高中数学北师大选修2-13.3.2双曲线的简单性质课件.
合集下载
新教材2023版高中数学第二章圆锥曲线2双曲线2.2双曲线的简单几何性质课件北师大版选择性必修第一册
置．
(4)与椭圆xa22
+
by22＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为a2x−2 λ
−
y2 λ−b2
＝1(b2<λ<a2)．
跟踪训练2
(1)已知双曲线xaபைடு நூலகம்2
−
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A
在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则
双曲线的方程为( )
对称轴：_坐_标__轴__；对称中心：__原_点___
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
实轴：线段__A_1_A_2_，长：___2_a__；虚轴：线段__B_1B_2__，
长：___2_b__；半实轴长：___a___，半虚轴长：___b___
(1，＋∞)
状元随笔 (1) 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线． (2) 当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延 展的． (3) 双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知， 当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但 永远不会相交． (4) 双曲线形状与e的关系．
答案：y2
12
−
2x42 ＝1
解析：由x2
2
－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±
22x.设双曲线方程为：x22－y2＝
λ(λ<0)，
∴x2 − y2＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
2λ λ
故双曲线方程为y2
12
−
2x42 ＝1.
(3)
过
点
(2
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件：第三章3.2.1 双曲线的简单几何性质
第三章 圆锥曲线与方程
3．2 双曲线的简单性质 第1课时 双曲线的简单几何性质
1．问题导航 (1)双曲线有几条对称轴，是中心对称图形吗？ (2)双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距、离心率是怎样 定义的？双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是什么？ 在双曲线的标准方程中，焦点分别在 x 轴上或在 y 轴上时，x 与 y 的取值范围是多少？e 的取值范围是什么？
由几何性质求双曲线的标准方程 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的 双曲线方程： (1)离心率 e＝ 2，且过点(－5，3)； (2)过点 P(2，－1)，渐近线方程是 y＝±3x. (链接教材 P42 例 3)
[解] (1)因为 e＝ac＝ 2，所以 c＝ 2a，b2＝c2－a2＝a2.
1．对双曲线渐近线的两点说明 (1)随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近， 但永远没有交点． (2)由渐近线方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，但无法确定 焦点位置．
2．离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝ac＝
1＋（43）2＝53.
因为一条渐近线方程为 y＝43x，
所以ab＝43，这时ba＝34.
所以离心率 e＝ac＝
1＋（ba）2＝
1＋（34）2＝54.
故双曲线的离心率为53或54.
[错因与防范] (1)本例易主观认为焦点在 x 轴上，忽略考虑焦 点在 y 轴上的情况而漏解． (2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件， 要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在 x 轴上或在 y 轴 上两种情况讨论．
3．(1)若双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，则其渐近 线方程为( D )
3．2 双曲线的简单性质 第1课时 双曲线的简单几何性质
1．问题导航 (1)双曲线有几条对称轴，是中心对称图形吗？ (2)双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距、离心率是怎样 定义的？双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是什么？ 在双曲线的标准方程中，焦点分别在 x 轴上或在 y 轴上时，x 与 y 的取值范围是多少？e 的取值范围是什么？
由几何性质求双曲线的标准方程 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的 双曲线方程： (1)离心率 e＝ 2，且过点(－5，3)； (2)过点 P(2，－1)，渐近线方程是 y＝±3x. (链接教材 P42 例 3)
[解] (1)因为 e＝ac＝ 2，所以 c＝ 2a，b2＝c2－a2＝a2.
1．对双曲线渐近线的两点说明 (1)随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近， 但永远没有交点． (2)由渐近线方程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，但无法确定 焦点位置．
2．离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝ac＝
1＋（43）2＝53.
因为一条渐近线方程为 y＝43x，
所以ab＝43，这时ba＝34.
所以离心率 e＝ac＝
1＋（ba）2＝
1＋（34）2＝54.
故双曲线的离心率为53或54.
[错因与防范] (1)本例易主观认为焦点在 x 轴上，忽略考虑焦 点在 y 轴上的情况而漏解． (2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件， 要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在 x 轴上或在 y 轴 上两种情况讨论．
3．(1)若双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，则其渐近 线方程为( D )
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2双曲线的简单性质课件2北师大版选修2_1
F1(0，-c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c
范围 x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性 顶点
质
轴
离心率
渐近线
A1(-a,0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
实轴长：线段A1A2=2a；虚轴长：线段B1B2=2b；
e c (1,) a
1.与x2 y2 1共渐近线的双曲线系 a2 b2
方程为x2 a2
by22
(0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、 与 a x2 2b y2 21共 焦 点 的 椭 圆 系 方 程 是 a2x 2b2y 21, 双 曲 线 系 方 程 是 a2x 2b2y 21.
F1
O F2
x
B1
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
对称轴： x轴、y轴. 对称中心: 原点 (椭 圆的中心)
用-对y代称替轴y：, 方程x轴不、变y轴. 用对-x称代中替心x,:方原程点不〔变双 用-x曲、线-y的代中替心x、〕y, 方程不变
3)2
9 16
1 4
双曲线的方程为x2 y2 1 94 4
根据下列条件，求双曲线方程: ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
高中数学北师大版选修1-1课件：双曲线的简单性质
∵c>b，∴只有∠B1F1B2＝60°，
b ∴tan 30° ＝c，∴c＝ 3b，
又a2＝c2－b2＝2b2，
3b 6 c ∴e＝a＝ ＝2. 2b
解析答案
课堂小结
返回
＝0，即 a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
解析答案
1
2
3
4
5
5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一 6 个内角为60°，则双曲线C的离心率为________. 2 解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
－32 2 32 1 由题意可知 9 － 16 ＝λ，解得 λ＝4.
x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 － 4 ＝1. 4
解析答案
x2 y2 (2)与双曲线16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2).
解 x2 y2 设所求双曲线方程为 － ＝1(16－k>0，4＋k>0)， 16－k 4＋k
1
2
3
4
5
x2 y2 4.已知双曲线 C：a2－b2＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双 曲线 C 的方程为( A ) x2 y2 A.20－ 5 ＝1 x2 y2 C.80－20＝1
解析
x2 y2 B. 5 －20＝1
x2 y2 D.20－80＝1 x2 y2 4 1 双曲线 C 的渐近线方程为a2－b2＝0， 点 P(2,1)在渐近线上， ∴a2－b2
解析答案
→ 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若PA＝12PB，求 a 的值.
b ∴tan 30° ＝c，∴c＝ 3b，
又a2＝c2－b2＝2b2，
3b 6 c ∴e＝a＝ ＝2. 2b
解析答案
课堂小结
返回
＝0，即 a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
解析答案
1
2
3
4
5
5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一 6 个内角为60°，则双曲线C的离心率为________. 2 解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
－32 2 32 1 由题意可知 9 － 16 ＝λ，解得 λ＝4.
x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 － 4 ＝1. 4
解析答案
x2 y2 (2)与双曲线16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2).
解 x2 y2 设所求双曲线方程为 － ＝1(16－k>0，4＋k>0)， 16－k 4＋k
1
2
3
4
5
x2 y2 4.已知双曲线 C：a2－b2＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双 曲线 C 的方程为( A ) x2 y2 A.20－ 5 ＝1 x2 y2 C.80－20＝1
解析
x2 y2 B. 5 －20＝1
x2 y2 D.20－80＝1 x2 y2 4 1 双曲线 C 的渐近线方程为a2－b2＝0， 点 P(2,1)在渐近线上， ∴a2－b2
解析答案
→ 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若PA＝12PB，求 a 的值.
高中数学 1.3.2 第1课时 双曲线的简单性质配套多媒体教学优质课件 北师大版选修11
a x a,b y b
y
A1 A2
F1 O
F2
x
x2 y2 1 (a 0,b 0) a2 b2
xx2
a2
1aby或22 x1,x2a
a2,y即xR
a
第六页，共26页。
二、对称性
y
y
B
2
x
A
1
F
O
1
F
A
2
2
AA
1
2
x
F 1
O
F
2
B
1
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
对称轴： x轴、y轴. 对称中心: 原点 (椭圆(tuǒyuán)的中心)
B2
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
顶点(dǐngdiǎn) : A1(-a,0),
A2(a,0)
长轴
B1 ( 0,-b),
A1A2，短轴 B1B2
B2(
0
,b)
长轴长 =2a , 短轴长=2b
长半轴长 = a , 短半轴长= b
F1 A1
O
A2 F2
x
B1
3.2 双曲线的简单性质(xìngzhì) 第1课时 双曲线的简单性质(xìngzhì)
第一页，共26页。
标准方程 范围
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
a x a
b y b
对称轴：坐标轴
对称性 对称中心：原点
(-a,0) A1
顶点 A1,A2,B1,B2
F1 (-c,0)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修1_1
������2 ������
)
C.4
D.4 2 2, 焦距为 2 3, 则双
������2 (2)设双曲线������2
2 =1( a>0, b>0) 的虚轴长为
曲线的渐近线方程为( A. y=± 2x C. y=± 2 x
������2 (3)双曲线 4 2
)
1
B. y=±2x D. y=±2x −
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.双曲线的标准方程的求法 双曲线的标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待 定系数法,其步骤可以总结为: 设方程→列方程→求参数→得方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
2.巧设双曲线方程的六种常用方法
(1)焦点在 x (2)焦点在 y
������
13 , 5
(2)由双曲线的渐近线方程为 y=±2x, 可设双曲线方程为
������2 2
2 -y =λ(λ≠0), 2
1
因为 A(2, -3)在双曲线上, 所以 2 -(-3)2 =λ, 即 λ=-8.
2 ������2 所以所求双曲线的标准方程为 8 22
−
������2 =1. 32
1
分析分析双曲线的几何性质→求a,b,c→确定(讨论)焦点位置→ 求双曲线的标准方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解(1)依题意可知, 双曲线的焦点在 y 轴上, 且 c=13, 又������ = 所以 a=5, b= ������ 2 -������2 =12,
������2 故其标准方程为 25 ������2 − =1. 144
)
C.4
D.4 2 2, 焦距为 2 3, 则双
������2 (2)设双曲线������2
2 =1( a>0, b>0) 的虚轴长为
曲线的渐近线方程为( A. y=± 2x C. y=± 2 x
������2 (3)双曲线 4 2
)
1
B. y=±2x D. y=±2x −
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.双曲线的标准方程的求法 双曲线的标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待 定系数法,其步骤可以总结为: 设方程→列方程→求参数→得方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
2.巧设双曲线方程的六种常用方法
(1)焦点在 x (2)焦点在 y
������
13 , 5
(2)由双曲线的渐近线方程为 y=±2x, 可设双曲线方程为
������2 2
2 -y =λ(λ≠0), 2
1
因为 A(2, -3)在双曲线上, 所以 2 -(-3)2 =λ, 即 λ=-8.
2 ������2 所以所求双曲线的标准方程为 8 22
−
������2 =1. 32
1
分析分析双曲线的几何性质→求a,b,c→确定(讨论)焦点位置→ 求双曲线的标准方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解(1)依题意可知, 双曲线的焦点在 y 轴上, 且 c=13, 又������ = 所以 a=5, b= ������ 2 -������2 =12,
������2 故其标准方程为 25 ������2 − =1. 144
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线3.3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修210831252
B.y=± x
9
9
D.y=± x
4
2
2
解析:(1)双曲线方程可变形为 − =1,所以
8
4
a2=8,a=2 2,故实轴
长 2a=4 2.(2)因为 a2=4,b2=9,焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为
3
2
y=± x=± x.
答案:(1)D
(2)C
第十一页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
(1)求线段AB的长;
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?
= + 1,
解:由
得(3-a2)x2-2ax-2=0.
2 2
3 - = 1,
由题意可得 3-a2≠0.
设 A(x1,y1),B(x2,y 2),则
2
-2
x1+x2= 2 ,x1x 2= 2 .
3-
3-
(1)|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 = (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -41 2 ]
= (1 + 2 )
2 2
3-2
+
8
3-2
2 (1+2 )(6-2 )
=
|3-2 |
第十九页，共29页。
.
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(2)由题意知,OA⊥OB,则 ·=0,即 x1x 2+y1y 2=0,
∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.
4
3
9
9
D.y=± x
4
2
2
解析:(1)双曲线方程可变形为 − =1,所以
8
4
a2=8,a=2 2,故实轴
长 2a=4 2.(2)因为 a2=4,b2=9,焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为
3
2
y=± x=± x.
答案:(1)D
(2)C
第十一页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
(1)求线段AB的长;
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?
= + 1,
解:由
得(3-a2)x2-2ax-2=0.
2 2
3 - = 1,
由题意可得 3-a2≠0.
设 A(x1,y1),B(x2,y 2),则
2
-2
x1+x2= 2 ,x1x 2= 2 .
3-
3-
(1)|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 = (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -41 2 ]
= (1 + 2 )
2 2
3-2
+
8
3-2
2 (1+2 )(6-2 )
=
|3-2 |
第十九页，共29页。
.
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(2)由题意知,OA⊥OB,则 ·=0,即 x1x 2+y1y 2=0,
∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.
4
3
高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修1_1
ac＝
5 2
即双曲线方程为x42－y2＝1.
，解得ab＝＝21 .
(3)设双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)， 因|F1F2|＝2c，而 e＝ac＝2， 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c. 由余弦定理得 (2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos 60°)． 化简，得 4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
Δ＝4k2＋81－k2>0 ∴x1＋x2＝1－2kk2<0
x1x2＝1－－2k2>0
，∴1<k< 2.
设 M(x0，y0)，则xy00＝＝kxx1＋02＋x12＝＝11－－k1kk22
，
由 P(－2,0)，M(1－kk2，1－1 k2)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b＝－2k2＋2 k＋2.
设 φ(k)＝－2k2＋k＋2＝－2(k－14)2＋187. ∴φ(k)在(1， 2)上为减函数，φ( 2)<φ(k)<φ(1)且 φ(k)≠0. ∴－(2－ 2)<φ(k)<0 或 0<φ(k)<1， ∴b<－2－ 2或 b>2. 即 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为(－∞，－2－ 2)∪(2，＋∞)．
答案：B
4．(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 2∶3，且经过 P( 6，2)， 求双曲线方程； (2)求焦点在 x 轴上，离心率为53，且经过点 M(－3，2 3)的双曲线方程． 解析：(1)设双曲线方程为ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
依题意可得ab＝23， a42－b62＝1
高中数学北师大选修1-1课件：第2章 §3 3.2 第1课时 双曲线的简单性质
得以理解．(以双曲线
∵
e
∴e越大，渐近线
= c (a>0,b>0)为例) 斜率a 的绝对值越大，即
越大，
这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．
由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
x2 a2
-
y2 b2
=
1
b=
c2 - a2 =
e2 - 1(e＞1),
a
a
y= ? bx
b
a
a
3.等轴双曲线
x2 + y2 = 1 16 9
5. 4 x2 y2 - =1 16 4
y = ? 3 x. 2
(3 2，2).
【解题探究】1.离心率在求双曲线标准方程中的作用是什
么？
2.给定双曲线的渐近线方程求标准方程的一般思路是什么？
探究提示：
1.已知离心率 的值，可根据
求得a,b的关
系，再根据题目条件求得a,b,c中任一量的值即可写出标准
x2 - y2 = 1.
64 36
y2 x2
- = 1.
64 36
x2 - y2 = 1
y2 x2 - = 1.
64 36
64 36
(2)方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 (a＞0,b＞0)，
由x2题－意y，2 得= 1 解得 所当(aa＞2以焦0焦点,bb点在2＞在y0轴)x,轴上ìïïïíïïïî上时2ba的，a==双设236曲所，, 线求的双标曲准线a方的程标3,为准b 方 92程.为
y = ? 2 x. 3
类型二 利用几何性质求标准方程
【典型例题】
1.已知双曲线 (a>0,b>0)和椭圆