【金版学案】高中数学 第一章章末过关检测试题 新人教A版必修4
2022-2021年《金版学案》数学人教A版必修4习题：第一章1.3第1课时诱导公式二、三、四
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四A 级 基础巩固 一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：由于sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B3．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β )＝－cos(α－β )C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β )＝cos(α＋β )解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B4．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：由于tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________．解析：由于tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35，所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－757．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：由于sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又由于sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级 力量提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是其次象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝ cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35. (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，由于α是其次象限，所以cos α<0，所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255.当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.。
【金版学案】2022-2021学年高一数学人教A版必修4练习：章末过关检测卷(二)
章末过关检测卷(二)其次章 平 面 向 量(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是(B ) A ．e 1＝()0，0，e 2＝()1，－2 B ．e 1＝()－1，2，e 2＝()5，7 C ．e 1＝()3，5，e 2＝()6，10D ．e 1＝()2，－3，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－342．向量a ＝()－2，5的起点坐标为()2，1，则它的终点坐标为(A ) A.()0，6 B.()6，4 C.()7，1 D.()1，73．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)若()m ＋n ⊥()m －n ，则λ＝(B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1解析：利用坐标运算得出m ＋n 与m －n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ.由于m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.故选B.4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b 等于(B ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，即m ＝－4.∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝(－4，－8)．故选B.5．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20 N ，合力与F 1的夹角为π3，那么F 2的大小为 (C ) A ．10 N B ．10 2 N C ．10 3 N D ．20 N6．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为(D )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析： ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72，|a |＝（2e 1＋e 2）2＝4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝（－3e 1＋2e 2）2＝9－12e 1·e 2＋4＝7，∴a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°，故选D.7．设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，当c ＝λa ＋μb ()λ，μ∈R ，且λ＋μ＝1时，点C (B )A ．在线段AB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线AB 上，除去点AD ．在直线AB 上，除去点B解析：令t ＝μ，则c ＝(1－t )a ＋tb ，即：OC →＝(1－t )OA →＋tOB →⇒AC →＝tAB →.故选B.8．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与b －a 的夹角为(B )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由|a ＋b |＝|a －b |得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0.由|a ＋b |＝2|a |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4a 2，即b 2＝3a 2，∴|b |＝3|a |，∴(a ＋b )·(b －a )＝b 2－a 2＝3a 2－a 2＝2a 2，∴a ＋b 与b －a 的夹角的余弦值为cos θ＝（a ＋b ）·（b －a ）|a ＋b |·|a －b |＝2a 22|a |·2|a |＝12，∴θ＝π3，故选B.9．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC→＝(A ) A ．2OA→－OB → B ．－OA →＋2OB → C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB→－AC →|，则|AM →|＝(C ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1解析：由|BC→|2＝16，得|BC →|＝4.|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|BC →|＝4，而|AB →＋AC →|＝2|AM→|，故|AM →|＝2.故选C . 11．已知向量a ＝(3，4)，若|λa |＝5，则实数λ的值为(D ) A.15 B ．1 C ． ±15D ．±1 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝(B )A ．5B ．4C ．3D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，故O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而∠BAD ＝90°，因此AB→与AC →的夹角为90°. 答案：90°14．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，0)，则|2a ＋b |等于________．解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，0)，∴2a ＋b ＝2(1，1)＋(2，0)＝(4，2)，∴|2a ＋b |＝42＋22＝20＝2 5. 答案：2 515．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________．解析：建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算求解．以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6－2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.答案：416．已知O ()0，0和A ()6，3，若点P 在线段OA 上，OP →＝12PA →，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是____________．答案：()4，2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知a ＝()1，2，b ＝()－3，2，若ka ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解析：∵ka ＋2b ＝k ⎝⎛⎭⎫1，2＋2⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫k －6，2k ＋4，2a －4b ＝2⎝⎛⎭⎫1，2－4⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫14，－4，又ka ＋2b 与2a －4b 平行，∴⎝⎛⎭⎫k －6⎝⎛⎭⎫－4－⎝⎛⎭⎫2k ＋4×14＝0，解得k ＝－1.18．(本小题共12分)(1)若a ＝(1，0)，b ＝(－1，1)，c ＝a ＋(a ·b )b . (1)求|c |；(2)已知|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，求a 与b 夹角θ的值．解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(－1，1)，∴a ·b ＝－1，则c ＝a ＋(a ·b )b ＝a －b ＝(2，－1)，|c |＝22＋（－1）2＝5，(2)∵|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |cos θ，又|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，∴1＋3＋23cos θ＝1⇒cos θ＝－32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.19．(本小题满分12分)求与向量a ＝()2，－3和b ＝()－2，3夹角相等，且模为2的向量c 的坐标．解析：设c ＝⎝⎛⎭⎫x ，y ，则依题意有⎩⎨⎧2x －3y ＝－2x ＋3y ，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝2217y ＝477，或⎩⎨⎧x ＝－2217，y ＝－477.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2217，477或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2217，－477. 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2，3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数解t 满足(AB →－tOC →)·OC→＝0，求t 的值． 解析：(1)方法一 由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB→－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，E (0，1)．又E (0，1)为A 、D 的中点，所以D (1，4)．故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210.(2)由题设知：OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.21．(本小题满分12分)已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA→·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解析：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ→＝(a －x ，－y )． ∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝13x ，b ＝－y 2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q (x3，0)． PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .∴PA →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．22．(本小题满分10分)已知：a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x (x ∈R)．(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6. ∴T min ＝2π1＝2π，值域为[－2，2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π得单调递增区间：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤x －π6≤32π＋2k π得单调递减区间：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.。
高中数学第一章阶段质量检测新人教A版必修4
( 时间 90 分钟，满分 120 分 )一、选择题 ( 本大题共 10 个小题，每题5 分，共 50 分 )1．已知角 θ 的终边过点 (4 ，－ 3) ，则 cos( π－ θ) ＝ ()4 4A. 5B ．－ 5 33C. 5D ．－ 54分析：∵ r ＝ 5，∴ cos( π－ θ ) ＝－ cos θ＝－ 5. 答案： B3π2．函数 y ＝ sin 3x ＋ 4 的图像的一条对称轴是( )ππA ． x ＝－ 12B ． x ＝－ 4π5πC ． x ＝ 8D ． x ＝－ 43πππk π分析：令 3x ＋ 4 ＝ 2 ＋k π，得 x ＝－ 12＋ 3 ( k ∈ Z) ．π当 k ＝0 时， x ＝－ 12. 答案： Asin π ， ≤2 011 ，＝ ()3．设 f ( x ) ＝3xx 则 f (2 012)fx － 4 ， x >2 011 ，11A. 2B ．－ 23 3C.2D ．－ 2分析： f (2 012) ＝ f (2 008) ＝ sin 2 008π＝ sin 4π 3 668π＋34ππ3＝ sin 3 ＝－ sin 3 ＝－ 2 .答案： D4．若 cos α＋2sinα＝－ 5，则 tan α＝ ( )1 A. B ． 221C ．－ 2D ．－ 2分析：将已知等式两边平方得cos 2α＋4sin 2α＋ 4sin αcos α＝ 5(cos 2α＋ sin 2α) ，化简得sin 2α－ 4sin αcos α＋ 4cos 2α＝ 0，即 (sin α－ 2cos α) 2＝ 0，故 tan α＝ 2.答案： B5．y＝cos x·tan x 的值域是()A． ( －1,0) ∪ (0,1) B ．[ － 1,1]C． ( －1,1) D ． [ － 1,0) ∪ (0,1)sin x分析： y＝cos x·tan x＝cos x·cos x＝sin x，π且 x≠kπ＋2， k∈Z，故函数值域为( － 1,1) ．答案： C6．已知a是实数，则函数 f ( x)＝1＋ a sin ax 的图像不行能是()分析：当 a＝0时， f ( x)＝1，图像即为C；当 0<a<1 时，函数f ( x) 的最大值为1＋a<2，2π且最小正周期为T＝a>2π，图像即为A；当a>1 时，函数f ( x) 的最大值为a＋ 1>2，且最2π小正周期为 T＝a<2π，图像即为 B.答案： D7．将函数ππy＝sin(2 x＋)的图像经过如何的平移后所得的图像对于点( －，0)中心3 12对称()A．向左平移π个单位 B ．向左平移π个单位12 6ππC．向右平移12个单位 D ．向右平移 6个单位分析：函数 y ＝sin(2 x ＋ πk π π， k ∈ Z ，此中离 ( －π 3 ) 的图像的对称中心为 ( 2 － 6，0) 12， π π 0) 近来的对称中心为 ( － 6 ，0) ，故函数图像只要向右平移12个单位即可．答案： Cπ π8．函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A >0， ω>0，－ 2 ≤ φ≤ 2 ) 的图像 以下图，则 f (1) ＝ ()A. 2B ． 1＋ 2 C ．2＋ 2D ．2 2ππ分析：由函数 f ( x ) 的图像可知： A ＝ 2，T ＝ 8，φ ＝ 0，进而得 ω＝ 4 ，f ( x ) ＝ 2sin4 x ，π得 f (1) ＝ 2sin 4 ＝ 2.答案： Asin θ9．已知 tan θ＝ 2，则 sin 3θ＋ cos 3θ＝ ()10 9 A. B. 9 779C. 10D. 10sin θsin θ sin 2θ＋ cos 2θ分析：sin 3θ＋ cos 3θ＝sin 3θ＋cos 3θtan 3θ＋ tan θ 8＋ 2 10＝ tan 3θ＋ 1 ＝ 8＋1＝9 . 答案： A10．以下说法正确的选项是()πx >cos xA ．在 (0 ， 2 ) 内， sinB ．函数 y ＝ 2sin( x ＋ π ) 的图像的一条对称轴是 x ＝ 4π55πC ．函数 y ＝ 1＋ tan 2x 的最大值为 ππ πD ．函数 y ＝ sin 2 x 的图像能够由函数 y ＝ sin(2 x － 4 ) 的图像向右平移 8 个单位获得ππ 分析：对于 A ，联合 (0 ， ) 内 y ＝ sinx ，y ＝cos x 的图像知， 当 x ∈ (0 ， ) 时，cos x >sin24π π ππx ， x ＝ 4 时， sin x ＝ cos x ， x ∈ ( 4 ， 2 ) 时， sin x >cos x ，故 A 错误；对于 B ，令 x ＋ 5 ＝π42k π＋ 2 ，k ∈ Z ，明显当 x ＝5π 时，找不到整数 k 使上式建立， 故 B 错误；对于 C ，因为 tan x ≥0，2ππ∴1＋ tan x ≥1，∴ y ＝ 1＋ tan 2x ≤π，∴函数 y ＝ 1＋tan 2x 的最大值为 π， C 正确；对于 D ，πy ＝ sin(2 x － 4 )答案： C向右平移 个 π π π 单位8 y ＝ sin[2( x － ) － ] ＝ sin(2 x － ) ＝－ cos 2x ，故 D 错误．8 42二、填空题 ( 本大题有 4 个小题，每题5 分，共 20 分)α3παα11．(2011 ·纲领全国卷 ) 已知 ∈( π，2 ) ， tan ＝ 2，则 cos ＝________.sin α分析：依题意得 tan α＝cos α＝2，sin 2α＋ cos 2 α＝ 1，21由此解得 cos α＝5；3π5又 α∈( π，2 ) ，所以 cos α＝－ 5 .5答案：－512．若 θ∈ [0 ，π ) ，且 cos θ(sin θ＋cos θ) ＝1，则 θ＝ ________.分析：由 cos θ(sinθ ＋ cos θ) ＝ 1? sin θ·cos θ＝ 1－ cos 2θ ＝ sin 2θ ? sinθ(sin θ－ cos θ) ＝0?sin θ＝ 0或 sin θ－ cos θ＝ 0，又∵ θ∈[0 ，π ) ，∴ θ＝ 0π 或 4 .π答案：0或413．已知函数 f ( x ) ＝ π x3sink 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰幸亏圆x 2＋y 2＝ k 2 上，则 f ( x ) 的最小正周期为 ________．2π| k |分析： T ＝ π ＝ 2| k |. 由题意知， 3在圆上，2k2∴ k ＋ 3＝k 2，∴ | k | ＝ 2，∴ T ＝ 4.4答案： 4ππ14．函数f ( x) ＝ 2sin( ωx＋3 ) ，又f ( α) ＝－ 2，f ( β) ＝ 0，且 | α－β| 的最小值为 2，则正数ω＝________.分析：由题意得T π， T＝2π，ω＝1.＝4 2答案： 1三、解答题 ( 本大题共有 4 个小题，共 50 分)15． ( 本小题满分12 分 ) 若 sin αcos α <0，sin αtan α<0，且1－ sin α1＋ sin α＋1＋ sin α1－ sin α＝ 2 2，求 tan α.解：∵ sin α cos α<0，sin αtanα<0，∴α 是第二象限角，∴1－ sin α1＋ sin α1＋ sin α＋1－ sin α1－ sin α 2 1＋ sin α 2 ＝＋1－ sin 2α1－sin 2α2 2＝|cos α|＝－cosα＝22.∴ cos α＝－2，22则 sin α＝2 ， tan α＝－1.π a16． ( 本小题满分12 分 ) 已知函数f ( x) ＝a sin(2 ωx＋6 ) ＋2＋b( x∈ R，a>0，ω>0) 的7 3最小正周期为π，函数 f ( x)的最大值是4，最小值是4.(1)求ω、a、b的值；(2)指出 f ( x)的单一递加区间．解： (1) 由函数最小正周期为π，2π得2ω＝π，∴ω＝1，又 f ( x)的最大值是7 34，最小值是4，a＋a ＋ b＝7， 1则2 4解得a＝2，a3－a＋2＋ b＝4，b＝1.(2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝ 1x ＋ π 52sin(2 6 ) ＋ 4 ，π π π当 2k π－ 2 ≤2x ＋ 6 ≤2k π＋ 2 ( k ∈Z) ，π π 即 k π－≤ x ≤ k π＋( k ∈ Z) 时，36f ( x ) 单一递加，π ， k π＋ π∴ f ( x ) 的单一递加区间为 [ k π－]( k ∈ Z) ．3 617( 本小题满分 12 )已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx φ)A >0，ω>0 ， | φ|< π的图像． 分＋ 2在 y 轴上的截距为 1，它在 y 轴右边的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x 2) 和( x ＋3π，0,－ 2) ．(1) 求 f ( x ) 的分析式；(2) 将 y ＝ f ( x ) 的图像上全部点的横坐标缩短到本来的13倍，纵坐标不变，而后再将所得的图像沿 x 轴向右平移 πy ＝g ( x ) 的图像，写出函数 y ＝ g ( x ) 的分析式，3 个单位，获得函数 并用“五点法”作出y ＝ ( ) 在长度为一个周期的闭区间上的图像．g x解：(1) ∵f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋φ) 在 y 轴上的截距为1，最大值为 2，∴ A ＝ 2,1 ＝ 2sin φ，∴sin φ＝1.2π π又∵ | φ |< ，∴φ＝ .26∵两相邻的最大值点和最小值点分别为 ( x 0, 2) 和 ( x 0＋3π，－ 2) ，2π2π1∴ T ＝ 2[( x 0＋3π) － x 0] ＝6π，∴ ω＝ T ＝ 6π ＝ 3.x π∴函数的分析式为 f ( x ) ＝2sin＋6.3(2) 将 y ＝ f ( x ) 的图像上全部点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变，得函数的分析 3πππ π π式为 y ＝ 2sin x ＋ 6，再向右平移 3 个单位后，得 g ( x ) ＝ 2sin x － 3 ＋ 6 ＝2sin x － 6 .列表以下：ππ3πx － 6 02π2 2ππ 2π 7π5π13πx63636( )0 2 0－20g x描点并连线，得g ( x ) 在一个周期的闭区间上的图像以以下图．18 ． ( 本 小 题 满 分14 分 ) 如 图 ， 函 数 y ＝ 2cos( ωx ＋θ) ( x ∈ R ，ω>0，π0≤ θ≤ 2 的图像与 y 轴交于点 (0 ， 3) ，且该函数的最小正周期为 π.(1) 求 θ 和 ω 的值；(2) 已知点π ，0 ，点是该函数图像上一点， 点 (， 0)是的中点， 当0＝3 A 2 P PA y ，Q x y2πx 0∈2 ，π 时，求 x 0 的值．解： (1) 把 (0 ， 3) 代入 y ＝ 2cos( ωx ＋ θ) 中，3得 cos θ＝ 2 .π π ∵0≤ θ ≤，∴ θ＝.262π2π∵ T ＝π，且 ω>0，∴ ω＝ T ＝ π ＝ 2.π3(2) ∵点 A 2 ， 0 ， Q ( x 0， y 0) 是 PA 的中点， y 0＝ 2 ，π∴点 P 的坐标为 2x 0－ 2 ， 3 .2 ＋ππ∵点 P 在 y ＝ 2cos x 6的图像上，且 2 ≤ x ≤π， ∴4x 0－5π3 7π5π 19π cos 6 ＝，且≤40－≤6.26 x 6∴ 4 0－5π＝11π，或 4 x 0－5π＝ 13π .x6 6 6 62π3π∴ x 0＝ 3 ，或 x 0＝ 4 .。
2022-2021年《金版学案》数学人教A版必修4习题：第一章1.2-1.2.1任意角的三角函数
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固 一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3的值为( ) A ．－32 B.32 C.12 D ．－12解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos(－6π＋π3)＝cos π3＝12.答案：C3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，由于角α＝2π3在其次象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：B4．若sin θ·cos θ >0，则θ为( ) A ．第一或其次象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第一或第四象限角 D ．其次或第四象限角解析：由于sin θ·cos θ >0，所以sin θ与cos θ同号，由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：由于1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________． 解析：由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－a4＝3，所以a ＝－4 3.答案：－437．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22. 答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的挨次为____________．解析：作图如下，由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，依据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝ cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：由于点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2，所以sin α＝y4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5， 所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级 力量提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：由于α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：由于角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝yx ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。
【金版教程】高中数学 第一章 三角函数第8课时诱导公式(二)～(四)检测试题 新人教A版必修4
【金版教程】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数第8课时诱导公式(二)～(四)检测试题 新人教A 版必修4一、选择题1．[2013·雷州联考]sin480°等于( )A ．－12B ．12C ．－32 D ．32解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin (180°－60°)＝sin60°＝32.答案：D2．sin 2(π＋α)－cos(2π＋α)cos(－α)＋1的值是( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2解析：原式＝(－sin α)2－cos αcos α＋1＝sin 2α－cos 2α＋1＝2sin 2α.答案：B3．设tan(5π＋α)＝m ，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为( )A.m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m .原式＝π＋α＋π－α－α－π＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.答案：A4．[2013·东莞联考]已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)＝() A ．±35 B ．±45C.925D ．1625解析：原式＝sin(π＋α)cos α·(－tan α)＝sin αcos αtan α＝sin 2α＝1－cos 2α＝1－(35)2＝1625. 答案：D二、填空题 5．计算sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)·sin1410°＝1.解析：sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)sin1410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－1080°＋150°)－cos(－1440°＋60°)·sin(1440°－30°)＝sin(－120°)cos150°－cos60°sin(－30°)＝－32×(－32)＋12×12＝34＋14＝1. 6．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α，且f (2004)＝1，则f (2012)＝1. 解析：∵f (2004)＝1且f (x )＝sin(π2x ＋α)， ∴sin(1002π＋α)＝1，故sin α＝1.∴f (2012)＝sin(1006π＋α)＝sin α＝1. 7.2＋π－θ－cos 2π＋θ可化简为1－sin θ.解析： 2＋π－θ－cos 2π＋θ ＝2＋－θ－cos 2θ ＝1－2sin θ＋sin 2θ＝|1－sin θ|＝1－sin θ.三、解答题8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0， 求α－π＋π－αα－3π的值．解：∵sin(α＋π)＝45，∴sin α＝－45. 又∵sin αcos α<0，∴cos α>0.∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴tan α＝－43. ∴原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝－45＋－434×35＝－73. 9．化简：sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－23πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6(k ∈Z )． 解：分k 为奇数和偶数进行讨论．(1)当k ＝2n (n ∈Z )时，则原式＝sin(2n π－23π)·cos(2n π＋π6) ＝－sin 23πcos π6＝－sin π3cos π6＝－32×32＝－34. (2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，则原式＝sin(2n π＋π－2π3)cos(2n π＋π＋π6) ＝sin π3cos(π＋π6) ＝sin π3(－cos π6)＝32×(－32)＝－34. 所以sin(k π－23π)cos(k π＋π6)＝－34，(k ∈Z )．。
【金版新学案】高中数学人教A版必修四练习：1.2.1 第一课时任意角的三角函数(一)(含答案解析)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知角α的终边经过点P (－1，2)，则cos α的值为( )A ．－55B ．－ 5 C.255 D.52解析： cos α＝－1（－1）2＋22＝－55. 答案： A 2．若sin αcos α<0，则角α的终边在( )A ．第二象限B ．第四象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限解析： 若sin α>0，cos α<0，则α是第二象限角；若sin α<0，cos α>0，则α是第四象限角．答案： C3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝( ) A ．－8B ．－4C ．±8D ．±4 解析： sin θ＝y 16＋y2＝－255，∴y <0且y 2＝64，从而y ＝－8. 答案： A4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为( )A ．－2<a <3B ．－2<a ≤3C ．－2≤a <3D ．－3≤a <2 解析： ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上．∴3a －9≤0且a ＋2>0.∴－2<a ≤3.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．如果α的终边过点P (2sin 60°，－2cos 60°)，则sin α＝________．解析： ∵2sin 60°＝3，－2cos 60°＝－1，∴P (3，－1)，∴sin α＝－1（3）2＋（－1）2＝－12. 答案： －126．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ________．解析： 当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋sin αcos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案： 07．设α为第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________________________________________________________________________象限角．解析： ∵α为第三象限角，∴α2为第二或第四象限角． 又∵⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴sin α2<0. 故α2为第四象限角． 答案： 四三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)．求2sin α＋cos α的值． 解析： ∵r ＝|OP |＝（4a ）2＋（－3a ）2＝5|a |，∴当a >0时，sin α＝y r ＝－3a 5|a |＝－35，cos α＝x r ＝4a 5|a |＝45. ∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. 当a <0时，sin α＝－3a 5|a |＝35，cos α＝4a 5|a |＝－45.∴2sin α＋cos α＝65－45＝25. ∴2sin α＋cos α＝⎩⎨⎧25，a <0，－25，a >0.9．求下列三角函数值：(1)cos (－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解析： (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos (－1 050°)＝cos (－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22.。
金版新学案》高一数学第一章集合章末高效整合课件新人教A
在数列中，项数是数列中元素的个数，而项值是每个元素的具体数值。通过确定数列的项数和项值， 我们可以研究数列的性质、求和、比较大小等问题。这在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
排列与组合
总结词
排列与组合是集合应用中的重要概念，它们在解决组合数学问题中发挥着关键作用。
详细描述
排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列的所有可能方式。组合则是从n个不 同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序的所有可能组合方式。排列与组合在解决诸如概率、统计、组合优 化等问题中具有广泛的应用。
金版新学案》高一 数学第一章集合章 末高效整合课件新 人教a
目录
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合之间的关系 • 集合的函数性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义与表示
集合的定义
集合是由确定的、不同的元素所 组成的，这些元素之间有明确的 界限，并且互不重叠。
集合的表示
通常使用大括号{}、方括号[]、尖 括号<>或圆点.来表示集合，其中 的元素用逗号分隔。
03
集合之间的关系
包含关系
包含关系定义
包含关系的性质
如果集合A中的每一个元素都是集合B 的元素，则称A是B的子集，记作$A subseteq B$。
如果$A subseteq B$且$B subseteq C$，则$A subseteq C$；如果$A subseteq B$且$B = C$，则$A = C$ 。
二项式定理与组合数性质
总结词
二项式定理和组合数性质是集合应用中的重 要数学工具，它们在解决数学问题中发挥着 重要作用。
详细描述
二项式定理是关于二项式展开的定理，它可 以用于求解二项式展开后的各项系数。而组 合数性质则是关于组合数的性质和定理，包 括组合数的加法性质、乘法性质等。这些性 质和定理在解决诸如概率、统计、组合优化
高中数学 第一章综合检测题课后强化训练(含详解) 新人教A版必修4
第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在[答案] A[解析] ∵π2<2<π，∴sin2>0，∵π2<3<π，∴cos3<0，∵π<4<3π2，∴tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.2．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，tan600°＝a－4， ∴a ＝－4tan600°＝－4tan60°＝－4 3. 3．(08·全国Ⅰ文)y ＝(sin x －cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 [答案] D[解析] ∵y ＝(sin x －cos x )2－1＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x －1＝－sin2x ， ∴函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为π，且是奇函数． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π的简图是( )[答案] A[解析] x ＝0时，y <0，排除B 、D ， x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A. 5．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π2＋π3)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，由y ＝sin2x 的图象得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．只需向左平移5π12个长度单位就可以．6．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π[答案] C[解析] 画出函数y ＝|sin x |的图象，如图所示．由函数图象知它的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，所以当k ＝1时，得到y ＝|sin x |的一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫π，3π2，故选C. 7．(08·四川)设0≤α≤2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，3π2[答案] C[解析] ∵sin α>3cos α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos α>0tan α>3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0tan α<3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0sin α＝1，∴π3<α<4π3. [点评] ①可取特值检验，α＝π2时，1＝sin π2>3cos π2＝0，排除A ；α＝π时，0＝sinπ>3cosπ＝－3，排除B ；α＝4π3时，sin 4π3＝－32，3cos 4π3＝－32，∴sin 4π3＝3cos 4π3，排除D ，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π3>0，∵0≤α≤2π，∴π3<α<4π3. 8．方程sinπx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] 在同一坐标系中分别作出函数y 1＝sinπx ，y 2＝14x 的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．9．已知△ABC 是锐角三角形，P ＝sin A ＋sin B ，Q ＝cos A ＋cos B ，则( ) A ．P <QB ．P >QC ．P ＝QD ．P 与Q 的大小不能确定[答案] B[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，A ＋B >π2，∴A >π2－B ，B >π2－A ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >cos B ，sin B >cos A ， ∴sin A ＋sin B >cos A ＋cos B ，∴P >Q .10．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0D ．－3或3[答案] D[解析] f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3为最大值或最小值． 11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(4x －π3)D ．y ＝cos(2x －π6)[答案] D[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式． 由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π12时，y ＝1，而B 中的y ＝0，故选D.12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的最小值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5[答案] C[解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴y min ＝－1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若1＋sin 2θ＝3sin θcos θ则tan θ＝________. [答案] 1或12[解析] 由1＋sin 2θ＝3sin θcos θ变形得2sin 2θ＋cos 2θ－3sin θcos θ＝0⇒(2sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ)＝0， ∴tan θ＝12或1.14．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________． [答案] [－4，－π]∪[0，π][解析] 要使函数有意义，则⎩⎨⎧16－x 2≥0sin x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤42k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，∴－4≤x≤－π或0≤x≤π.15．已知集合A＝{α|30°＋k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°<β<45°＋k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.[答案]{α|30°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}[解析]如图可知，A∩B＝{α|30°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．16．若a＝sin(sin2009°)，b＝sin(cos2009°)，c＝cos(sin2009°)，d＝cos(cos2009°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________．[答案]b<a<d<c[解析]∵2009°＝5×360°＋180°＋29°，∴a＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°)<0，b＝sin(－cos29°)＝－sin(cos29°)<0，c＝cos(－sin29°)＝cos(sin29°)>0，d＝cos(－cos29°)＝cos(cos29°)>0，又0<sin29°<cos29°<1<π2，∴b<a<d<c.[点评]本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知sinθ＝1－a1＋a，cosθ＝3a－11＋a，若θ为第二象限角，求实数a的值．[解析]∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0.∴1－a1＋a>0，3a－11＋a<0，解之得，－1<a<13.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －11＋a 2＝1，解之，得a ＝19或a ＝1(舍去)．故实数a 的值为19.18．(本题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N . [解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M 、N . 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12，求sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵cos x ＋sin y ＝12，∴sin y ＝12－cos x ，∴sin y －cos 2x ＝12－cos x －cos 2x＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋34， ∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤12－cos x ≤1，解得－12≤cos x ≤1，所以当cos x ＝－12时，(sin y －cos 2x )max ＝34，当cos x ＝1时，(sin y －cos 2x )min ＝－32.[点评] 本题由－1≤sin y ≤1求出－12≤cos x ≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ； (2)判断其奇偶性．[解析] (1)∵y ＝a －b cos3x ，b >0，∴⎩⎨⎧y max ＝a ＋b ＝32ymin ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1，∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x .∴此函数的周期T ＝2π3，当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式f (x )＝－2sin3x ，x ∈R ， ∴f (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－f (x )， ∴y ＝－2sin3x 为奇函数．21．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示．试依图推出：(1)f (x )的最小正周期； (2)f (x )的单调递增区间；(3)使f (x )取最小值的x 的取值集合． [解析] (1)由图象可知，T 2＝74π－π4＝32π，∴T ＝3π.(2)由(1)可知当x ＝74π－3π＝－54π时，函数f (x )取最小值，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－54π＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )． (3)由图知x ＝74π时，f (x )取最小值，又∵T ＝3π，∴当x ＝74π＋3k π时，f (x )取最小值，所以f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝74π＋3k π，k ∈Z .22．(本题满分14分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．[解析] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x ) ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a22－2a －1.这里－1≤cos x ≤1. ①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f (x )min ＝－a 22－2a －1；②若a2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ；③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1.因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a <－2)－a22－2a －1 (－2≤a ≤2)1－4a (a >2).(2)∵g (a )＝12.∴①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾；②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12，即a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3(舍)． ∴g (a )＝12时，a ＝－1.此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12， 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为5.。
【金版教程】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数第12课时正、余弦函数的周期性检测试题 新人教A版必修4
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
优化方案高中数学 第一章 三角函数章末综合检测 新人教A版必修4
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝tan x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B ．该函数为奇函数，其最小正周期T ＝π12＝2π.2．简谐运动y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C.相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.3．设a ＜0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25C.15D ．－15解析：选A.因为点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.因为a ＜0，所以a ＝－15.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.所以sin α＝－45，cos α＝35.所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.4．设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析：选D.sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0. 所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )为奇函数解析：选D.因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；因为y＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；因为f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，所以f (x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；f (x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．6．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D.12＋ 3 解析：选B ．sin 600°＝sin (360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 7．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则si n α的值是( )A.355B ．377C.31010 D.13解析：选C.由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.8．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析：选D.由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D.9．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23 B ．43 C.32D ．3解析：选C.法一：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －4π3ω＋π3＋2的图象．因为两图象重合，所以ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32. 法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，所以ω＝32k ，所以ω的最小值为32.10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4C.π3D.π2解析：选 A.由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )，|φ|的最小值为π6.11．如果函数f (x )＝sin (πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A.因为T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin (πx ＋θ)，所以f (2)＝sin (2π＋θ)＝sin θ＝1， 又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A.12．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A.π12 B ．π6C.π3D.π4解析：选A.令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )，因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z )，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )， 四个选项中只有A 符合，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos (135°－α)＝________． 解析：cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)] ＝－cos (45°＋α)＝－513.答案：－51314．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，当f (x )取最大值时，x 的取值集合为________． 解析：由x 2－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝4k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋43π，k ∈Z15．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________．解析：因为0＜ω＜1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：3416．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；③把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象．其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝12，求cos （3π＋θ）cos θ[cos （π＋θ）－1]＋cos （θ－4π）cos （θ＋2π）cos （3π＋θ）＋cos （－θ）的值．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ， 所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，(1)试求ω的值；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]，列表如下，x ＋π6－56π －π2π2π76πx －π －23π －π6 π3 56π π y－1131则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上，所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4.(2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π)． 21．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象？(2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的所有实数根之和． 解：(1)因为T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4. y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，再将y ＝s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．(2)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3×2×2＝19π6，故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.因为T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6.所以4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，所以x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
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三 角 函 数 (测试时间：120分钟 评价分值：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin 120°的值是( )
A.32 B．－32
C.12 D．－12
答案：A
2．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的角θ的值是( )
A．－3π4 B．－π4 C.π4 D.3π4
解析：－114π＝－2π－34π，故选A.
答案：A
3．若sin α＞0且tan α＜0，则α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解析：∵sin α＞0，∴α为第一象限角或第二象限角或终边落在y轴非负半轴上，又∵tan α＜0，∴α为第二象限角或第四象限角，∴α为第二象限角．故选B. 答案：B
4．集合M＝x x＝sin kπ3，k∈Z中的元素有( ) A．无数个 B．4个 C．3个 D．2个
答案：C
5．(2013·深圳二模)如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0得最大值，那么( ) A．T＝2，θ＝π2 B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝π2
解析：∵T＝2ππ＝2，f(x)＝sin(πx＋θ)， ∴f(2)＝sin(2π＋θ)＝1，θ＝π2.故选A. 答案：A
6．已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C．－34 D．±34
解析：cosπ2＋α＝－sin α＝35，sin α＝－35， ∵α∈π2，3π2， ∴cos α＝－45，∴tan α＝34.故选B. 答案：B
7．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α的值为( ) A．1 B．－1 C.34 D．－43
答案：A
8．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为( ) A．2 B.3 C．1 D.32
解析：由已知扇形所在圆的半径R＝2ππ3＝6，设该扇形内切圆半径为r，则6－r＝2r，∴r＝2，故选A. 答案：A
9．使sin x≤cos x成立的x的一个区间是( ) A.－3π4，π4 B.－π2，π2 C.－π4，3π4 D．[0，π] 答案：A
10．(2013·茂名模拟)将函数y＝sin6x＋π4的图像上各点向右平移π8个单位，则得到新函数的解析式为( ) A．y＝sin6x－π2 B． y＝sin6x＋π4
C．y＝sin6x＋5π8 D．y＝sin6x＋π8
解析：y＝sin6x＋π4 y＝sin6x－π8＋π4＝sin6x－π2. 答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cosα＋π4＝35，则sin α＝________.
解析：∵α为锐角，∴sinα＋π4＝45. ∴sin α＝sinα＋π4－π4 ＝sinα＋π4cosπ4－cosα＋π4sinπ4 ＝45×22－35×22＝210. 答案：210
12．已知角α的终边上一点P与点A(－3,2)关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点对称，那么sin α＋sin β的值等于________．
解析：点P的坐标为(3,2)，点Q的坐标为(3，－2)， ∴sin α＝232＋22＝213，sin β＝－232＋22＝－213. ∴sin α＋sin β＝0. 答案：0
向右移动π8个单位 13．函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，则θ＝________. 解析：函数f(x)＝3sin(2x＋5θ)的图象关于y轴对称，即f(x)在x＝0时取得最大值或最小值．由已知得，f(0)＝3sin 5θ＝±3，即sin 5θ＝±1，所以5θ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得θ＝kπ5＋π10(k∈Z)．
答案：kπ5＋π10(k∈Z)
14．已知函数f(x)＝3sinωx－π6和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈0，
π
2，则f(x)的取值范围是________．
解析：由题意知，ω＝2，因为x∈0，π2， 所以2x－π6∈－π6，5π6， 由三角函数图象知： f(x)的最小值为3sin－π6＝－32，
最大值为3sinπ2＝3，所以f(x)的取值范围是－32，3. 答案：－32，3
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan(2 013π＋α)＝3，试求： －－2cos2 013π2＋α－－＋＋的值．
解析：由tan(2 013π＋α)＝3, 可得 tan α＝3，
故－－2cos2 013π2＋α－－＋＋ ＝－sin α＋2sin αsin α－cos α ＝sin αsin α－cos α ＝tan αtan α－1＝33－1＝32.
16．(本小题满分12分)已知sin θ－cos θ＝15. (1)求sin θ·cos θ的值； 解析：(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝152＝125⇒sin θcos θ＝1225.
(2)当0解析：因为00， 所以 0
由 sin θ－cos θ＝15，sin θcos θ＝1225 ⇒ sin θ＝45，cos θ＝35， 得tan θ＝sin θcos θ＝43.
17.(本小题满分14分)已知函数y＝2acos2x－π3＋b的定义域是0， π2，值域是[－5,1]，求a、b的值．
解析：∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3. ∴－12≤cos2x－π3≤1.
当a>0时，－a＋b≤2acos2x－π3＋b≤2a＋b.
由已知得， －a＋b＝－5，2a＋b＝1，∴ a＝2，b＝－3. 当a<0时，2a＋b≤2acos2x－π3＋b≤－a＋b. 由已知得， 2a＋b＝－5，－a＋b＝1，∴ a＝－2，b＝－1. 18．(本小题满分14分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，||φ(1)求函数f1(x)的解析式； 解析：由图象可知，A＝2，T2＝π3－－π6＝π2， ∴ω＝2πT＝2.又∵图象过点－π6，0， ∴2×－π6＋φ＝kπ(k∈Z)． 又∵|φ|∴f1(x)＝2sin2x＋π3.
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移π4个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求此时自变量x的集合．
解析：∵将函数f1(x)＝2sin2x＋π3的图象向右平移π4个单位，得到函数f2(x)＝2sin2x－π4＋π3＝2sin2x－π6的图象． ∵函数f2(x)＝2sin2x－π6的定义域是R， ∴函数f2(x)＝2sin2x－π6的最大值是2， 此时2x－π6＝π2＋2kπ， x＝π3＋kπ(k∈Z)， ∴当函数f2(x)＝2sin2x－π6的最大值是2时， 自变量x的集合是x x＝π3＋kπ，k∈Z. 19.(本小题满分14分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＝π8.
(1)求φ；
解析：∵x＝π8是函数y＝f(x)的图象的对称轴 ∴sin2×π8＋φ＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z. 又∵－π
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间． 解析：由(1)知φ＝－3π4，因此y＝sin2x－3π4. 由题意得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2，k∈Z时，y单调递增． 即kπ＋π8≤x≤kπ＋58π，k∈Z时，y单调递增．
所以函数y＝sin2x－3π4的单调增区间为 kπ＋
π8，kπ＋5π
8，k∈Z.
20．(本小题满分14分)2013年的元旦，N市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N市在2013年的第一天的温度为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的表达式． (2)若元旦当天M市的气温变化曲线也近似地满足函数y1＝A1sin(ω1x＋φ1)＋b1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N市迟了4个小时． ①求早上7时，N市与M市的两地温差； ②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2013年元旦当日，N市与