九年级数学知识点

九年级上数学需识记知识点

潢川实验中学：杨正东

一元二次方程

1、 一元二次方程的定义：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数

的二次多项式，那么这样的方程为一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：2

0(,,0)ax bx c a b c a ++=≠为已知数，且，其中a 是二次项

系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：若方程2

0ax bx c ++=为一元二次方程，则要求a≠0；若若方程2

0ax bx c ++=为一元一次方程，则要求a=0且b≠0. 3、 一元二次方程的解法

① 直接开平方法：适用于形如()()2

2

,0,0x b mx a b m b =+=≠≥且的方程

② 配方法

步骤：1、将一元二次方程整理为二次项系数为1的一般形式；2、在一元二次方程的二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方（一半方），再减去这个数； 3、把原方程配方成

()

2

x a b +=的形式； 4、直接开平方法求解。

③ 公式法

步骤：1、将一元二次方程化为一般形式；2、确定a,b,c 的值；3、计算2

4b ac ∆=-的值并判

断符号； 4、当0∆≥时，则x =，求得方程的两个实数根。

④ 因式分解法（利用提公因式法，公式法，十字相乘法转化为()()0x a x b ++=的形式） 4、 一元二次方程根的判别式（2

4b ac ∆=-）

①0∆>−−→←−−

一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 ②0∆=−−→←−−

一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 ③0∆< −−→←−−

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根 5、 一元二次方程根与系数的关系

如果2

0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-

，12c

x x a

=。

6、 一元二次方程的应用

①增长率或降低率问题：一般公式为()2

1a x b ±=，a 为基础量，b 为增长后（或降低后）的量，x 为增长（或降低）率。

②市场经济问题：基本关系式：=-利润售价进价，=

100%⨯利润

利润率进价

，=⨯总利润单利润销售量=总收入-总支出

二次函数

1、抛物线位置与a ，b ，c 的关系：

（1）a 决定抛物线的开口方向⎩

⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上

00a a

（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：

c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。对称轴在y 轴右侧； （4）表达式：

一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ,配方为:y=a

此时：顶点为,对称轴为x=顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ，顶点为（h ，k ）

交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2),抛物线与x 轴交于（x 1，0）（x 2,0） （5）抛物线的位置：

（6）抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2

沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2

±k ，将y=ax 2

沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2

．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y•轴平移则直接在解

析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）．

（7）抛物线y=ax 2

+bx+c 的图像位置及性质与a ，b ，c 的作用：a 的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－

2b a 的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴x=－2b

a

的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最小值为y=244ac b a -，顶点（－2b

a

，244ac b a -）为最低点；

当a<0时，开口向下，在对称轴x=－

2b a 的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴x=－2b a

的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最大值为y=244ac b a -，顶点（－，2

44ac b a

-）为最高

点．│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴；a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b

a

<0，即对称轴在y 轴左侧，垂直于x 轴负半轴，当a ，b•异号时，对称轴x=－

2b

a

>0，即对称轴在y 轴右侧，垂直于x 轴正半轴；c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

旋转

一、旋转 1、定义：把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称

1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。