2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版考前强化练：8 解答题综合练：A

考前强化练8　解答题综合练A1.(2019安徽黄山高三质检,文17)已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足bc=1,a 2-bc=(b-c )2.(1)求sin B+sin C 的最大值;(2)若cos B cos C=,求b+c.142.某校组织的古典诗词大赛中,高一一班、二班各有9名学生参加,得分情况如茎叶图所示:成[70,79][80,89][90,100]绩奖三二一次加123分该活动规定:学生成绩、获奖等次与班级量化管理加分情况如上表.(1)在一班获奖的学生中随机抽取2人,求能够为班级量化管理加4分的概率;(2)已知一班和二班学生的平均成绩相同,求x的值,并比较哪个班的成绩更稳定.3.(2019安徽定远中学高三预测卷,文18)如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD的中点,现将△DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.(1)求证:AC∥平面PEF;(2)求五棱锥P-ABCFE的体积最大时△PAC的面积.4.(2019广东东莞高三冲刺模拟,文19)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关,具体见下表.质量指[9.4,9.8)[9.8,10.2)[10.2,10.6]标Y频数82416一年内所需201维护次数(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数);(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率;(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?5.(2019陕西汉中高三全真模拟,理18)如图,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD ,EF ∥AB ,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=1,点P 在线段DF 上.(1)求证:AF ⊥平面ABCD ;(2)若二面角D-AP-C 的余弦值为,求PF 的长度.636.(2019河北邢台二中高三二模,文21)已知函数f (x )=[x 2+(a+1)x+1]e x .(1)若曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线与x 轴平行,求a 的值;(2)若f (x )在x=-1处取得极大值,求a 的取值范围;(3)当a=2时,若函数g (x )=mf (x )-1有3个零点,求m 的取值范围.(只需写出结论)7.已知直线l 的参数方程为(t 为参数,0≤φ<2π),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为{x =tcosφ,y =-2+tsinφ极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=,且l 与C 交于不同的两点P 1,P 2.2(1)求φ的取值范围;(2)若φ=,求线段P 1P 2中点P 0的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).π38.已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.参考答案考前强化练8　解答题综合练A1.解 (1)∵a 2-bc=b 2+c 2-2bc ,∴b 2+c 2-a 2=bc.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12.∴A=,∴B+C=π32π3.∴sin B+sin C=sin B+sin -B2π3=sin B+sin cos B-cos sin B2π32π3=cos B+sin B 3232=cos B+sin B31232=sin B+.3π6所以当B=时,sin B+sin C 取得最大值π3 3.(2)由(1)可得,cos A=-cos(B+C )=sin B sin C-cos B cos C=,12因为cos B cos C=,14所以sin B sin C=34.因为bc=1,由正弦定理知=k (k>0),a sinA =b sinB =c sinC ∴a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C ,∴bc=k 2sin B sin C.∴k=23 3.∴a=sin =1.233π3=233×32所以由b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,得(b+c )2-2bc-1=bc ,∴(b+c )2=4.∴b+c=2.2.解 (1)一班获奖的学生共6位,随机抽取2人的情况有(77,82),(77,83),(77,86),(77,93),(77,9x ),(82,83),(82,86),(82,93),(82,9x ),(83,86),(83,93),(83,9x ),(86,93),(86,9x ),(93,9x ),共15种情况.能够为班级量化管理加4分的情况有(77,93),(77,9x ),(82,83),(82,86),(83,86),共5种情况.∴能够为班级量化管理加4分的概率为515=13.(2)由已知(93+9x+82+83+86+77+67+68+69)=(90+94+97+84+72+76+76+63+68),解1919得x=5,一班成绩的方差(132+152+22+32+62+32+132+122+112)=,s 21=198869二班成绩的方差(102+142+172+42+82+42+42+172+122)=,故一班更稳定.s 22=191 1309>s 213.(1)证明 在图1中,连接AC.又E ,F 分别为AD ,CD 中点,所以EF ∥AC.即图2中有EF ∥AC.又EF ⊂平面PEF ,AC ⊄平面PEF ,所以AC ∥平面PEF.(2)解 在翻折的过程中,当平面PEF ⊥平面ABCFE 时,五棱锥P-ABCFE 的体积最大.在图1中,取EF 的中点M ,DE 的中点N.由正方形ABCD 的性质知,MN ∥DF ,MN ⊥AD ,MN=NE=1,AE=DF=2,AM=AN 2+MN 2=32+12=10.在图2中,取EF 的中点H ,分别连接PH ,AH ,取AC 中点O ,连接PO.由正方形ABCD 的性质知,PH ⊥EF.又平面PEF ⊥平面ABCFE ,所以PH ⊥平面ABCFE ,则PH ⊥AH.由AB=4,有PF=AE=PE=2,EH=PH=HF=,AC=4,PA=22=2PH 2+AH 2=(2)2+(10)2 3.同理可知PC=2 3.又O 为AC 中点,所以OP ⊥AC.所以OP=AP 2-OA 2==2.(23)2-(22)2所以S △PAC =OP×AC=2×4=412×12×2 2.4.解 (1)指标Y 的平均值=9.6+10+10.410.07.×848×2448×1648≈(2)由分层抽样法知,先抽取的6件产品中,指标Y 在[9.8,10.2)内的有3件,记为A 1、A 2、A 3;指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件,记为B 1、B 2;指标Y 在[9.4,9.8)内的有1件,记为C.从6件产品中随机抽取2件产品,共有基本事件15个,分别为:(A 1,A 2)、(A 1,A 3)、(A 1,B 1)、(A 1,B 2)、(A 1,C )、(A 2,A 3)、(A 2,B 1)、(A 2,B 2)、(A 2,C )、(A 3,B 1)、(A 3,B 2)、(A 3,C )、(B 1,B 2)、(B 1,C )、(B 2,C ).其中,指标Y 都在[9.8,10.2]内的基本事件有3个:(A 1,A 2)、(A 1,A 3)、(A 2,A 3).所以由古典概型可知,2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率为P=315=15.(3)不妨设每件产品的售价为x 元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x 元.其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,此时平均每件产品的消费费用为η=(48x+16×300+8×600)=x+200元.148×假设这48件产品每件产品都购买该项服务,则购买支出为48(x+100)元,一年内只有8件产品要花费维护,需支出8×300=2 400元,平均每件产品的消费费用ξ=[48(x+100)148×+8×300]=x+150(元).所以该服务值得消费者购买.5.(1)证明 ∵∠BAF=90°,∴AB ⊥AF.又平面ABEF ⊥平面ABCD ,平面ABEF ∩平面ABCD=AB ,AF ⊂平面ABEF ,∴AF ⊥平面ABCD.(2)解 以A 为原点,以为x ,y ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,AB ,AD ,AF 则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),F (0,0,1),=(0,2,-1),=(1,2,0),=(1,0,0).∴FD AC AB 由题知,AB ⊥平面ADF ,=(1,0,0)为平面ADF 的一个法向量.∴AB 设=(0≤λ<1),则P (0,2λ,1-λ),=(0,2λ,1-λ).FP λFD ∴AP 设平面APC 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则{m ·AP =0,m ·AC =0,∴{2λy +(1-λ)z =0,x +2y =0,令y=1,可得m =-2,1,,2λλ-1∴|cos <m ,>|=,AB AB |m ||AB |=21×4+1+(2λλ-1) 2=63解得λ=或λ=-1(舍去负值),13∴PF=53.6.解 (1)函数f (x )的定义域为(-∞,+∞).f'(x )=[x 2+(a+3)x+a+2]e x .因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行,所以f'(0)=(a+2)e x=0,解得a=-2.此时f(0)=1≠0,所以a的值为-2.(2)因为f'(x)=[x2+(a+3)x+a+2]e x=(x+1)[x+(a+2)]e x.①若a<-1,-(a+2)>-1,则当x∈(-∞,-1)时,x+1<0,x+(a+2)<x+1<0,所以f'(x)>0;当x∈(-1,-(a+2))时,x+1>0,x+(a+2)<0,所以f'(x)<0.所以f(x)在x=-1处取得极大值.②若a≥-1,-(a+2)≤-1,则当x∈(-1,0)时,x+1>0,x+(a+2)≥x+1>0,所以f'(x)>0.所以-1不是f(x)的极大值点.综上可知,a的取值范围为(-∞,-1).(3)当a=2时,g(x)=mf(x)-1=m(x2+3x+1)e x-1(x∈R),∴g'(x)=m(2x+3)e x+m(x2+3x+1)e x=m(x2+5x+4)e x=m(x+1)(x+4)e x.当m=0时,函数g(x)=mf(x)-1=-1,不可能有3个零点;①当m<0时,令g'(x)=m(x+1)(x+4)e x=0,解得x1=-4,x2=-1.令g'(x)>0,得-4<x<-1,则g(x)在区间(-4,-1)上单调递增;令g'(x)<0,解得x<-4或x>-1,则g(x)在区间(-∞,-4)和(-1,+∞)上单调递减;由于当x<-4时,x2+3x+1<0恒成立,m<0,e x>0,则当x<-4时,g(x)=m(x2+3x+1)e x-1<0恒成立,所以函数g(x)=mf(x)-1最多只有两个零点,即m<0不满足题意;②当m>0时,令g'(x)=m(x+1)(x+4)e x=0,解得x1=-4,x2=-1.令g'(x)>0,得x<-4或x>-1,则g(x)在区间(-∞,-4)和(-1,+∞)上单调递增;令g'(x)<0,解得-4<x<-1,则g(x)在区间(-4,-1)上单调递减;要使函数g (x )=mf (x )-1有3个零点,则解得:m>{g (-4)>0,g (-1)<0,e 45.综上所述,m 的取值范围为,+∞.e 457.解 (1)∵曲线C 的极坐标方程为ρ=,2∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2,将代入x 2+y 2=2,得t 2-4t sin φ+2=0,{x =tcosφ,y =-2+tsinφ由Δ=16sin 2φ-8>0,得|sin φ|>,又0≤φ<2π,22∴φ的取值范围为∪.π4,3π45π4,7π4(2)当φ=时,直线l 的参数方程为消去参数t ,得直线l 的普通方程为x-y-π3{x =12t ,y =-2+32t ,32=0,设P 0(ρ0,θ0),则ρ0==1,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入l 的普通方程,得l 的极坐标方程|-2|(3)2+1cos θ-ρsin θ-2=0,当ρ0=1时,得cos θ0-sin θ0-2=0,即得sinθ0-=-1.3ρ3π3由0≤θ<2π,得θ0-,π3=3π2∴θ0=,即P 0的极坐标为1,.11π611π68.解 (1)当a=1时,函数f (x )=|2x-1|-|x+3|,当x ≤-3时,f (x )=1-2x+(x+3)=4-x ,此时f (x )min =f (-3)=7,当-3<x<时,f (x )=1-2x-(x+3)=-3x-2,12此时f (x )>f =-3-2=-,12×1272当x 时,f (x )=2x-1-(x+3)=x-4,≥12此时f (x )min =f=-4=-,121272综上,f (x )的最小值为-72.(2)当x ∈[0,3]时,f (x )≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7,即-x-7≤2x-a ≤x+7恒成立,得x-7≤a ≤3x+7恒成立,由x ∈[0,3],得3x+7≥7,x-7≤-4,∴-4≤a ≤7,即a 的取值范围为[-4,7].。