm短杆长：l ＝30mm ； FFFF长杆长：l ＝1000mm第一节 压杆稳定的概念一、稳定问题的提出若按强度条件计算，两根杆压缩时的极限承载能力均应为：F = σb A =6kN（1）短杆在压力增加到约为6kN时，因木纹出现裂纹而破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN时突然弯向一侧，继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断。
30mm1m FFFF压杆的破坏实验结果：• 短压杆的破坏属于强度问题；30mm1mFFFF• 长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡状态的问题结论：短压杆与长压杆在压缩时的破坏性质完全不同压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。
压杆失稳的严重后果：19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造成200人遇难。
1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳引起的。
1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐因一个受压构件失稳而突然倒塌。
研究压杆稳定性的意义：压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。
在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。
二、平衡状态的类型稳定平衡：干扰平衡的外力消失后，物体能自动恢复到原来的平衡位置的平衡不稳定平衡：即使干扰平衡的外力消失后，物体仍继续向远离原来平衡位置的方向继续运动的平衡。
随遇平衡：干扰平衡的外力消失后，物体可在任意位置继续保持平衡。
显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态，称为临界平衡状态。
F PF P 三、压杆临界力F crlF PF PF FF P F P F ＜ F PcrF P F PF= F PcrF P F PF> F Pcr稳定直线平衡状态 不稳定平衡状态临界状态 压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的临界力F cr 。
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学之压杆稳定
25
解: 图 (a) 中, AD 杆受压
N AD
2EI
2 P1
2
2a
1 2EI
P1 22
a2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB
NBD
P2
2EI a2
2EI
P2 a 2
26
例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后
仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？
解: (1).
Pcr
2EI ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
(2).
2E I正
Pcr正 ( l)2 Pcr圆 2 E I 圆
I正 I圆
a4
12
d4
d
4
2
2
12
d4
3
( l)2
64
64
28
例: 三种不同截面形状的细长压杆如图所示。 试: 标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
解：
2E Ib
Pcr b Pcr a
( l)2 2EIa
( l)2
Ib Ia
h4
12 hb 3
h b
3
8
12
27
例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持
不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 原压杆的＿116＿; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿3 倍。
工程上要求 Pmax＜ Pcr
与压杆的材料、截面形式、 长度、及杆端约束有关1。8
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
材料力学课件——压杆稳定计算
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
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19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
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9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
压杆稳定课件
第十三章压杆稳定【学时】4内容：压杆稳定的概念；稳定平衡与不稳定平衡；临界压力；计算细长压杆临界压力的欧拉公式；杆端约束不同对临界压力的影响；长度系数，临界压力，压杆柔度；欧拉公式的适用范围。
经验公式；临界应力总图。
压杆的稳定计算；安全系数和折减系数法。
【基本要求】1．理解压杆稳定的概念[2]。
2．掌握临界力的欧拉公式[1]。
3．掌握临界应力的欧拉公式[1]4．了解欧拉公式的适用范围[3]。
5．理解临界应力总图[2]。
6．了解压杆稳定的安全计算[3]。
【重点】压杆稳定的概念，临界压力和临界应力的计算，以及压杆稳定校核的方法——安全系数和折减系数法。
【难点】压杆稳定的概念，压杆稳定的安全计算。
§13–1 稳定的概念一、三种平衡状态稳定平衡 随寓平衡 不稳定平衡二、弹性稳定弹性稳定---受力后弹性体平衡状态的稳定性。
Pcr 临界力。
cr P P 〈，稳定平衡；cr P P =，临界平衡；cr P P 〉，不稳定平衡。
失稳---平衡丧失稳定性现象。
条件：失稳后，仍处于线弹性。
理想压杆与实际压杆的差异：压杆多有缺陷：截面不完全一样；材料不均；轴不绝对直；荷载偏心等等。
这些偶然因素起干扰力Q 作用。
§13–2 弹性压杆的临界力弹性压杆的分叉现象表明：压杆从直线状态的平衡，过渡到微弯状态的平衡，也即临界力作用下，可能在微弯下平衡。
条件：杆内应力不超出比例极限，用挠曲线近似微分方程。
当,,Py M P P cr ==但y EI EI M ''-==ρ，所以Py y EI =''-， 微弯曲线微分方程：,0=+''Py y EI 令EIP k =2，所以02=+''y k y ， 有通解：kx c kx c y sin cos 21+=，边界条件：.0,;0,0====y l x y x 稳定方程式：sinkl=0. 两端铰支：22l EIP cr π=。
材料力学第十三章压杆稳定ppt课件
2
11010 1 120 903 1012 12
1 32
该杆为中长杆。
σcr = 10.3MPa
79.9kN
Fcr = 111.5 kN
例2. 一压杆长l =2m，截面为10号工字钢，材料为Q 235钢， σs=235MPa，E =206GPa， σp =200MPa。压杆两端为柱 形铰，试求压杆的Fcr。
cos kl 0, kl n
2
, n 1,3,5...
Fcr
2EI
2l 2
Me x Fcr
l
w
x
2)、两端固定： M x Me Fcrw
EIw Me Fcr w
w kw k 2 M e Fcr
w Asin kx B cos kx M e Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0, w 0
cr a b, Fcr cr A
a、b为与材料有关的常数，单位：MPa。
适用范围： σP＜σ cr ＜σ u
或 λP＞λ ＞λ u
当λ≤λ u时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破 坏是强度破坏。
显然， λ u是中柔度杆与短粗杆的分界值。
令σ cr = σ u得：
u
a
b
u
四、临界应力总图
（1） λ≥λP，大柔度杆，
Fcr
w Asin kx B cos kx F0 l x
Fcr
x
F0
Me
Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0;
A F0 , B F0l
kFcr
Fcr
w
F0 Fcr
1 k
sin kx l cos kx l
x
压杆稳定条件及计算
压杆 稳定 条件 及计 算
【例10-3】 某锰钢架其尺寸、受力如图１０-7（a)所 示。已知AB杆、BC杆都为圆截面钢杆，AB杆直 径d=60 mm，BC杆直径d=50 mm，许用应力为 σ=160 MPa，求构架能承受的最大荷载P。
压杆 稳定 条件 及计 算
压杆 稳定 条件 及计 算
【解】按强度条件估算最大荷载P。
（1）外力分析。B点受力图如图10-7（b）
所示，列平衡方程以求两根杆所受的外力。
∑Fix=0
FAB－FBCcos 30°=0
∑Fiy=0
FBCsin 30°－P=0
求得FAB=1.732P，FBC=2P。
（2）内力分析。
杆AB轴力为压力：FNAB=FAB=1.732P 杆BC轴力为拉力：FNBC = FBC =2P
压杆 稳定 条件 及计 算
压杆 稳定 条件 及计 算
【例10-2】 如图10-6所示为一两端铰支的矩形截面 木梁，杆端作用轴向压力F，已知F=48 kN， σ=10 MPa，截面尺寸为120 mm×180 mm， 折减系数φ=0.19，试校核该压杆的稳定性。
压杆 稳定 条件 及计 算
压杆 稳定 条件 及计 算
（10-8）
为了简化校核计算，将稳定许用应力σw与强度
许用应力σ的比值定义为折减系数，并用φ表示，
即
，则
（10-9）
压杆 稳定 条件 及计 算
折减系数φ是一个小于1的系数，φ值取决于压 杆的柔度λ和材料。几种常用材料的φ值见表10-3。 这样，压杆的稳定安全条件可以写成
（10-11） 式（10-11）称为压杆稳定条件，利用稳定条件 可进行稳定校核、截面设计及求许可荷载等三个方面 工作。
压杆稳定条 件及计算
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2）确定折减系数
压杆柔度 l 1 2000 mm 80.0
i cos 30o 28.87 mm
查表得折减系数
2m
1m
0.470
30o
3）稳定计算
a
a
根据压杆的稳定条件，
AB
FAB A
3F a2
3F 0.12 m2
≤ 0.47010106 Pa
F A1
300 103 A1
N
≤1
0.5 170 106
Pa
l
求得此时压杆的横截面面积
A1 ≥ 35.3cm2 查工字钢型钢表，可选 No. 20a 工字钢 根据 No. 20a 工字钢的截面几何参数，压杆柔度
1
l
i
0.7 420 cm 2.12 cm
138.7
于提高大柔度压杆的稳定性没有意义。 2. 中柔度杆 结论：选择高强度钢材有利于提高中柔度压杆的稳定性。
3
二、从柔度着手
降低压杆柔度 将显著提高压杆的稳定性 1. 加固压杆两端约束，减小长度因数
2. 减小杆长 l
3. 采用合理的截面形状，使压杆在各个方向上的柔度 大致
相等。
4
[例1] 如图，已知撑杆 AB 为边长 a = 0.1 m 的正方形截面木杆；木
此时，实际工作应力
F A2
300103 N 42.128104 m2
71.4
MPa
稳定许用应力
[st ] 2 [ ] 0.416170106 Pa 70.7 MPa
9
2）第二次试算
F
71.4 MPa
st 70.7 MPa
可见，工作应力略大于稳定许用应力，但由于超
求得此时压杆的横截面面积
A2 ≥ 41.3cm2
8
F
2）第二次试算
2 0.427
A2 ≥ 41.3cm2
查工字钢型钢表，可选 No. 22a 工字钢
l
根据 No. 22a 工字钢的截面几何参数，压杆柔度
2
l
i
0.7 420 cm 2.31cm
127.3
查表得折减系数 2 0.416，已与 2 相当接近
解得
F ≤15.67 kN
故得该结构的许可载荷
F 15.67 kN
6
[例1] 图示压杆用工字钢制成，已知 l = 4.2 m，F = 300 kN，材料
为 Q235 钢，许用应力 [ ] = 170 MPa， 试确定工字钢的型号。
解： 压杆的稳定设计需采用试算法
F
1）第一次试算
取折减系数 1 0.5，根据稳定条件
l
出量小于 5%，故 No. 22a 工字钢可以满足要求
10
减系数或稳定因数
1
二、压杆的稳定条件
F A
≤[st ] [ ]
说明： 1）对于等截面压杆，满足稳定条件一定满足强度条件 2）压杆局部截面的削弱不会影响整体的稳定性，但需补充对削弱 截面进行强度校核。
2
第七节 提高压杆稳定性的措施
一、从材料着手 1. 大柔度杆 结论：应提高材料的弹性模量 E 。因此，改变钢材的品牌型号对
第六节 压杆的稳定计算·折减系数法
一、稳定许用应力·折减系数
定义 为压杆的稳定许用应力
[
st
]
cr
ns t
式中，nst ＞ 1，称为稳定安全因数，一般应高于强度安全因数 在土木行业中，通常取
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[st ]
式中，
cr
ns
t
cr n s nst
1，取决于材料与压杆柔度，称为折
材的许用应力 [ ] = 10 MPa， 试根据撑杆 AB 的稳定性确定该结
构的许可载荷。
2m
1m
解：1）计算撑杆 AB 所受轴向压力
30o
作受力图
a
由平衡方程 MC 0，得撑杆 AB
a
所受轴向压力
FAB 3F
2）确定折减系数
30o
长度因数 1
惯性半径 i I A 28.87 mm
7
F
1）第一次试算
1 138.7
查表得折减系数 1 0.354
l
由于所得 1与 1 相差过大，故需进行第二次试算
2）第二次试算
可取折减系数
2
1
1
2
0.427 ，根据稳定条件
F A2
300 103 A2
N
≤2
0.427 170 106
Pa