第四章 数理方法 留数定理

i Res f (2i ) 8
dz 例3，计算： z 1 z 2 2 z (0 1) 1 解： 记 f ( z ) 2 z 2 z
★令函数分母为零，得
数学物理方法
z1 z 1 1
2
1 1
2

1 1
2
1 2 1 i lim 3 z 0 2! 8i 8 ( z 2i)
1 1 i ( z 2i) f ( z ) lim 3 （2） lim z 2i z 2i z 8i 8
i Res f (0) 8
z 2i 是 f ( z ) 的单极点，其留数为


dz 2 i Res f ( z1 ) 2 z 1 z 2 z 1 i 2 i 2 1 2 1 2
1 1 i lim 方法1： Res f ( z1 ) zlim 2 2 z0 ( z 2 z ) z z0 2 z 2 2 1
方法2：
数学物理方法
dz 2 i Res f ( z1 ) 2 z 1 z 2 z 1 2 i lim[( z z1 ) ] z z1 ( z z1 )( z z2 ) 1 2 i lim[ ] z z1 ( z z ) 2 2 i 1
★在有限远的极点有 z 0 ， z 2i
1 i lim z f ( z ) lim z 0 z 0 z 2i 2
3
z 0 是 f ( z ) 3 阶极点，其留数为： （ 1）
数学物理方法
2 1 d 1 1 d 3 lim 2 Res f (0) lim 2 z f ( z ) 2! z 0 dz 2! z 0 dz z 2i
1、将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线
★如图4.4所示，作实轴到复平面的变换， [ a,变换成复平面 b] 将实轴上的区间 的一条闭曲线 ，从而把实函数定积分 l 转换为复变函数的回路积分。 a y b z=φ( t ) t
l
x

b a
f (t )dt f ( ( z ))
z ( x ) 1 l
★即，如果 am 0 ， z0是f (z)的m阶极点！ ★但是， f (z) 在z0是的留数是 a1 。而a1是函数
( z z0 ) f ( z) 的在z0泰勒级数 ( z z0 )
m
m1
的系数am1 。
k
★又因为泰勒级数 系数可以表示为
1 (k ) 1 d ak f ( z0 ) f ( z) k k! k ! dz zz
z0
l0 l
1 Re sf (z 0 ) 2 i

C
f (z) dz （逆时针）
图4.1
★留数的数学意义： f (z)在z0点的留数等于在 环域内f (z)洛朗级数负一次幂的系数 a1。
数学物理方法
3、留数定理
如图4.2所示，设f (z)在闭曲线上解析，在l所围的区域内 除有限个孤立奇点b1、b2、b3…bn外，无其它奇点，则:
k
k a ( z z ) k 0 由P25的柯西定理

数学物理方法
★得

l
f ( z )dz

l0
f ( z )dz
k
k
k a ( z z ) k 0 dz l0
l0 z0 l
★又由P28的柯西积分得
k k -1 a ( z z ) dz a ( z z ) dz 2 ia1 k 0 1 0 l0 l0
dz
( 1 ( z ))
图4.4
数学物理方法
2、在复平面上再补上一段曲线，使成为闭合回路
★如图4.5所示，把 x 轴崁入复平面中成 为平面的实轴，把函数 f ( x) 延拓到复平 面，得复变函数 f ( z ) ，在复平面上再补 上一段曲线 l 2 ，使 abl2 a 成为闭合回路， 闭合回路的积分用留数定理计算，而曲 l2 线 段的路径积分较容易求得 （通常为0）。
l
∞

l
f ( z )dz
( a z
l k k

k
)dz
图4.3 绕行走点 在左手侧正方向
a1 2、函数在无穷远点留数：
k
数学物理方法
★设函数在无穷远点∞上解析，在l 所围的区域 内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则:

l
f ( z )dz
( ak z dz )
m2
....
m 1
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 )
m z z0 z z0
a1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 ) m 1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
2 2
1 1 2 z1 1 1 2 z2
1 1 1 1 ( ) 1 i 2 i 2 1 2 1 2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分
数学物理方法
一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
z n
lim f ( z )
★这些极点为单极点，其留数为
Res f (n ) (1)
n
数学物理方法
( z 2i) 例2，确定函数 f ( z ) 5 3 在 ( z 4z )
有限远的极点，并求函数在这些极点的留数。
( z 2i) z 2i 1 解： f ( z ) z 3 ( z 2 4) z 3 ( z 2i)(z 2i) z 3 ( z 2i)
1、留数的来历—— 始于f (z)的奇点 ★柯西定理的含义 逆时针→

l
f ( z )dz 0

l
f ( z )dz

l0
f ( z )dz ←逆时针
z0
l0 l
★内、外境界线逆时针积分相等。 ★如果
f ( z)
k


ak ( z z0 ) k
图4.1
★如果 f ( z )
k
★即，由P28的柯西积分得
图4.1
-1 l0

l
f ( z )dz

l
f ( z )dz a1 ( z z0 ) dz 2 ia1
★即得孤立奇 点z0的留数，

l
f ( z)dz 2 ia1 2 i(留数)
数学物理方法
2、留数的定义
设z0是f (z) 包围在闭曲线内的孤 立奇点，且不包含的另外奇点，则 在点的留数（Residue）定义为 （如图4.1所示）
0
数学物理方法
k 1 1 d ★ f (z)泰勒级数的 ak f ( k ) ( z0 ) f ( z) k k! k ! dz 系数可以表示为 z z0
m ( z z ) ★ 0 f ( z) 泰勒级数的(m-1)项的系数可以表示为
1 d m1 am1 lim m1 [( z z0 )m f ( z )]z z0 (m 1)! z z0 dz

l
f ( z )dz 2 i Res f (b j ) （逆时针）
j 1
n
l
★留数定理给出回路积分 等于被积函数在回路所 围各奇点的留数之和。
bn b1
b3
b2 图4.2
数学物理方法
二、函数在无穷远点的留数
1、无穷远点留数的定义 ★如果 z 0 是 f ( z )的奇点，则定义函数在无限远 点的邻域的洛朗级数的负一次幂的系数 a1 的相反数 为函数 f ( z ) 在无限远点的留数。 ★如果函数 f ( z ) 在点的邻 域内 R z 解析，是该邻 l 域内的一条简单闭曲线（为 顺时针，绕行走，点在左手 侧），如图4.3所示，则：
k k
（顺时针）
★除k= —1一项之外，其余各项均为零，则:

★
l
f ( z)dz 2 ia1 2 i(a1 ) 2 i Res f ()
a1 被定义f ( z) 为在无穷远点的留数 Res f ()
3、函数在全平面的留数之和等于零
0

l
f ( z )dz f ( z )dz 2 i[ Res f (bk ) Res f ()]
m ( z z ) ★ 0 f ( z) 泰勒级数的(m-1)项的系数恰好是
f ( z ) 泰勒级数的-1项的系数，即 f ( z ) 在z0的留数 。
1 d m1 Res f ( z0 ) lim m1 [(z z0 )m f (z )] a1 ★因此， (m 1)! z z0 dz
( z z0 )m f ( z) 的在z0泰勒级数为
z z0 z z0
数学物理方法
a1 ( z z0 ) m1
lim[( z z0 ) m f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 ) m 1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2
( z z0 ) m f ( z ) a m a m1 ( z z0 ) a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
m
a1 ( z z0 ) m1
m 1
a2 ( z z0 )
2

z2

1 1 2 1 1 2 1 (1 )(1 ) 1 (1 ) z1 1
数学物理方法
★极点 z1 在 ★极点
z 1 内部。
1 z2 1 z1
z 1 在外部。
★只需要求 z1 点的留数，应用留数定理
l k 1
n
数学物理方法
三、单极点处留数的计算
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
zΒιβλιοθήκη Baidu z0
a1 2 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) .... z z0
( z z0 ) f ( z) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) ....
数学物理方法
2、设z0是f (z)的m阶极点，则，
1 d m1 m Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) f ( z )] (m 1)! z z0 dz
a m a m 1 f ( z) m m 1 ( z z0 ) ( z z0 ) a1 z z0
数学物理方法
(第四版)
物 学 上 理 数 海 系 理 范 学 师 院 大
梁昆淼编
高等教育出版社
主讲：冯 杰
数学物理方法
第一篇 复变函数论
第四章
§4.1 留数定理
§ 4.2
留数定理
应用留数定理计算实变函数定积分
计算定积分的补充例题
*§ 4.3
数学物理方法 第四章 留数定理 §4.1 留数定理
一、留数与留数定理
四、举例
数学物理方法
1 例1，确定函数 f ( z ) sin z 在有限远的 极点。求出函数在这些极点的留数。
解

★函数存在有限远的极点：
z0 n 1 z n lim ( z n ) lim z n sin z z n sin z 1 1 n lim (1) a m n z n cos z (1)
2 3
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )2 ] a1
z z0
数学物理方法
方法2：
★如果
P( z ) f ( z) Q( z )
★由求极限的洛比达法则，得
P( z ) P( z ) Res f ( z0 ) lim( z z0 ) a1 z z0 Q ( z ) Q ( z0 )