用遗传算法求解病态线性方程组_黄松奇
基于免疫遗传算法解算GPS病态方程
基于免疫遗传算法解算GPS病态方程屈利娜;任超;许本意;刘源璋;王浩宇【期刊名称】《海洋测绘》【年(卷),期】2011(031)005【摘要】Immune genetic algorithm is used for solving ill-conditioned equations of GPS rapid dynamic positioning in this paper, and then it was transformed as a function optimization problem. Joining the immune factors in the genetic algorithms, it avoided the degenerated phenomenon occurrence in the choice process of immune body, and it enhanced the overall performance of the algorithm. The theoretical analysis and the example results indicated that the method can raise the localization efficiency effectively.%介绍了利用免疫遗传算法解决GPS快速动态定位中法矩阵的病态问题,将其求解问题转化成一个函数优化问题.在遗传算法中加入免疫因子,使在抗体的选择过程中避免了退化现象的发生,提高了算法的整体性能.理论分析和算例结果表明,方法能够有效提高定位效率.【总页数】3页(P9-11)【作者】屈利娜;任超;许本意;刘源璋;王浩宇【作者单位】桂林理工大学土木与建筑工程学院,广西桂林541004;桂林理工大学土木与建筑工程学院,广西桂林541004;桂林理工大学土木与建筑工程学院,广西桂林541004;桂林理工大学土木与建筑工程学院,广西桂林541004;桂林理工大学土木与建筑工程学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】P228.4【相关文献】1.初始种群范围及运行参数对遗传算法解算GPS病态方程的影响 [J], 郭秋英;赵吉涛;刘庆新2.GPS单历元模型病态方程解算方法研究 [J], 李慕清;刘正华;夏传甲;刘刚3.用遗传算法解算病态方程 [J], 曾群意;欧吉坤4.单历元GPS测姿中病态方程解算方法的分析 [J], 王磊;翟国君;黄谟涛5.基于遗传算法的GPS病态方程的解算 [J], 郭秋英;徐遵义因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
病态线性方程组新的Jacobi迭代解法
Ｄ ＝ ＝
．
Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代 法 的矩 阵形 式为
分 量 形 式 为
］ ，
一
Ｌ＝ ：— — ａ ２ ｌ
０
ｉ
ｎ， 广１ ． ”１
ａ
．
１
… ａ 一 ｌ
０
０ ｌ
ｘ ‘ 蚪 ）一 Ｄ一 （ Ｌ ＋ Ｕ） ｘ ＋ Ｄ～ ｂ ，
Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代 法 是解 线性 方程 组 的一种 有 效方 法 ， 它具 有 存 储 量小 、 程 序 简单 的特 点． 但 当方 程 组 的 系数 矩 阵为 病态 时 ， 该 方法 不 再适 用． 本 文 给 出了一 类 全 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭 代算 法 ， 从 而改 进 和 推 广 了一 些
（ ２ｏ１ １ Ｇ Ｇ０４ ９）
（ ３ ）
第 ５期
孔祥 强 ： 病 态线性 方 程组 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代 解法
５ １
Ｍ
＝ … Ａ
Ｄ
下 面 研究 该 迭代 法 的收敛 性 ．
定义 ｚ 设 Ａ∈
占优 矩 阵．
． 若 存在 正 对角 矩 阵 Ｄ ， 使Ａ Ｄ 为严格 对 角 占优 矩 阵 ， 则称 Ａ为广义 严格 对角
［ 摘 要 ］ 给 出 了解 病 态 线 性 方 程 组 的一 种 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代算法 ， 并证 明了算法的收敛性 ； 通 过 具 体 算 例
说 明 了算 法 的 实 用 性 和 有 效 性 ．
［ 关键词］迭代 法 ； 病态方程组 ； 广 义 严 格 对 角 占优 矩 阵 ［ 中 图分 类 号 ］ Ｏ ２ ４ １ ． ６ ［ 文献标 识码］Ａ ［ 文 章 编 号］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ０ — ０ ５
求解非线性方程组的混合遗传算法
性方程组求解的实际要求, 在本文所设计的混合遗 传算法中采用实数编码方式, 这样使得算法对于任
何方程组求解都具有通用性。
3. 2 适应度计算 遗传算法在运行时, 是依靠适应度函数值的大
小来区分每个个体的优劣, 并判定是否进入下一代
的进化。适应度函数 的选择直接影响着算法的性
能, 几种常用的适应度函数方法及其分析参见文献
find: X = [ x 1 , x 2 , …, x n ] , X ∈ 5
n
( 2)
∑ min: f ( X ) =
f
2 i
(
X
)
i= 1
式( 2) 中 5 为方程组解的区间, 当 f ( X ) 最小值为 0
时, 所对应的 X 即为方程组的解。
针对式( 1) 和式( 2) 出发求解非线性方程组的
罗亚中, 袁端才, 唐国金*
( 国防科技大学 航天与材料工程学院, 湖南 长沙 410073)
摘 要: 非线性方程组 的求解是数值计算 领域中最困难的问 题, 大多数 的数值求解算 法例如牛顿 法的收敛性 和 性能特征在很大程度上依赖于初始点。但 是对于很多非线性方程组, 选择好的初始点是一件非 常困难的事情。本 文结合遗传算法和经典算法的优点, 提出了一种用于求解非线性方程组的混合遗传 算法。该混合算法充分 发挥 了遗传算 法的群体搜索和全 局收敛性, 有 效地克服了经典算 法的初始点敏感问 题; 同 时在遗传算 法中引入经 典 算法( P ow ell 法、拟牛顿迭代法) 作局部搜索, 克服了遗传算法收敛 速度慢和精度差的缺点。选择了几个典型非线 性方程组, 从收敛可靠性、计算成本和适用性等指标分 析对比了不同算法。计算结果表明所 设计的混合遗传算法 有着可靠的收敛性和较高的收敛速度和精度 , 是求解非线性方程组的一种成功算法。
病态线性方程组的粒子群算法
…
、
Ｉ （ ｉ ／ ｆ１ ≥ （ ） Ｐ ｆ ｆ （（ ） ｆＰ ｆ ） ＋） （）
ｌ ， １ ｉ ＿ （ １ ＜ （ ） （ ） ｆ 厂 ｆ ） ｆ Ｐ（） ＋ （ ＋） ｆ
…
在每 一 次迭 代 过 程 中 ， ２ 产 生 一个 新 的 解 向量 ｘ ｔ １ ， 该 由（ ） ｉ ＋） 对 （ 解 向 量进 行评 价 ， 与个 体 最 优 位 置 的适 应 值 进行 比较 ， 果 当前 并 如 的 解 向量 较 优 ， 保 存 其 为 个 体 最 优 位 置 ； 不是 ， 个体 最优 位 则 如 则 置保持 不变 。 有些 时候 可 能 会 对 粒 子 群 优 化 算 法 的 速 度 加 以 限 制 ， 样 一 这
解 变 得 相 当 困难 －。 ３ 】
Ｖ ｉ ｄ＜一Ｖ — ｔｅ ｈｎ Ｖ 一 Ｉ】 ｉ ｄ ＶＴｃ ｌ ａ
Ｖ ｉ ｄ＞Ｖ ａ ｍｘ 算法
粒子 群优化 算法 （ ａ ｔ ｌ ｗａ ｍ ｔ ｚ ｔ ｎ Ｐ Ｏ） Ｐ ｒ ｃ Ｓ ｒ Ｏｐｉ ａｉ ， Ｓ 最初 Ｋ ｉｅ ｍｉ ｏ ｅ ｎ ｅ ｙ ｂ ｒ ａ ｔ 提 出的 ， 自于对 鸟 群捕 食 行 为研 究 ， 一 种迭 ｎ ｄ 和Ｅ ｅ ｈ ｒ… 源 是 ２ 病态线性方程组 的粒子群 算法 代的优化 算法 。 考虑线性方程组 ： 粒子 群 优化 算 法 （ Ｏ ） Ｐ Ｓ 首先 在 可行 解 空 间 中随机 初 始化 ｍ 个粒 Ａｘ ＝ｂ 子 ， 一 个 粒 子 都对 应 着 优 化 问题 的一 个 解 ， 且 由 目标 函数 确 定 每 并 个适应 值 （ ｉ ｅｓ Ｆｔ ｓ ｎ Ｖａｕ ）每 个粒 子都在 解空 间 中运 动 ， 常粒 子 ｌｅ 。 通 即∑ ， ｂ ｉ ，…， ＝ｉ １， ２ ｊ Ｌ ＝ 将 追随 当前 最 优粒 子 而动 ， 经过 迭 代逐 步 搜索 ， 并 最后 得 到 最优 解 。 其 中 ， 阵 Ａ＝（ … ∈ ， 矩 ） Ｒ 向量 ： ，２ Ｘ １ ， 量 ｂ＝ （ｌ ｎ 向 在 整 个 迭 代 搜索 过 程 中 ， 粒子 始 终 跟 踪 两 个 最优 值 ， 个 是 粒 子 本 一 身 迄 今 找 到 的最 优 解 ； 另外 一 个 为全 体 粒 子 迄 今 找到 的最 优 解 。 在 （Ｉ …， ） 。 ６ ｂ， ６ ， 维 搜索 空 间中 ， 第 ｉ 记 个粒 子 当前 的位 置 为 ｘ＝（ ， ， ， ）， ｉ ｔ， … ： 其 设 、 ｂ和 的 绝 对误 差 分 别 为 、 和 尉 ， Ｘ的 相 对 误 差 则 速 度 为 ｖ ＝（ｉｖ …， ）， 子 找 到 的 个 体 历 史 最 优 位 置 为 估 计 如 下 Ｈ： ｖ， ． 粒 １ Ｐ ＝（ Ｐ …， ， 局 最 优 位 置 为 Ｐ （ Ｐ …， ） ， Ｐ Ｐ ）全 ＝ Ｐ Ｐ 。 ［ ］ｃ ｄ ）ｂ Ｆｌ ｃ ｄ ￣ｐ ｌ ＋ （ １ ＜ ｎ Ａ ［ ｎ Ａ １ Ｉ ） ［ｌ ｏ （ ［ ［ ｘ＜ｏ Ｃ Ａ（ 。Ｆ ） ｉ ｆ ｘ ｉ ｆ ｌ ４ 个 体 历 史 最优 位 置 Ｐ 是粒 子 本 身的 经验 ， 局 最 优 位 置 是 全 粒 子群 的 经 验 ， 个 粒 子 位 置 就 是 按 照 这 两 个 经 验 值 更 新 。 于 每 对 ｔ １ 迭 代 ， 一 个 粒 子 按 照下 面 两 式 进 行更 新 变 化 ： ＋ 次 每 其中， ｎ（） Ｉ 。 若条 ｃｄ ＝ ｏ Ａ Ｉ 表明 件数ｃ ｄＡ很大 Ａ ｏ （） 时， ｎ
范德蒙矩阵形式下的病态线性方程组求解
由表 1 的数据可知，随着范德蒙德矩阵阶数 的增加，其 2- 条件数也越来越大，病态性也越来 越严重参见文献[6-7]。为更直观地了解阶数与条件
基金项目：2018 年长治学院课题“非线性算子的不动点定理及其应用”（ZC201811）；长治学院“1331 工程”人才培养质量提升 计划项目（200628）
n
移 bi= aij，i=1，2，…n j=1
下面用新主元加权迭代法对这个线性方程组 进行求解，得到的结果如表 3 所示。
表 3 解的近似值（n=10 加权因子为 籽=1.000001）
近似值 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
单参数迭代法 0.999999 1 0.999997 1 0.999999 1 1 1 1 1
表 4 加权因子与绝对误差
文章选取以系数矩阵为范德蒙德矩阵的病态 线性方程组，借鉴文献[4]提供的单参数迭代法和文 献[5]中的新主元加权迭代法，对病态线性方程组进 行分析求解。结果表明选取的迭代方法切实可行， 对分析此病态线性方程组有很大帮助。
1 范德蒙德矩阵的病态性分析
选取 n 阶的范德蒙德矩阵如下：
1 杉山
山
1
12
…
1 山
数的增加，2- 条件数越来越大，病态程度也越来越严重。然后选用单参数迭代法和新主元加权迭代法分别
对以系数矩阵是范德蒙德矩阵的病态线性方程组进行求解，从数值结果可以看出，选取适当的加权因子对
求解此病态线性方程组同样有较好的精度和收敛速度。
关键词：病态线性方程组；范德蒙矩阵；单参数迭代法；新主元加权迭代法
2019 年 4 月 第 36 卷 第 2 期
长治学院学报 Journal of Changzhi University
主元加权迭代法求解病态线性方程组
技术研究项 目（ １ ５０ ７ 资助 １５ １ １ ）
第一作者简介 ： 唐
丽， ， 女 汉族 ， 上海 医疗 器械 高等 专科学 校工程
师。研究方向 ： 计算机科学与技术 ， － ｉ： ｎ ９ ９ ｏｕ ｃｒ。 Ｅｍａ ｓ ９ ９ ＠ｓｈ ． ｏ ｌｕ ｎ
通信作者简介 ： 李鹏飞 ， ， 男 汉族 ， 讲师 ， 硕士 ， 研究方 向 ： 智能优化 算法 。Ｅｍ ｌ —ａ ： ｉ 图像处理 ， ｅｆ １＠ １６ ｃｒ ｌ ｐ ２ １ ２ ．ｏ 。 ｅ ７ ｎ
［ ］ 出的算 法需 要构 造 出共 轭 向量 基 以及 对应 系 １提
数 ， 法收 敛 速 度 低 于 共轭 方 向 法 。文 献 ［ ］ 出 算 ２提 的算 法 是结合 了 Ｂ Ｇ Ｆ Ｓ算法 优 良的局部 搜 索 能力 和 模 拟退 火算 法全 局 搜索 能 力 的混 合算 法 ， 模 拟 退 用
要 由于病态线性方程组 的系数矩 阵条 件数很 大 ， 用迭代 法求 解病 态线性 方程 组 时， 使 收敛 速度 慢且数 值解 的精度很
低 。针对 此问题， 设计 了一种 主元加权迭代 算法。该 算法在 系数矩 阵主元上叠 加一个权 值 ， 以此来 降低 系数 矩 阵的条 件数。 最后 以希 尔伯 特矩阵构成 的病态线性方程组为例 ， 对提 出的主元加 权迭代 算法和 高斯 一赛 德 尔迭 代法 以及 雅克 比迭代 法进 行 了测试 。对 比试 验结果表 明： 主元加权迭代 算法能有效地提高数值解 的精度。 关键词 病态线性方程组 主元加权 预处理 条件数
其 中 ： ｍ ｘ Ｓ ＝ ａ
ｉ ，， ， 左乘病态矩阵 ， ＝１２ … ）
将 原病 态矩 阵转 换 为 相 对 良态 矩 阵。但 是 ， 据 笔 根 者 以 １０阶的 Ｈｌｅｔ 阵实 算 ， 阵 的条 件数 没 有 ０ ｉ ｒ矩 ｂ 矩 明显地 降低 。文 献 ［ 中提 出 的算法 需 要 构造 一 个 ４］
病态方程组与矩阵的条件数
数值计算方法
出方程的近似解
。
~
x
~
x 是方程组（A+△A）x=b+ △b (1)
在没有舍入误差的解。称方程（1）为方程Ax=b的扰动 方程。其中△A， △b为由舍入误差所产生的扰动矩阵 和扰动向量。当△A， △b的微小扰动，解得（1）的解 与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病 态方程。
扰动方程组的误差界
||
|| A || || A ||
|| A ||
1.2 矩阵的条件数
定义3.5.1 设A R nn为非奇异矩阵，称
Cond(A) A A-1
为矩阵A关于线性方程组Ax b的条件数;称
K ( A) A A1
2
2
为矩阵A关于方程组Ax b的谱条件数.
线性方程组Ax b解的相对误差直接 与条件数相关, 如果c ond( A)相对较小时, 解 的相对误差也小，则称Ax b谓良态方程组； 如果c ond(A)大时, 解的相对误差也大，则称 Ax b为病态方程组。
x x b x 从而 A1 A || || A1 A1 A || ||
当 A1 A 1时得
x
A A1
b A
x
|| || 1 A A1
(
A b
A
)。
A
定理3.5.1 设A Rnn且非奇异。x是方程组Ax b的
~
精确解。x
x
x是扰动方程组(
A
A)
x
b
b的解,
如果 || A1 || || A || 1, cond( A) || A |||| A1 ||,则
x || A ||
|| ||
~ (3)
|| x || || x ||
遗传算法
x为0,1：二进制编码 x为整数：二进制/十进制编码 x为实数：二进制/十进制/实数编码
编码原则：
完备性。问题空间中所有点（侯 选解）都能用遗传算法空间中的 点（染色体）表现； 健全性。遗传算法空间中的染色 体都能对应问题空间中的所有侯 选解； 非冗余性。染色体和侯选解一一 对应。
W z
1 遗传算法的概念
若干 1.0 0.0 最优 执行变异操作获得 个体 4 个体 子代一个新个体
10011
0.144
0.144
个体被选取的概率
Psi f i /
f
j 1
N
0.309
i＝i＋1
j
i 1,2, , N
i＝i＋1
适应值的比例变换法
期望值法（个体不多时） 排位次法（个体适应度相近时）
W z
c 0.691 0.055 y 个体3 01000 0.636 基因干预
i＝i＋1
4.确定指定结果的方法和停止 运行准则
W z
交互
②
1 遗传算法的概念
染色体编码 y＝f(x), x∈(x-, x+)
染色体编码，生成初始种群 遗传代数：NEra＝0 计算每个个体的适应度 y 收敛否 ? n 进行选择、 杂 交 pc 、 变 异 pm 和 保 留 等遗传操作，生成 新一代种群 NEra＝NEra＋1 解码 输出结果
n
y 变异前 A1=11001 变异后 基因干预 A’1=11011
人机 交互
②
1 遗传算法的概念
①
遗传操作——保留
使得遗传算法能以概率 1收敛到全局最优解。
对种群进行简单的选择 ( 复制 ) 、杂交和变异操作 是遗传算法的精髓！ 停止运行准则
求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法
ｄ ｔ２ ｅ （Ｉ— Ｇ） 一 ｄ ｔ ｅ Ｑｌ一 （ ＋ ｃ ） （ Ｄ ｃ ～ Ｍ ） ）
一
ｄ ｔ （ ＋ ｏ ） ）・ｄ ｔ （ Ｄ ＋ ｃ ） ～ （ ｅ（ Ｄ Ｗ ｅ （ （ Ｅ
一 Ｍ ） Ｅ一 Ｅ） ）
一
ｄ ｔ （ ＋ ｅ（ Ｄ
Ｊ ｃ ｂ 迭代 法 是解 线性 方程 组 的一 种有效 方 法 ，它具 有存 储 量小 、程 序 简 单 的特 点 。但 当方程 组 ａｏ ｉ 的 系数矩 阵 为病 态时 ，该 方法 不 能再使 用 。下 面 ，笔 者给 出 了一类 全新 的 Ｊｃ ｂ 迭 代算 法 。 ａｏ ｉ
１ Ｊ ｃ ｂ 迭 代 法 ａｏ ｉ
・７ ‘
ｄ ｉ ０ ３ ６ ／．ｓｎ １ ７ —４ ９ （ ｏ：ｉ ． ９ ９ ｊｉ ． ６ ３１ ０ Ｎ）． ０ ２ ０ ． ０ ｓ ２ １．３ ０３
求解 病 态 线 性 方 程 组 的 一 种 新 的 Ｊ ｃｂ 迭 代 算 法 ａｏ ｉ
孔祥强 （ 菏泽学院数学系， 山东菏泽２４０） ７００
引理 １
引理 ２。 严 格对 角 占优 矩阵 、 不可 约 对角 占优 矩 阵 ， 为广 义严 格 对角 占优 矩 阵 。 均
为方 便起 见 ， 不妨 设 Ｆ — ｄａ （ ｆ ， ， ）为对 角矩 阵 。 ｉ ｆ ，２… ｇ
［ 收稿 日期］ ２ １ —１ ０ １ ２—２ ８ ［ 基金项 目］ 山东省 统计局 重点课题 项目 （ ＫＴｌＯ ８ ；山东省教 育科学 十二五 规 划重点 课题项目 （ ０ １ ＧＯ ９ 。 ｌ４ ） ２ １ Ｇ ４ ） ［ 作者 简介］ 孔祥强 （ ９ ３一 ，男 ，２ ０ １８ ） ０ ５年大学毕业 ，硕士 ，助 教 ，现 主要从 事应用数学方面的教学与研 究工作。
用一种免疫遗传算法求解MST、TSP问题
北京工业大学硕士学位论文用一种免疫遗传算法求解MST、TSP问题姓名：***申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：***20040501摘要遗传算法是借鉴生物的自然选择和遗传化机制而开发出的一种全局优化自适应概率搜索算法，它更表现出比其他传统优化方法更加独特和优越的性能，隐含并行性和全局搜索特点是遗传算法的两大显著特征，因此关于遗传算法的研究越来越受到重视。
考虑到遗传算法中选择和交叉算子对群体多样性的影响，本文进一步明确遗传算法存在易陷入早熟收敛和后期收敛速度慢的缺点。
正是由于考虑到选择和交叉算子对算法的多样性影响，改进选择算子和交叉算子是本文主要关注的两个问题。
人体免疫功能的特点对于改进和提高遗传算法的能力是十分有启迪性的．本文在选择算予改进上不仅考虑适应度概率来选择，并加入浓度概率来加以选择，这样既确保了适应度高的个体能传到下一代，同时也保持了群体的多样性。
同时考虑算子的可行性和效率，采用了矢量距浓度概率的计算；在交叉算子设计上，为了避免多样性由交叉而丢失，采用的交叉算子应尽量减少由交叉所得群体中相似个体的比例；同时采用了最优保持策略，有益于群体多样性的保持。
图论是数学中有广泛实际应用的一个分支，其中典型问题包括：ＭＳＴ、ＴＳＰ问题。
本文以图论中ＭＳＴ、ＴＳＰ问题为例，以改进的遗传算法来求解，取得较好的结果；关键词：遗传算法免疫多样性交叉ＡｂｓｔｒａｃｔＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＧＡ）ｉｓａｎａｄａｐｔａｂｌｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｈａｔｉｓｃｒｅａｔｅｄｔｈｒｏｕｇｈａｄａｐｔａｔｉｏｎｉｎＮａｔｕｒｅａｎｄｒｏｌｅｏｆＧｅｎｅｔｉｃｓ．Ｉｔｈａｓｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｏｔｈｅｒｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｓｐｅｃｉａｌｉｚｅｄｑｕａｌｉｔｙ．ＩｍｐｌｉｃｉｔｐａｒａｌｌｅｌａｎｄｇｌｏｂａｌｓｅａｒｃｈｉｎｇａｒｅｔｗｏｒｅｍａｒｋａｂｌｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＧＡ．ＴｈｅｓｔｕｄｙｏｆＧＡｉｓｇｅｔｔｉｎｇｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅａｔｔｅｎｔｉｖｅ．ＢｅｃａｕｓｅｔｈｅｓｅｌｅｃｔｉｎｇａｎｄｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｉｎＧＡｐｌａｙａｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｒｏｌｅｉｎＧＡ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｆｕｒｔｈｅｒｓｈｏｗｓｔｈａｔＧＡｈａｓｔｗｏｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓ：ｐｒｅｍａｔｕｒｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｎｄｓｌｏｗｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｓｐｅｅｄｉｎｌａｔｅｒｐｈｒａｓｅ．Ｓｏｔｈｉｓｐａｐｅｒｔａｋｅｓｍｏｒｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏｓｅｌｅｃｔａｎｄｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ．ＩｍｍｕｎｅｑｕａｌｉｔｙｈａｓａｇｏｏｄｅｄｉｆｉｃａｔｏｒｙｅｆｆｅｃｔｉｎｉｍｐｒｏｖｉｎｇＧＡ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈａｔｃｈｏｏｓｉｎｇｏｐｅｒａｔｉｏｎａｃｔｓｂｙｂｏｔｈａｄａｐｔｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｃｅｎ订ａｔｉｏｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｓｏｉｔｃａｎａｓｓｕｒｅｔｈａｔｃｈｒｏｍｏｓｏｍｅｗｉｔｈｈｉｇｈｅｒａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙｃａｎｂｅｇｏｒｏｕｎｄｔｏｔｈｅｎｅｘｔｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅｉｔｒｅｔａｉｎｓｃｏｌｏｎｙｄｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｉｎｅｖａｌｕａｔｉｎｇｃｈｒｏｍｏｓｏｍｅｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ，ａｎｅｗｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄ．Ｉｎｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｉｏｎ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｖｏｉｄｄｉｖｅｒｓｉｔｙｌｏｓｉｎｇｂｙｃｒｏｓｓｏｖｅＬｗｅｓｈｏｕｌｄｒｅｄｕｃｅｓｉｍｉｌａｒｃｈｒｏｍｏｓｏｍｅｐｅｒｃｅｎｔａｇｅｔｈｒｏｕ曲ｅｍｐｌｏｙｉｎｇｓｐｅｃｉａｌｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｏｒｔｏｔｈｅｑｕｅｓｔｉｏｎ．Ｃｌａｓｓｉｃｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｒｅｓｅｒｖａｔｉｏｎｉｓｂｅｎｅｆｉｃｉａｌｔｏｋｅｅｐｃｏｌｏｎｙｄｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｇｒａｐｈｔｈｅｏｒｙｉｓａｂｒａｎｃｈｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｗｈｉｃｈｈａｓｅｘｔｅｎｓｉｖｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．ＩｎＧｒａｐｈｔｈｅｏｒｙｔｙｐｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｃｌｕｄｅＭＳＴａｎｄＴＳＥＴｈｉｓｐａｐｅｒｕｓｅｓｉｍｐｒｏｖｅｄＧＡｔｏｓｅｅｋａｎｓｗｅｒｓｔｏｔｈｅｔｗｏｑｕｅｓｔｉｏｎｓ，ｇａｉｎｉｎｇｂｅｔｔｅｒａｎｓｗｅｒｓ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓ；Ｉｍｍｕｎｅ；Ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ；Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ．独创性声踢本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育饥构的学位或证书面使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名缓盔Ｈ＆日期：兰竺芏！』：墨关于论文使用授权的说明本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：二垂继导师签名；ｊ数日期ｂ坤．占第１章绪论基本遗传算法是一种新兴的优化算法，它有其很多的优点，为许多领域带来了全新的概念和解决思路；但基本遗传算法也有其弊端和不足，这篇文章主要想改进一般遗传算法，考虑到遗传算法是一新的算法，首先我们从介绍遗传算法开始。
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第33卷第8期2003年8月数学的实践与认识MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYVol.33 No.8 August,2003
用遗传算法求解病态线性方程组黄松奇1,2, 黄守佳1(1.郑州轻工业学院信息与计算科学系,郑州 450002)(2.清华大学数学科学系,北京 100084)
摘要: 众所周知,病态方程组的条件数较大,当输入数据有微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起
输出数据的很大扰动,使得解严重失真,因此求解此类方程组是相当困难的.本文尝试使用遗传算法来求解病态线性方程组,得到了较好的结果,并与传统的求解方法作了简单的比较.关键词: 病态方程组;遗传算法
1 引 言
收稿日期:2003-03-08 在图象处理、解卷积、模型参数估计等许多领域都需要求解病态线性方程组,但是由于病态方程组的条件数较大,输入数据有微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起输出数据的很大扰动,即问题的解很不稳定,因此求解此类方程组是相当困难的.遗传算法(GeneticAlgorithm)是美国密执根大学Holland教授倡导发展起来的,是一种基于生物进化的机制和原理并引用随机理论的全局优化搜索方法.近年来遗传算法(GA)以其高效、实用等特点在各领域中得到了广泛的应用,并越来越受到重视.
2 基本遗传算法描述遗传算法是一种基于生物进化过程的组合优化方法,其基本思想是:随着时间的更替,只有最适合的物种才得以进化.遗传算法利用全局搜索技术,通过对决策空间的一个集合施行选择、交叉、变异等一系列遗传操作产生一个新的集合,通过循环操作,不断产生新集合,并使得新的集合包含接近最优解的编码.遗传算法在求解优化问题时,需要定义一个适应度函数,并把待求解问题的可行解编码为由一个编码串表示的个体,使得适应度最大的个体对应于待求解问题的最优解,这样只要找到了适应度最大的个体,也就得到了问题的最优解.2.1 适应度函数的设计在遗传算法中,以个体的适应度的大小来确定个体被遗传到下一代群体中的概率.个体的适应度是由适应度函数来计算的,因此为了正确地计算不同情况下各个个体的遗传概率,要求所有个体的适应度必须非负,同时还要保证适应度最大的个体对应于优化问题的最优解.2.2 编码遗传算法并不直接对可行解进行运算,而是以可行解的某种编码为运算对象,通过对这些编码个体进行选择、交叉、变异等遗传操作,不断产生更优的编码个体,达到优化的目的.2.3 构造遗传算子遗传算子主要由选择算子、交叉算子和变异算子构成.1)选择算子选择算子的作用是从当前代中选择出一些比较优良的个体并将其复制到下一代群体中.比例算子是最常用的选择算子.比例选择就是按照每个个体的适应度在全部个体的适应度之和中所占的比例来决定各个个体被遗传到下一代中的概率.2)交叉算子交叉算子的作用是通过按照某种方式交换两个个体的部分编码,而形成两个新个体.单点交叉算子是最常用的交叉算子.3)变异算子变异算子就是将个体编码串中某些编码位上的值用其它值替换而形成一个新个体.基本位变异算子是最常用的变异算子.变异算子的作用是通过随机改变个体中某些编码位的值,达到改善群体多样性的目的.
3 遗传算法求解线性方程组考虑如下形式的线性方程组:AX=b其中A为n阶非奇异方阵,X和b为n维向量要使用遗传算法来求解此方程组,首先要把上述问题转化为一个函数优化问题,为此构造如下的优化问题:minf(X)=‖AX-b‖∞, X∈Rn 易见f(X*)=0ZAX*=b,即X*是方程组AX=b的解构造适应度函数
F(X)=11+f(X), X∈Rn显然F(X)>0,且当f(X)=0时F(X)的值最大1)按比例选择算子计算各个个体被遗传到下一代群体中的概率.2)基于实数编码方式我们选择均匀算术交叉算子,其具体执行过程是:对群体中的个体进行两两随机配对,依设定的交叉概率pc,对每一对相互配对的个体XA,XB依下式进行算术交叉,产生两个新个体XC=AXB+(1-A)XA
XD=AXA+(1-A)XB
(1)
其中A是一参数由于适应度越大的个体越接近于最优解,所以可以认为最优个体应当在适应度大的个体的附近,对于均匀交叉算子(1)式,当A取固定值时,显然不能反映上述特点,为此,令
A=F(XA)F(XA)+F(XB)(2)
不妨设F(XA)>F(XB),用XC=AXA+(1-A)XB(3)
98数 学 的 实 践 与 认 识33卷 这样一个加权和产生新个体XC,显然A越大,XC就越接近XA,当F(XA)远大于F(XB)时,由(3)式产生的新个体就离XA很近,就能够达到在适应度大的个体附近进行搜索的目的.3)基于实数编码方式,我们选取均匀变异算子,也就是分别用符合某一范围内均匀分布的随机数,以某一较小的概率来替换个体编码串中各个编码位上的值,具体就是:依次指定个体编码串中每个编码位为变异点,对每个变异点,以变异概率pm从对应编码位取值范围内取一随机数替换编码位上的值.如X=x1x2…xk…xn1
用x′k=Ukmin+A(Ukmax-Ukmin)(4)
对xk进行变异,其中[Ukmin,Ukmax]是xk的取值范围.
4 模拟结果与分析考虑线性方程组:AX=b,其中
A=112…1n1213…1n+1…………1n1n+1…12n-1为n阶Hilbert矩阵,b=A*111
易见,该方程组的解为X=[1 1 … 1]T利用经典的一些算法对上述问题求解,可以看到:1)LU分解方法随着维数的增大(n≥12)LU方法求得的解与精确解的误差越来越大,这是因为矩阵的条件数越来越大,病态越来越严重.2)Jacobi迭代法经计算Jacobi迭代矩阵的谱半径大于1,J方法根本不收敛3)GS方法GS方法的谱半径小于1,迭代法收敛,但是由于谱半径非常接近于1,收敛速度很慢.4)SOR方法SOR方法与GS方法类似,其迭代矩阵的谱半径小于1,但非常接近于1,收敛速度很慢.5)遗传算法采用实数编码方法,遗传算子采用比例选择算子、均匀算术交叉算子(A=0.3)和均匀变异算子,取种群规模为50,交叉概率为0.8,变异概率为0.04,经在Matlab上计算可以看出,用遗传算法求得的解偏离精确解的程度明显优于用LU方法求得的解.
5 讨 论遗传算法参数的选择对于其求解的有效性至关重要,通常有编码长度L,种群规模M,
998期黄松奇,等:用遗传算法求解病态线性方程组交叉概率pc,变异概率pm等.种群规模M过大则造成计算量过大,过小则搜索空间过小,有可能不收敛到最优解;交叉概率pc与具体的复制策略有关;变异概率pm过大则使搜索过程随机性过大,不能收敛到最优解,过小则搜索过程缓慢,此外维数过高时如何解决编码问题,这些都是有待进一步研究的问题.
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GeneticAlgorithmforSolvingIll-conditionedLinearSystems
HUANGSong-qi1,2, HUANGShou-jia1(1.DepartmentofInformationandComputingScience,ZhengzhouInstituteofLight
Industry,Zhengzhou450002,China)(2.DepartmentofMathematicalSciences,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)
Abstract: Asknown,usingtraditionalmethodstosolveill-conditionedlinearsystemsisverydifficult,becausetheconditionnumberofthesesystemsissolargethatthelittleerrorofinputdatamaybecausingthelargeerrorofoutputdata.InthisarticlewetrytouseGeneticAlgo-rithm(GA)tosolvethesesystems.Bycomparingwiththetraditionalmethods,wehaveagoodsolution.
Keywords: ill-conditionedlinearsystems;geneticalgorithm
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