圆盘定理估计特征值的范围
矩阵特征值的估计
解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
特征值估计
矩阵论
定理 4.20: 设 A Crmn r 0, 则存在 m阶酉矩阵 U 和 n 阶酉矩阵 V , 使得
U AV 0 其中 diag1, 2 ,, r , 而 i
H
i 1, 2, , r 为 A 的非零
0 , 0
(*)
奇异值. 另外, 由(*)式可得
则对于 k 1,2,, n ：
n Re k 1 ，
n Imk 1
矩阵论
定理 5.1.5 设 A C 为 d1 d 2 d n ，则
nn
， A 的特征值为 k (k 1,2,, n) ，奇异值
dn | k | d1 ．
推论 7.1.1 酉矩阵的特征值的模均等于 1．
0 H A U V , 0 0
称之为 A 的奇异值分解.
矩阵论
注：
（1）U 和 V 不唯一；
（2）U 的列为 AA H 的特征向量， V 的列为 A H A 的特征向量； （3）称 U 的列为 A 的左奇异向量，称 V 的列为
A 的右奇异向量；
（4）在 A 的奇异值分解中，若划分
A AH C A ．则由定理 5.1.2 得 | k | 3 max | aij | 0.6 ， i, j 2 | Re k | 3 max | bij | 0 ， | Im k | 3 max | cij | 0.6
i, j i, j
所以， Re k 0 ， | Imk | 0.6 ．
其中 Ri Ri ( A)
| a
j 1 j i
n
ij
，称 Si 为矩阵 A 在复平 |（ i 1,2,, n ）
面上的第 i 个盖尔圆，称 Ri 为 Si 的半径（ i 1,2,, n ） ．
矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵
0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1
列严格对角占优矩阵圆盘定理证明
矩阵领域中的圆盘定理：一种列严格对角占优矩阵的证明在矩阵领域中，圆盘定理是一种重要的理论，它描述了一类特殊的矩阵在计算特征向量和特征值时的性质。
而在这类矩阵中，列严格对角占优矩阵则是其中一种较为典型的形式。
本文将从基础概念出发，引入列严格对角占优矩阵，并给出其在圆盘定理中的应用和证明。
首先，列严格对角占优矩阵指的是，对于某个正整数k，对于任意i∈{1,2,……,n}，都有|a_ii|≥∑|a_ij| (j≠i, j≤k)，即该矩阵的对角线元素都大于等于其它元素的绝对值之和。
这个性质使得这种矩阵比其它一般的矩阵更容易计算特征向量和特征值，因为特征向量都集中在对角线附近，并且特征值与对角线元素有关。
接下来，我们引入圆盘定理的概念。
圆盘定理指的是，给定一个矩阵A和一个向量v，当有限次将v左乘A的线性组合后，所得到的向量序列将收敛于一个由A生成的向量空间，其中该向量空间的维度等于矩阵A的最大特征数。
而对于列严格对角占优矩阵，这个定理可以更进一步地说明，即只需有限次的线性组合即可收敛于该向量空间。
具体地，我们考虑一个n维的列严格对角占优矩阵A。
假设其最大特征值为λ_max，且特征向量为x_max。
在给定任意向量v的情况下，我们考虑其生成的向量序列x_k=A^kv。
根据圆盘定理的定义，这个序列将收敛于由矩阵A生成的向量空间W。
我们可以证明，只需要k≤n，这个收敛就是从x_1到x_k的。
具体证明可以采用数学归纳法和列严格对角占优矩阵的性质得到。
从上述证明中，我们可以看到，列严格对角占优矩阵作为一类特殊的矩阵，在圆盘定理中起到了重要的作用。
通过该定理和对其证明的理解，我们可以更好地认识这种矩阵的性质和特性，同时也可以为解决一些矩阵计算中的问题提供指导。
矩阵特征值的估计
第三部分矩阵特征值的估计§1. 特征值界的估计引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。
即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2. 设，则Proof:设则引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。
Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。
Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。
推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。
推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。
Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数Proof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。
Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。
即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。
§2. 圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。
Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。
关于Ostrowski圆盘定理的一个注记
关于Ostrowski圆盘定理的一个注记1999年12月Dec1999应用数学与计算数学CoMMoNAPPLMATHANDCOMPU,1-⑦/3一,77第l3卷第2期V ol13N,a2关于ni『曩理的一个注记(=)/2_/刘彬清V』l上海大学数学系,上海,200436摘要本文对Ostrowski给出的关于矩阵的特征值估计作些讨论,特征值分布特性被揭示,进而得到了一个判定矩阵非奇异性的充分条件.关键词:嬖丝垡:塑韭避()5亡,2,j———走—～,,J6,fVuu'V,,,设c"表示维复向量空间,c…表示nXn复矩阵空间,A∈,记兄=∑,对于矩阵特征值问题:Ax=Ax,X∈,Gerschgorin于1937年对特征值估计得到了着名的圆盘定理:定理1【](Gerschgorin)设A∈,对于的每个特征值A,至少存在一个(1in),使得IA—nI兄(或IA一%I墨G)成立.后由Ostrowski推广了上述结果:定理2121(Ostrowski)设A∈,对于A的特征值A,至少存在一个i(1i),对某一a∈Io,1],使得IA一.I碍qi～成立.推论is](Ostrowski)设A∈C,若对某一∈o,1】,1>Rct一(z=1,2,…,").则A为非奇异阵.本文将对Ostrowski定理作一些讨论,进而得到关于判别A非奇异性的一个充分条件.I进记号:定理3设A∈c…且为不可约矩阵,若A的一个特征值A位于G的边界上,则A位于每个G;(1=1,2,…,n)的边界上.证明先讨论∈(0,1)的情形.设对应于A的特征向量为≠0,∈C,则本文L999年9月9日收到Ax=Ax2l=-1∈叶∈=～<一Ⅱ一.GUm=一G74应用数学与计葬数学l3卷于是(^一.=∑a.ijxjnnA一%∑I.I=∑la~JI.()j=12一n;;对上式右端使用HSlder不等式得妻(妻l).(l击)(击)-1-.,…,;当且仅当向量=(1ai~I.),:1—2一1,i-I-1.一㈤i=1,2,?一,n与向量=(In"I.II),:l...一l,i+1,i=1,2,?一,线性相关时,(1)式第二个不等号中的'号取等号.由A的不可约性,可推知皿≠0,G≠o(i=1,2,…,n),于是()击l喜川l=,,…,n对上式关于i作求和得()击一:击喜川吲击=∑(∑),:(3)击∑r皇==<一<一一2期刘彬清:关于Ostrowskl圆盘定理的一个注记75由定理条件:A位于G的边界上,所以IA一.蟛一即()击…,.,…,所以i=1()I壹i=1c=cI击(比较(3)与(4)必须有(,/击:\一即IA一ⅡI:Rc一.i∈{lI≠0,=1,2,-,)此时(4).(3),(2),(1)必须成为等式.下面证明:≠0,i=1,2,…,n若存在某一io(1n)z.=0,在(1)式中令i=io,注意到(1)式己为等式,所以∑,击:0;即有la~ojIII=0J=1,2,…,io一1,0+1,…,n由A的不可约性,对于指标io及任意J0≠io),一定存在非零元素链aioiln 0,其中1iD,il,i2,…,,且互不相同,由(5)式得la忙,I所以=0又由(1)式得laⅥllxI:0J=1,2,..则:Ib:;l击所以z,=0.于是反复利用(1)式得la~,jllqI击推得叶=0=1,2,一,io于是=0与≠0引起矛盾.(5)Ⅱ,J≠nn,十一L+ol一0qo应用数学与计算数学所以≠0i=l,2,?--,所以l^一.l=兄～z=1,2,…,n即入位于每个G(1.2,一,n)的边界上.对于=0,1情况结论仍然成立_1J_于是定理证毕.推论1在定理3的条件下,设z=(Xll.,….)为对应^的特征向量,则(1)≠0z=1,2---,n:(2)当a=i1.1时,lXll=2l==lf_证明(1)在定理3证明中已证得.(2)当a=i1时,因为R≠O:1,2,…,),所以≠0(i=1,2,--,).由的不可约性,对任何i(i=1.2.…,n)必存在0(Jo≠i)使aid.≠0.所以,laij.]l-a.l≠0所以,≠0i=l,2.…m由于(1)已为等式,所以:≈t0=l,2,??,n其中k为仅与有关的非零常数.即lllJl=l.0l.:1,2,--.由的不可约性知,对任何J(J=1,2,?0=1时有ldJxjl因而推得l=;J=12,--,n当a=1时,结论仍然成立_1Jl推论2设A∈且为不可约阵,,n)必存在io(如≠)使n≠0,所以当kiolⅡt.,若对某个a∈[0,l1-I≥霹i=l,2,…,n且至少有一个不等式严格成立,则为非奇异阵.证明用反证法证明.若为奇异阵,则A必有一特征值^:0,不妨设^位于G(1s)中,即所以由定理条件知l^一ol只～lol兄—lnlcl～2期刘彬清:关于Ostrowski圆盘定理的一个注记所以lnl=孵G说明A=0位于G的边界上,由定理3得A=0位于每个Gz(一l,2nI=R~C,1一"z=1.2.,n这与题设至少有一个不等式严格成立相矛盾.因此A为非奇异阵R1=8,R2=9.R3=7,R4=2,C1=6,=8.10,q:2,A为不可约阵,但按行(或列)为非对角占优阵,若取n=,则Ⅱ1lI>R讲,I>西,I蛐I>R毋,II>R讲据推论2知A为非奇异阵参考文献IIR.A.Hom.C.R.Johnson.MatrixanMysis.CambridgeUniversityPress1987,296-232(r~译本).21李乔.矩阵论八讲.上海科技出版社,1988,74-803】李庆杨等.数值分析.华中理工大学出版社,1995,305-308 ANoteontheOstrowskiDiskTheoremBINQINGLIU(Departmento|MathematicsShangha~University,Shanghai2oo4s6)Abstract InthispaperwemakeSOlxlediscussionfortheestimateofthematrixeigenvahie,thatis obtainedbyOstrowske,SOlxledistributioncharacteroftheeigenvahiearedescribed.thenas ufficientconditiontodeterminenonsigularRyofthematrixisgiven keywordsmatrixeigenvalue,disktheoremirreducibility,nonsigularity,,l●●,/0ll2369159217240,,●●●●\=A最唰。
矩阵理论第4章习题解答
第四章 习题解答1. 证明：实对称矩阵A 的所有特征值在区间[],a b 上的充要条件是对任何0a λ<,0λ-A E 是正定矩阵；而对任何0a λ<,0λ-A E 是负定矩阵.证：因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使得{}12,,n diag λλλ T A =Q Q ，其中特征值[],i a b λ∈.{}010200,,n diag λλλλλλλ--- T A -E =Q Q ,所以对于00,0i a λλλ∀<->知A 为正定矩阵；00,0i b λλλ∀>-<知A 为负定矩阵. 2. 设A ,B 都是实对称矩阵, A 的一切特征值在区间[],a b 上, B 的一切特征值在区间[],c d 上. 证明: A+B 的特征值必在区间[],a c b d ++.证：设A ,B 的特征值分别为()()()12n b A A A a λλλ≥≥≥≥≥ ， ()()()12n d B B B c λλλ≥≥≥≥≥ ，又因为A ,B 为实对称矩阵，所以A ,B 为Hermite 矩阵，由定理18知，A+B 的特征值()k λ+A B ，1,2,,k n ∀= . 有()()()()()1k n k k λλλλλ+≤+≤+A B A B A B .即()()()()()()()1k k n k k k a c c d b dλλλλλλλ+≤+≤+≤+≤+≤+≤+A A B A B A B A 3 设P 是酉矩阵，()1,,n A diag a a = ，证明PA 的特征值μ满足不等式m M μ≤≤，其中，{}min i im a =，{}max i iM a =.证：因为P 是酉矩阵，所以HP P E =，又因为()()HH H H PA PA A P PA A A ==，所以由Browne 定理知，PA 的特征值μ满足不等式minminmaxmaxiiiiμ=≤≤=而minmin i iia m ==，maxmax i iia M ==，所以 m M μ≤≤.4．用圆盘定理证明9121081110401001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A =至少有两个实特征值. 证: A 的4个盖尔圆为{}1|94G z z =-≤,{}2|82G z z =-≤, {}3|41G z z =-≤,{}4|11G z z =-≤,它们构成的两个连通区域部分为1123S G G G = , 24S G =, 易知1S 与2S 都关于实轴对称, 因为实矩阵的复特征值必成对共轭出现, 所以2S 中含有A 的一个特征值, 而1S 中至少含有A 的一个实特征值, 因此A 中至少有两个实特征值. 5 参见课本135页中的例1. 6 用圆盘定理估计7-168-1678885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A =的特征值和A 的谱半径, 然后选取一组正数123,,p p p 对A 的特征值作更细的估计. 解: A 的3个特征值在它的2个盖尔圆724z -≤,516z +≤得并集中, 且()31r A ≤. 因为矩阵A 有相同的主对角元素，所以，无法通过选取正数123,,p p p 给出更精细的估计.7证明141414141525115161636161171737⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =的谱半径()1r <A . 证: 113:||44S z -≤，223:||55S z -≤，333:||66S z -≤，433:||77S z -≤，故矩阵A 的盖尔,圆盘位于单位圆内且只与单位圆交于1，又因为||0E A -≠，所以知()1r <A .8. 证明14141141251515161636161717147⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =的谱半径()1r =A . 证: 113:||44S z -≤，223:||55S z -≤，333:||66S z -≤，443:||77S z -≤，故矩阵A 的盖尔,圆盘位于单位圆内且只与单位圆交于1，又因为()det 10=I -A , 所以()1r =A . 9．举例说明：（1）在有两个盖儿圆构成构成的连通部分中，可以在每一个盖儿圆中恰有一个特征值. （2）不一定每个盖尔圆中必有一个特征值.解：（1）如122-1⎛⎫ ⎪⎝⎭A =，故250λλ-=-=E A，1,2λ=（2）如1-0.80.50⎛⎫ ⎪⎝⎭A =，故20.40λλλ-=-+=E A，(1,211.2λ=±11．设()n,nij a =∈C A ，满足()1,2,,ij ij j ia a i n ≠>=∑ 则（1）A 可逆； （2）1det .nii ij j i i a a ≠=⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∏A 证：（1）因为A 为严格对角占优矩阵，由定理4知，A 可逆。
第五章矩阵特征值计算
第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样，矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容. 在理论上，矩阵的特征值是特征多项式方程的根，因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解. 然而对于高阶矩阵，这种转化并不能使问题得到简化，而且在实际应用中还会引入严重的数值误差. 因此，正如第二章指出的，我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题，而不是反过来.本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法. 与非线性方程求根问题类似，计算矩阵特征值的算法也是迭代方法①.5.1基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值、特征向量的基本概念和性质，然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法.5.1.1基本概念与性质定义5.1：矩阵A=(a kj)∈ℂn×n，(1) 称φ(λ)=det(λI−A)=λn+c1λn−1+⋯+c n−1λ+c n为A的特征多项式(characteristic polynomial)；n次代数方程φ(λ)=0为A的特征方程(characteristic equation)，它的n个根：λ1,⋯,λn，被称为A的特征值（eigenvalue）. 此外，常用λ(A)表示A的全体特征值的集合，也称为特征值谱(spectrum of eigenvalue).(2) 对于矩阵A的一个给定特征值λ，相应的齐次线性方程组(λI−A)x=0 , (5.1)有非零解（因为系数矩阵奇异），其解向量x称为矩阵A对应于λ的特征向量（eigenvector）.根据方程(5.1)，我们得出矩阵特征值与特征向量的关系，即Ax=λx .(5.2)第三章的定义3.5就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义，它与定义5.1是等价的. 另外，同一个特征值对应的特征向量一定不唯一，它们构成线性子空间，称为特征子空间(eigenspace).我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意，实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量，但实特征值一定对应于实特征向量（方程(5.1)的解），而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量. 此外，若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值（由于特征方程为实系数方程）. 定理3.3表明，实对称矩阵A∈ℝn×n的特征值均为实数，存在n个线性无关、且正交的实特征向量，即存在由特征值组成的对角阵Λ和特征向量组成的正交阵Q，使得:A=QΛQ T.(5.3)例5.1（弹簧－质点系统）：考虑图5-1的弹簧－质点系统，其中包括三个质量分别为m1、m2、m3的物体，由三个弹性系数分别为k1,k2,k3的弹簧相连，三个物体的位置均为时间的函数，①如果用有限次运算能求得一般矩阵的特征值，则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决，这与阿贝尔证明的“高于4次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式”的理论矛盾.这里考查三个物体偏离平衡位置的位移，分别记为y 1(t), y 2(t), y 3(t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡，所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律（即弹簧的弹力与拉伸长度成正比）可列出如下微分方程组②： My ′′(t)+Ky(t)=0 ,其中y (t )=[y 1(t)y 2(t)y 3(t)]T ,M =[m 1000m 2000m 3],K =[k 1+k 2−k 20−k 2k 2+k 3−k 30−k 3k 3] . 在一般情况下，这个系统会以自然频率ω做谐波振动，而y 的通解包含如下的分量： y j (t )=x j e iωt ,(j =1,2,3)其中i =√−1，根据它可求解出振动的频率ω及振幅x j . 由这个式子可得出：y j ′′(t )=−ω2x j e iωt ,(j =1,2,3)代入微分方程，可得代数方程:−ω2Mx +Kx =0,或Ax =λx ,其中A =M −1K ，λ=ω2. 通过求解矩阵A 的特征值便可求出这个弹簧－质点系统的自然频率（有多个）. 再结合初始条件可确定这三个位移函数，它们可能按某个自然频率振动（简正振动），也可能是若干个简正振动的线性叠加.例5.2（根据定义计算特征值、特征向量）：求矩阵A =[5−1−131−14−21]的特征值和特征向量.[解]: 矩阵A 的特征方程为：det (λI −A )=|λ−511−3λ−11−42λ−1|=(λ−3)(λ−2)2=0故A 的特征值为λ1=3，λ2=2（二重特征值）.当λ=λ1=3时，由(λI −A)x =0，得到方程[−211−321−422][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,1]T ，记为x 1，则x 1是λ1对应的一个特征向量.当λ=λ2=2时，由(λI −A)x =0，得到方程[−311−311−421][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,2]T ，记为x 2，则x 2是λ2对应的一个特② 本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法.图5-1 弹簧－质点系统.征向量.下面概括地介绍有关矩阵特征值、特征向量的一些性质，它们可根据定义5.1，以及公式(5.2)加以证明.定理5.1：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) ∑λj n j=1=∑a jj n j=1=tr(A) ;(2) ∏λj n j=1=det(A) .这里tr(A)表示矩阵对角线上元素之和，称为矩阵的迹（trace ）.从上述结论(2)也可以看出，非奇异矩阵特征值均不为0, 而0一定是奇异矩阵的特征值. 定理5.2：矩阵转置不改变特征值，即λ(A )=λ(A T ).定理5.3：若矩阵A 为对角阵或上(下)三角阵，则其对角线元素即为矩阵的特征值.定理5.4：若矩阵A 为分块对角阵，或分块上(下)三角阵，例如A =[A 11A 12⋯A 1m A 22⋯A 2m ⋱⋮A mm] , 其中每个对角块A jj 均为方阵，则矩阵A 的特征值为各对角块矩阵特征值的合并，即λ(A )=⋃λ(A jj )m j=1.定理5.5：矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵A 和B 为相似矩阵，即存在非奇异矩阵X 使得B =X −1AX ，则(1) 矩阵A 和B 的特征值相等，即 λ(A )=λ(B ) ;(2) 若y 为B 的特征向量，则相应地，Xy 为A 的特征向量.通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵A 并不总是可对角化的(diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定理..定义5.2: 设矩阵A ∈ℝn×n 有m 个（m n ）不同的特征值λ̃1,⋯,λ̃m ，若λ̃j 是特征方程的n j 重根，则称n j 为λ̃j 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称λ̃j 的特征子空间(ℂn 的子空间)的维数为λ̃j 的几何重数(geometric multiplicity). 定理5.6：设矩阵A ∈ℝn×n 的m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则(1) ∑n j m j=1=n ，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀j ，n j ≥k j .(2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑k j m j=1个基(特征向量)放在一起，它们构成一组线性无关向量.(3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得n 个线性无关的特征向量，它们是全空间ℂn 的基.定义5.3：若矩阵A ∈ℝn×n 的某个代数重数为k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于k （即几何重数小于代数重数），则称A 为亏损阵（defective matrix ），否则称其为非亏损阵（nondefective matrix ）.定理5.7：设矩阵A ∈ℝn×n 可对角化，即存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得X −1AX =Λ,其中Λ∈ℂn×n 为对角阵, 的充要条件是A 为非亏损矩阵. 此时，Λ的对角线元素为矩阵A 的特征值，而矩阵X 的列向量为n 个线性无关的特征向量.定理5.7中方程的等价形式为A =XΛX −1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是A 为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏损矩阵，例如例5.2中的矩阵，它的特征值2的代数重数为2，而几何重数仅为1. 这种矩阵不能相似变换为对角阵，但存在下面的若当分解(Jordan decomposition).定理5.8：设矩阵A ∈ℝn×n , 存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得A =XJX −1,矩阵J 为形如[J 1⋱J p ]的分块对角阵（称为若当标准型），其中J k =[ λk 1λk ⋱⋱1λk ] 称为若当块，其对角线元素为矩阵A 的特征值. 设矩阵A 有m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则p =∑k j m j=1, λ̃j 对应于k j 个若当块, 其阶数之和等于n j .在若当分解中，如果所有若当块都是1阶的，则J 为对角阵，这种分解就是特征值分解，相应的矩阵为非亏损阵. 若当分解是很有用的理论工具，利用它还可证明下面关于矩阵运算结果的特征值的定理.定理5.9：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) 矩阵cA, c 为常数, 的特征值为cλ1,cλ2,⋯,cλn .(2) 矩阵A +pI, p 为常数, 的特征值为λ1+p,λ2+p,⋯,λn +p.(3) 矩阵A k , k 为正整数, 的特征值为λ1k ,λ2k ,⋯,λn k .(4) 设p (t )为一多项式函数，则矩阵p (A )的特征值为p (λ1),p (λ2),⋯ ,p (λn ) .(5) 若A 为非奇异矩阵，则λj ≠0,(j =1,2,…,n), 且矩阵A −1的特征值为λ1−1,λ2−1,⋯,λn −1.5.1.2特征值分布范围的估计估计特征值的分布范围或它们的界，无论在理论上或实际应用上，都有重要意义. 比如，本书前面的内容曾涉及两个问题：(1). 计算矩阵的2-条件数：cond (A )2=√λmax (A T A)λmin (A T A) ;(2). 考察一阶定常迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 的收敛性、收敛速度：收敛的判据是谱半径ρ(B)=max 1≤j≤n |λj (B)|<1 ; 收敛速度为R =−log 10ρ(B) .其中都需要对矩阵特征值分布范围的了解.上一章的定理4.4说明谱半径的大小不超过任何一种算子范数，即ρ(A )≤‖A ‖ ,这是关于特征值的上界的一个重要结论.下面先给出定义5.4，再介绍有关特征值的界的另一个重要结论.定义5.4：设A =(a kj )∈ℂn×n ，记r k =∑|a kj |n j=1j≠k ,(k =1,⋯,n)，则集合D k ={z||z −a kk |≤r k ,z ∈ℂ},(k =1,⋯,n)在复平面为以a kk 为圆心、r k 为半径的圆盘，称为A 的Gerschgorin （格什戈林）圆盘.图5-2显示了一个3⨯3复矩阵的格什戈林圆盘.定理5.10 (圆盘定理)：设A =(a kj )∈ℂn×n ，则：(1) A 的每一个特征值必属于A 的格什戈林圆盘之中，即对任一特征值λ必定存在k,1≤k ≤n ，使得：|λ−a kk |≤∑|a kj |nj=1j≠k .(5.4)图5-2 复坐标平面，以及3⨯3矩阵A 的格什戈林圆盘.用集合的关系来说明，这意味着λ(A)⊆⋃D k n k=1.(2) 若A 的格什戈林圆盘中有m 个组成一连通并集S ，且S 与余下的n −m 个圆盘分离，则S内恰好包含A 的m 个特征值（重特征值按重数计）.对图5-2所示的例子，定理5.10的第(2)个结论的含义是：D 1中只包含一个特征值，而另外两个特征值在D 2,D 3的并集中. 下面对定理5.10的结论(1)进行证明，结论(2)的证明超出了本书的范围.[证明]: 设λ为A 的任一特征值，则有Ax =λx ，x 为非零向量. 设x 中第k 个分量最大，即|x k |=max 1≤j≤n|x j |>0 , 考虑方程(5.2)中第k 个方程：∑a kj x j nj=1=λx k , 将其中与x k 有关的项移到等号左边，其余到右边，再两边取模得：|λ−a kk ||x k |=|∑a kj x j n j=1j≠k |≤∑|a kj ||x j |n j=1j≠k ≤|x k |∑|a kj |nj=1j≠k .(5.5)最后一个不等式的推导利用了“x 中第k 个分量最大”的假设. 将不等式(5.5)除以|x k |，即得到(5.4)式，因此证明了定理 5.10的结论(1). 上述证明过程还说明，若某个特征向量的第k 个分量的模最大，则相应的特征值必定属于第k 个圆盘中.根据定理5.2，还可以按照矩阵的每一列元素定义n 个圆盘，对于它们定理5.10仍然成立. 下面的定理是圆盘定理的重要推论，其证明留给感兴趣的读者.定理5.11：设A ∈ℝn×n ，且A 的对角元均大于0，则(1) 若A 严格对角占优，则A 的特征值的实部都大于0.(2) 若A 为对角占优的对称矩阵，则A 一定是对称半正定矩阵，若同时A 非奇异，则A 为对称正定矩阵.例5.3 (圆盘定理的应用)：试估计矩阵A =[41010−111−4]的特征值范围.[解]: 直接应用圆盘定理，该矩阵的三个圆盘如下:D 1: |λ−4|≤1, D 2: |λ|≤2, D 3: |λ+4|≤2.D 1与其他圆盘分离，则它仅含一个特征值，且必定为实数（若为虚数则其共轭也是特征值，这与D 1仅含一个特征值矛盾）. 所以对矩阵特征值的范围的估计是：3≤λ1≤5,λ2,λ3∈D 2∪D 3 .再对矩阵A T 应用圆盘定理，则可以进一步优化上述结果. 矩阵A T 对应的三个圆盘为： D ’1: |λ−4|≤2, D ’2: |λ|≤2, D ’3: |λ+4|≤1.这说明D ’3中存在一个特征值，且为实数，它属于区间[-5, -3]，经过综合分析可知三个特征值均为实数，它们的范围是：λ1∈[3,5],λ2∈[−2,2],λ3∈[−5,−3].事实上，使用Matlab 的eig 命令可求出矩阵A 的特征值为：4.2030, -0.4429, -3.7601.根据定理5.5，还可以对矩阵A 做简单的相似变换，例如取X 为对角阵，然后再应用圆盘定理估计特征值的范围.例5.4 (特征值范围的估计)：选取适当的矩阵X ，应用定理5.5和5.10估计例5.3中矩阵的特征值范围.[解]: 取X−1=[100010000.9] , 则A 1=X −1AX =[41010−109⁄0.90.9−4]的特征值与A 的相同. 对A 1应用圆盘定理，得到三个分离的圆盘，它们分别包含一个实特征值，由此得到特征值的范围估计：λ1∈[3,5],λ2∈[−199,199],λ3∈[−5.8,−2.2]. 此外，还可进一步估计ρ(A)的范围，即3≤ρ(A)≤5.8 .上述例子表明，综合运用圆盘定理和矩阵特征值的性质（如定理5.2, 定理5.5），可对特征值的范围进行一定的估计. 对具体例子，可适当设置相似变换矩阵，尽可能让圆盘相互分离，从而提高估计的有效性.5.2幂法与反幂法幂法是一种计算矩阵最大的特征值及其对应特征向量的方法. 本节介绍幂法、反幂法以及加快幂法迭代收敛的技术.5.2.1幂法定义5.5：在矩阵A 的特征值中，模最大的特征值称为主特征值，也叫“第一特征值”，它对应的特征向量称为主特征向量.应注意的是，主特征值有可能不唯一，因为模相同的复数可以有很多. 例如模为5的特征值可能是5,−5,3+4i,3−4i , 等等. 另外，请注意谱半径和主特征值的区别.如果矩阵A 有唯一的主特征值，则一般通过幂法能方便地计算出主特征值及其对应的特征向量. 对于实矩阵，这个唯一的主特征值显然是实数，但不排除它是重特征值的情况. 幂法(power iteration)的计算过程是，首先任取一非零向量v 0∈ℝn ，再进行迭代计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯)得到向量序列{v k }，根据它即可求出主特征与特征向量. 下面用定理来说明.定理5.12: 设A ∈ℝn×n ，其主特征值唯一，记为λ1，且λ1的几何重数等于代数重数，则对于非零向量v 0∈ℝn ，v 0不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式进行计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯),存在如下极限等式：lim k→∞v k λ1k =x 1 , (5.6) lim k→∞(v k+1)j (v k )j =λ1 , (5.7)其中x 1为主特征向量，(v k )j 表示向量v k 的第j 个分量(k =1,2,⋯).[证明]: 为了推导简便，不妨设主特征值λ1不是重特征值，并且假设矩阵A 为非亏损矩阵. 设A 的n 个特征值按模从大到小排列为: |λ1|>|λ2|≥⋯≥|λn |，它们对应于一组线性无关的单位特征向量x ̂1,⋯,x ̂n . 向量v 0可写成这些特征向量的线性组合：v 0=α1x̂1+⋯+αn x ̂n 根据已知条件，α1≠0，则v k =Av k−1=A k v 0=α1λ1k x ̂1+α2λ2k x̂2+⋯+αn λn k x ̂n =λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)kx ̂j n j=2] =λ1k (α1x̂1+εk ) 其中εk =∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2. 由于|λj λ1|<1,(j =2,…,n), 则 lim k→∞εk =0 ⟹lim k→∞v kλ1k =α1x̂1 . 由于特征向量放大、缩小任意倍数后仍是特征向量，设x 1=α1x̂1，则它是主特征对应的一个特征向量. 上式说明，随k 的增大， v k 越来越趋近于主特征值的对应的特征向量.设j 为1到n 之间的整数，且(v k )j ≠0，则(v k+1)j (v k )j =λ1(α1x ̂1+εk+1)j (α1x̂1+εk )j 由于lim k→∞εk =0，随k 的增大上式等号右边趋于一个常数: λ1. 这就证明了定理的结论.若矩阵A 为亏损矩阵，可利用矩阵的若当分解证明这个定理，这里略去. 在这种情况下，“主特征值的几何重数等于代数重数”这一条件很重要，例如，若A =[310030001] ,它的主特征值为3，但其几何重数为1，不满足条件. 对这个矩阵A 进行实验显示无法用幂法求出主特征值.关于定理5.12，再说明几点：● 当主特征值λ1为重特征值时，应要求其几何重数等于代数重数，此时特征子空间维数大于1，向量序列{v k λ1k ⁄}的收敛值是其特征子空间中的某一个基向量.● 公式(5.7)式的含义是相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 因此在实际计算时，可任意取j 的值，只需保证比值的分母不为零.● 证明中假设了α1≠0，在实际应用中往往随机选取v 0，由于存在舍入误差，它一般都能满足. 感兴趣的读者也可思考一下，若初始向量v 0恰好与主特征向量都正交，那么幂法中的迭代向量序列会有什么结果？直接使用幂法，还存在如下两方面问题：(1) 溢出：由于v k ≈λ1k x 1，则|λ1|>1时，实际计算v k 会出现上溢出（当k 很大时）；|λ1|<1时，实际计算v k 会出现下溢出（当k 很大时）.(2) 可能收敛速度很慢. 由于εk =∑αj (λj λ1)kx j n j=2， εk →0的速度取决于求和式中衰减最慢的因子|λ2λ1|，当|λ2λ1|≈1时，收敛很慢. 由此导致v k →λ1k α1x 1, (v k+1)j (v k )j →λ1的收敛速度都将很慢，严重影响计算的效率.下面采用规格化向量的技术防止溢出，导出实用的幂法. 关于加速收敛技术的讨论，见下一小节.定义 5.6：记max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v ∈ℝn 的绝对值最大的分量， max ̅̅̅̅̅̅(v )=v j ，其中j 满足|v j |=max 1≤k≤n |v k |, 若j 的值不唯一，则取最小的那个. 并且，称u =v/max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v 的规格化向量(normalized vector).例5.5（规格化向量）：设v =[3,−5,0]T ，max ̅̅̅̅̅̅(v )=−5，对应的规格化向量为u =[−35,1,0]T .根据定义5.6，容易得出规格化向量的两条性质.定理5.13: 定义5.6中的规格化向量满足如下两条性质：(1) 若u 为规格化向量，则‖u ‖ =1，并且max ̅̅̅̅̅̅(u )=1.(2) 设向量v 1和v 2的规格化向量分别为u 1和u 2，若v 1=αv 2, 实数α≠0，则u 1= u 2.在幂法的每一步增加向量规格化的操作可解决溢出问题. 先看第一步，v 1=Av 0，此时计算v 1的规格化向量u 1=v 1max ̅̅̅̅̅̅(v 1)=Av 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0). 然后使用规格化向量计算v 2:v 2=Au 1=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0), (5.8) 再进行向量规划化操作，u 2=v 2max ̅̅̅̅̅̅(v 2)=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(A 2v 0). (5.9) 公式(5.9)的推导，利用了(5.8)式和定理5.13的结论(2). 依次类推，我们得到： { v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0) u k =v k max ̅̅̅̅̅̅(v k )=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0) , k =1,2,⋯. (5.10) 根据定理5.12的证明过程， A k v 0=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2] ⟹u k =A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0)=α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2)k→∞→ x 1max ̅̅̅̅̅̅(x 1) , 即u k 逐渐逼近规格化的主特征向量. 同理，v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0)=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2]max ̅̅̅̅̅̅(λ1k−1[α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x̂j n j=2]) =λ1α1x ̂1+∑αj(λj λ1)kx ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x ̂j n j=2) 因此，根据定理5.13的结论(1)有：lim k→∞v k=λ1x1max̅̅̅̅̅̅(x1)⟹limk→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1.基于上述推导，我们得到如下定理，以及如算法5.1描述的实用幂法.定理5.14: 设A∈ℝn×n，其主特征值唯一（且几何重数等于代数重数），记为λ1，取任意非零初始向量v0=u0，它不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式(5.10)进行计算，则lim k→∞u k=x1max̅̅̅̅̅̅(x1),(5.11)lim k→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1 ,(5.12)其中x1为主特征向量.算法5.1：计算主特征值λ1和主特征向量x1的实用幂法输入：v,A; 输出：x1,λ1.u:=v;While不满足判停准则dov:=Au;λ1:=max̅̅̅̅̅̅(v); {主特征值近似值}u:=v/λ1; {规格化}Endx1:=u. {规格化的主特征向量}在算法5.1中，可根据相邻两步迭代得到的主特征值近似值之差来判断是否停止迭代. 每个迭代步的主要计算是算一次矩阵与向量乘法，若A为稀疏矩阵则可利用它的稀疏性提高计算效率. 实用的幂法保证了向量序列{v k},{u k}不溢出，并且向量v k的最大分量的极限就是主特征值.最后，针对幂法的适用范围再说明两点：(1). 若实矩阵A对称半正定或对称半负定，则其主特征值必唯一（而且是非亏损阵）. 有时也可以估计特征值的分布范围，从而说明主特征值的唯一性. 只有满足此条件，才能保证幂法的收敛性.(2). 对一般的矩阵，幂法的迭代过程有可能不收敛，此时序列{u k}有可能包括多个收敛于不同向量的子序列，它趋向于成为多个特征向量的线性组合. 但是，一旦幂法的迭代过程收敛，向量序列的收敛值就一定是特征向量，并可求出相应的特征值.例5.6 (实用的幂法)：用实用的幂法求如下矩阵的主特征值：A=[3113] ,[解]: 取初始向量为v0=u0=[01]T . 按算法5.1的迭代过程，计算结果列于表5-1中.表5-1 实用幂法的迭代计算过程从结果可以看出，在每次迭代步中做的规格化操作避免了分量的指数增大或缩小. 经过9步迭代，特征值max ̅̅̅̅̅̅(v k )已非常接近主特征值的准确值4，特征向量也非常接近[1 1]T .5.2.2加速收敛的方法 加速幂法迭代收敛过程的方法主要有两种：原点位移技术和瑞利商（Rayleigh quotient ）加速. 下面做些简略的介绍.一. 原点位移技术原点位移技术，也叫原点平移技术，它利用定理5.9的结论(2)，即矩阵A −pI 的特征值为A 的特征值减去p 的结果. 对矩阵B =A −pI 应用幂法有可能得到矩阵A 的某个特征值λj 和相应的特征向量. 要使原点位移达到理想的效果，首先要求λj −p 是B 的主特征值，其次还要使幂法尽快收敛，即比例|λ2(B)λj −p |要尽量小，这里的λ2(B)表示矩阵B 的（按模）第二大的特征值. 在某种情况下设置合适的p 值，矩阵A,B 可同时取到主特征值. 图5-3显示了这样一个例子，矩阵A 的特征值分布在阴影区域覆盖的实数轴上，λ1为其主特征值. 按图中所示选取的p 值，将使得λ1−p 是矩阵B =A −pI 的主特征值，并且显然有|λ2(B)λ1−p |<|λ2(A)λ1| . 此时用幂法计算B 的主特征值能更快地收敛，进而得到矩阵的A 的主特征值. 图5-3也解释了原点位移法名字的由来，即将原点（或虚数坐标轴）移到p 的位置上，原始矩阵A 的特征值分布变成了矩阵B 的特征值分布.采用原点位移技术后，执行幂法仅带来很少的额外运算，而且仍然能利用矩阵A 的稀疏性. 它的关键问题是，如何选择合适的参数p 以达到较好的效果？这依赖于具体矩阵的情况，以及对其特征值分布的了解. 在后面，我们还会看到原点位移技术的其他用途.二. 瑞利商加速首先给出瑞利商的定义，以及它与特征值的关系，然后介绍瑞利商加速技术.定义5.7：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，对任一非零向量x ≠0，称R (x )=〈Ax,x 〉〈x,x 〉为对应于向量x 的瑞利商（Rayleigh quotient ）. 这里符号〈,〉代表向量内积.定理5.15：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，其n 个特征值依次为：λ1≥λ2≥⋯≥ λn ，则矩阵A 有关的瑞利商的上下确界分别为λ1和λn . 即∀x ≠0,λn ≤R (x )≤λ1,且当x 为λ1对应的特征向量时R (x )=λ1，当x 为λn 对应的特征向量时R (x )=λn .[证明]: 根据实对称矩阵的特点，即可正交对角化（定理3.3），设特征值λ1,λ2,⋯,λn 对应的单位特征向量为x 1,x 2,⋯,x n ，设x =∑αj x j n j=1，则〈x,x 〉=〈∑αj x j n j=1,∑αj x j n j=1〉=∑αj 2n j=1，而图5-3 原点位移技术示意图.。
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圆盘定理估计特征值的范围
圆盘定理是一种用于估计特征值范围的重要方法。
在数学中，特征值是矩阵或线性变换的性质之一，它们可以告诉我们关于这些对象的重要信息。
而圆盘定理则提供了一种简单而有效的方式来估计特征值的范围。
圆盘定理的基本思想是将矩阵或线性变换视为一个圆盘，特征值则是这个圆盘的边界上的点。
根据定理的定义，特征值的范围应该在这个圆盘内。
为了更好地理解圆盘定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们有一个2x2的矩阵A，我们想要估计它的特征值范围。
根据圆盘定理，我们可以将矩阵A视为一个圆盘，而特征值则是这个圆盘上的点。
为了估计特征值的范围，我们可以找到矩阵A的特征多项式，并计算它的系数。
通过观察这些系数，我们可以得出特征值的一些性质。
例如，如果特征多项式的系数都是正数，那么特征值的范围应该在圆盘内。
如果系数有正有负，那么特征值可能会超出圆盘的范围。
除了特征多项式的系数，我们还可以通过计算矩阵A的迹和行列式来进一步估计特征值的范围。
这些运算可以提供关于特征值的一些重要信息，从而帮助我们更准确地估计特征值的范围。
总的来说，圆盘定理是一种重要的工具，可以帮助我们估计特征值
的范围。
通过将矩阵或线性变换视为一个圆盘，我们可以利用特征多项式的系数、矩阵的迹和行列式等信息来进行估计。
这种方法简单而直观，可以在实际问题中得到广泛应用。
无论是在物理、工程还是经济学领域，圆盘定理都是一种重要的工具，可以帮助我们更好地理解和分析问题。