(完整word版)2019年天津市高考数学试卷(文科)

2019年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U
) A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{1-，2，3}
D ．{1，2，3，4}
2．设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,
x y x y x y +-⎧⎪-+⎪
⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
3．设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )
A ．5
B ．8
C ．24
D ．29 5．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条
渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )
A 2
B 3
C ．2
D 5
7．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为
π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应
的函数为()g x ．若()24g π=，则3()(8
f π
= )
A ．2-
B ．2-
C ．2
D ．2
8．已知函数2,01,
()1,1x x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩g
剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数
解，则a 的取值范围为( )
A ．5[4，9]4
B ．5(4，9]4
C ．5(4，9]{1}4U
D ．5[4
，9]{1}4U
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．i 是虚数单位，则5||1i
i
-+的值为 ．
10．设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ．
11．曲线cos 2
x
y x =-在点(0,1)处的切线方程为 ．
12．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．
13．设0x >，0y >，24x y +=，则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为 ．
14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延
长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u r
g ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机
A
B
C D
E
F
子女教育 〇 〇 ⨯
〇 ⨯
〇 继续教育 ⨯ ⨯ 〇 ⨯
〇 〇 大病医疗 ⨯
⨯
⨯ 〇 ⨯
⨯
住房贷款利息 〇 〇 ⨯
⨯ 〇 〇 住房租金 ⨯
⨯
〇 ⨯ ⨯ ⨯
赡养老人
〇 〇 ⨯
⨯
⨯
〇
()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．
16．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求sin(2
)6
B π
+的值．
17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．
18．（13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足,
21,,
n n n c b n ⎧⎪
=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．
19．（14分）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知
3|2||(OA OB O =为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．
20．（14分）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若1
0a e
<<，
()i 证明()f x 恰有两个零点；
()i 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．
2019年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U
) A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{1-，2，3}
D ．{1，2，3，4}
【思路分析】根据集合的基本运算即可求A C I ，再求()A C B I U ； 【解析】：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈<„， 则{1A C =I ，2}，{2B =Q ，3，4}，(){1A C B ∴=I U ，2}{2⋃，3，4}{1=，2，3，4}；
故选：D ．
【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．设变量x ，y 满足约束条件20,
20,1,1,
x y x y x y +-⎧⎪-+⎪
⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】：由约束条件20,
20,1,1,
x y x y x y +-⎧⎪-+⎪
⎨-⎪⎪-⎩„………作出可行域如图：
联立1
20x x y =-⎧⎨-+=⎩
，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线
4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【思路分析】解出关于x 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
【解析】：|1|1x -<Q ，02x ∴<<，
05x <<Q 推不出02x <<，0205x x <<⇒<<，
05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即05x <<是|1|1x -<的必要不充分条件故选：
B ．
【归纳与总结】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )
A ．5
B ．8
C ．24
D ．29
【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：1i =，0s =；
第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为8， 故选：B ．
【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题
5．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果． 【解析】：由题意，可知： 22log 7log 42a =>=， 33log 8log 92b =<=，
0.20.31c =<， c b a ∴<<．
故选：A ．
【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．
6．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条
渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )
A B C ．2 D
【思路分析】推导出(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，2||b
AB a
=，||1OF =，从而2b a =，
进而
c ==，由此能求出双曲线的离心率． 【解析】：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，
l Q 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，
且||4||(AB OF O =为原点），
2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a
=，2b a ∴=，
c ∴==，
∴双曲线的离心率为c
e a
=
故选：D ．
【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
7．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为
π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应
的函数为()g x ．若()
4g π，则3()(8
f π
= )
A ．2-
B ．
C
D ．2
【思路分析】根据条件求出ϕ和ω的值，结合函数变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【解析】：()f x Q 是奇函数，0ϕ∴=， ()f x Q 的最小正周期为π， ∴2ππω
=，得2ω=，
则()sin 2f x A x =，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()sin g x A x =，
若()
4
g π
=，则()sin 442g A A ππ===2A =，
则()sin 2f x A x =，则333
()2sin(22sin 28842
f πππ=⨯==⨯=
故选：C ．
【归纳与总结】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω和ϕ的值是解决本题的关键．
8．已知函数2,01,
()1,1x x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩g
剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数
解，则a 的取值范围为( )
A ．5[4，9]4
B ．5(4，9]4
C ．5(4，9
]{1}4U
D ．5[4
，9
]{1}4U
【思路分析】分别作出()y f x =和1
4
y x =-的图象，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两
个交点，直线与1
y x
=在1x >相切，求得a 的值，结合图象可得所求范围．
【解析】：作出函数2,01,()1,1x x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩g 剟的图象，
以及直线1
4
y x =-的图象，
关于x 的方程1
()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，
即为()y f x =和1
4y x a =-+的图象有两个交点，
平移直线1
4
y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，
有两个交点，可得94a =或5
4a =，
考虑直线与1y x =在1x >相切，可得21
14
ax x -=，
由△210a =-=，解得1(1a =-舍去），
综上可得a 的范围是5[4
，9
]{1}4U ．故选：D ．
【归纳与总结】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．i 是虚数单位，则5||1i
i
-+的值为 13 ．
【思路分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算． 【解析】：由题意，可知：
2
2
5(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i -+---+===-++--，5|||23|1i
i i -∴=-=+．故答案为：
【归纳与总结】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．
10．设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2
(1,)3
- ．
【思路分析】解一元二次不等式即可．
【解析】：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有：(1)(32)0x x +-<；2
(1)()03
x x +-<；
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：2
13
x -<<；
即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2
(1,)3
-；
【归纳与总结】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
11．曲线cos 2
x
y x =-在点(0,1)处的切线方程为 220x y +-= ．
【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将0x =代入导数方程得出在点(0,1)处的
斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．
【解析】：由题意，可知：1sin 2y x '=--，011
|sin 022
x y ='=--=-Q ．
曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：1
12
y x -=-，
整理，得：220x y +-=．故答案为：220x y +-=．
【归纳与总结】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．
12．若圆柱的一个底面的圆周
经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 4
π
． 【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可． 【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于
1
2
； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，
则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==⨯=；故答案为：4
π
【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．
13．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 9
2 ．
【思路分析】利用基本不等式求最值．
【解析】：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+
； 0x >，0y >，24x y +=，
由基本不等式有：4222x y xy =+…
，02xy ∴<„，552xy …，故：559
2222
xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立），
故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92
．
【归纳与总结】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延
长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u r
g 1- ．
【思路分析】利用AD u u u r 和AB u u u r 作为基底表示向量BD u u u r 和AE u u u r
，然后计算数量积即可． 【解析】：AE BE =Q ，//AD BC ，30A ∠=︒，
∴在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=︒，
又23AB =，2AE ∴=，∴25
BE AD =-u u u r u u u r ，
Q AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，∴25
AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r
又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2()()5BD AE AB AD AB AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 227255
AB AB AD AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r g
2272||||cos 55
AB AB AD A AD =-+-u u u r u u u u u r u u u u u r u u u
r g 732125232555=-+⨯⨯⨯
-⨯1=- 故答案为：1-．
【归纳与总结】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机
A
B
C D
E
F
子女教育 〇 〇 ⨯
〇 ⨯
〇 继续教育
⨯
⨯
〇
⨯
〇
〇
()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．
【思路分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果； （Ⅱ）()i 用列举法求出基本事件数；
()ii 用列举法求出事件M 所含基本事件数以及对应的概率；
【解析】：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）()i 从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A ，}B ，{A ，}C ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ， {B ，}C ，{B ，}D ，{B ，}E ，{B ，}F ，{C ，}D ，
{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}E ，{D ，}F ，{E ，}F ，共15种； ()ii 由表格知，符合题意的所有可能结果为
{A ，}B ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ，{B ，}D ，{B ，}E ，
{B ，}F ，{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}F ，{E ，}F ，共11种，
所以，事件M 发生的概率11
()15
P M =．
【归纳与总结】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问
题，是基础题目
16．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求sin(2)6
B π
+的值．
【思路分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；
（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．
【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b c
B C
=
，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，
得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23
a
c =，由余弦定理可得
222222
416199cos 22423
a a a a c
b B a
c a a +-+-===-g g ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得215sin 1B cos B =-=，从而15sin 22sin cos B B B ==-， 227
cos2cos sin 8
B B B =-=-，
故15371357
sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ++=+=-⨯-⨯=
． 【归纳与总结】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正
余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题． 17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．
【思路分析】（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =，由BG PG =，得//GH PD ，由此能证明//GH 平面PAD ．
（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，推导出DN PC ⊥，从而DN ⊥平面PAC ，进而DN PA ⊥，再上PA CD ⊥，能证明PA ⊥平面PCD ．
（Ⅲ）连结AN ，由DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，由此能求出直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =， 又由BG PG =，得//GH PD ，
GH ⊂/Q 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ．
（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，依题意得DN PC ⊥， 又Q 平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ∴⊥平面PAC ，
又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，
又PA CD ⊥，CD DN D =I ，PA ∴⊥平面PCD ． 解：（Ⅲ）连结AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ， 知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，
PCD ∆Q 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=DN AN ⊥，
在Rt AND ∆中，3
sin DN DAN DA ∠=
=
∴直线AD 与平面PAC 3
．
【归纳与总结】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．
18．（13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足,
21,,
n n n c b n ⎧⎪
=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．
【思路分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n 项和的求解{}n a 和{}n b 的通项公式即可． （Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．
【解析】：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0． 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，0q >． 由题意可得：332q d =+①；23154q d =+② 解得：3d =，3q =，
故33(1)3n a n n =+-=，1333n n b -=⨯= （Ⅱ）数列{}n c 满足,
21,,n n n c b n ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数，
*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈
135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯+++++⋯+
23(1)
[36](6312318363)2
n n n n n -=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯
2236(13233)n n n =+⨯+⨯+⋯+⨯
令2(13233)n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯①， 则231313233n n T n +=⨯+⨯+⋯+②，
②-①得：2
3
1
233333n
n n T n +=---⋯-+1
133313n n n +-=-⨯+-1(21)332
n n +-+=
； 故222
*112222(21)36936()2
n n n n n n a c a c a c n T n N +-++++⋯+=+=∈
【归纳与总结】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n 项和的求解，考查数列求和的基
本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．
19．（14分）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知
3|2||(OA OB O =为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．
【思路分析】
2b =，再由离心率公式可得所求值；
（Ⅱ）求得2a c =
，b =，
可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3()4
y x c =+，联立椭圆方程求得P 的坐标，以及直线AP 的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切
的条件，解方程可得2c =，即可得到所求椭圆方程． 【解析】：
|2||OA OB =
2b =，
可得12
c e a ==；
（Ⅱ）b =
，1
2
c a =，即2a c =
，b =， 可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3
()4
y x c =+，
代入椭圆方程可得2276130x cx c +-=，解得x c =或137c
x =-，
代入直线PF 方程可得32
c y =或914c
y =-（舍去），可得3(,)2c P c ，
圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，可设(4,)C t ，
可得3242c t
c c
=+，解得2t =，即有(4,2)C ，可得圆的半径为2，
由直线FP 和圆C 相切的条件为d r =，
2=，解得2c =，
可得4a =
，b =22
11612
x y +=．
【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：d r =，考查化简运算能力，属于中档题． 20．（14分）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a „，讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若1
0a e
<<，
()i 证明()f x 恰有两个零点；
()i 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．
【思路分析】211()()[(1)]x x x
ax e I f x ae a x e x x
-'=-+-=，(0,)x ∈+∞．0a „时，()0f x '>，
即可得出函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调性．
()()II i 由()I 可知：21()x ax e f x x -'=
，(0,)x ∈+∞．令2()1x g x ax e =-，1
0a e <<Q ，可知：可得()g x 存在唯一解01
(1,)x ln a
∈．可得0x 是函数()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，
可得1x >时，1lnx x <-．1
()0f ln a
<．0()f x f >（1）0=．可得函数()f x 在0(x ，)+∞上
存在唯一零点1．
()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0
20
1x ax e =，111(1)x lnx a x e =-，可得10
20111
x x x lnx e x -=-，由1x >，可得1lnx x <-．又101x x >>，可得10
220101(1)1
x x x x e
x x --<=-，取对数即可证明．
【解答】()I 解：211()[(1)]x x x
ax e f x ae a x e x x
-'=-+-=，(0,)x ∈+∞．
0a „时，()0f x '>，
∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．
()II 证明：()i 由()I 可知：21()x
ax e f x x
-'=
，(0,)x ∈+∞． 令2()1x g x ax e =-，1
0a e
<<Q ，
可知：()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，又g （1）10ae =->． 且221111
()1()1()0g ln a ln ln a a a a
=-=-<g ，
()g x ∴存在唯一解01
(1,)x ln a
∈．
即函数()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞单调递减．
0x ∴是函数()f x 的唯一极值点．
令()1h x lnx x =-+，(0)x >，1()x
h x x
-'=
， 可得()h x h „（1）0=，1x ∴>时，1lnx x <-．
111111
()()(1)()(1)0ln a f ln ln ln a ln e ln ln ln a a a a a
=--=--<．
0()f x f >Q （1）0=．
∴函数()f x 在0(x ，)+∞上存在唯一零点1．因此函数()f x 恰有两个零点；
()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0
201x ax e =，111(1)x lnx a x e =-， 1011201x x x lnx e
x --∴=，即10
2
011
1x x x lnx e x -=-， 1x >Q ，可得1lnx x <-．
又101x x >>，故10
2
20101(1)1
x x x x e
x x --<=-，取对数可得：100022(1)x x lnx x -<<-，
化为：0132x x ->．
【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。