留数定理
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留数定理
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在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。
它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
[1]中文名留数定理外文名Residue theorem别称柯西留数定理应用学科工程学、数学适用领域范围工学相关术语解析函数目录1 定律定义2 推导过程3 相关术语定律定义编辑假设U是复平面上的一个单连通开子集，，是复平面上有限个点，是定义在U\{ }的全纯函数。
如果γ是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：如果γ是若尔当曲线，那么I(γ,ak)=1, 因此：在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak 的卷绕数[2] 。
卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。
如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。
推导过程编辑以下的积分在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。
我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。
取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。
路径积分为：由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。
由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。
这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
由于f(z)是f(z)在z = i的留数是：根据留数定理，我们有：路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：因此如果t> 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：因此，如果t> 0，那么：类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t< 0，则因此我们有：（如果t= 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。
04_留数定理
+∞
推导
∫
+∞
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+∞ −∞
例：计算 I = ∫
+∞
1 dx （n为正整数） 2 n (1 + x )
黑板
此时，如果f(z)在实轴上存在有限个单极点，则 推导
∫
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+πi{f(z)在实轴上所有奇点的留数之和} 黑板
∑ Res f ( z ) + Res f (∞) = 0
k =1 k
n
1. lim f ( z ) = 0 a Res f (∞) = − lim[ z ⋅ f ( z )] z →∞ z →∞ 1 1 2. lim f ( z ) ≠ 0 a Res．f (∞) = − Res[ f ( ) 2 , 0] z →∞ z z
课堂练习：
∫
| z|= 2
ze z z eZ z − sin z f ( z ) d z; f ( z ) = 2 , 4 , , 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1) z6
设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域R<|z|<+∞内 解析，则定义函数f(z)在z=∞处的留数为 1 Res f (∞) = ∫L f ( z )dz 2πi 其中L: 积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点 的区域的正方向）.如果f(z)在z=∞的去心邻域R<|z|<+∞内 的洛朗级数为
1 d m −1 (3) Res f ( z0 ) = lim m −1 [( z − z0 ) m f ( z )] (m − 1)! z → z0 d z
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m
当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
第一节留数定理 优质课件
第四章 留数定理
第1节 第2节
第3节
留数定理 应用留数定理计 算实变函数定积分 计算定积分补充例题
1
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个
=
lim ( z
zz0
-
z0
)
P(z0 Q(z0
) )
=
P(z0 ) Q' (z0 )
例
Re
s
z
ze z 2-
1
,-1
lim z
z-1
1
z
ze z 2-
1
ze z
lim z-1
2z
e -1 2
Re
s
z
ze z 2-
1
,1
(1)+(2)可得
0 2if z在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无留数的计算方法
（一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0
（二） 极点的留数
1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点Z0 时
( z - z )
f (z)=
ak
k -
k
0
Cauchy 定理知： f (z)dz = f (z)dz
l
l0
又Q
1
2i
第1节 第2节
第3节
留数定理 应用留数定理计 算实变函数定积分 计算定积分补充例题
1
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个
=
lim ( z
zz0
-
z0
)
P(z0 Q(z0
) )
=
P(z0 ) Q' (z0 )
例
Re
s
z
ze z 2-
1
,-1
lim z
z-1
1
z
ze z 2-
1
ze z
lim z-1
2z
e -1 2
Re
s
z
ze z 2-
1
,1
(1)+(2)可得
0 2if z在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无留数的计算方法
（一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0
（二） 极点的留数
1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点Z0 时
( z - z )
f (z)=
ak
k -
k
0
Cauchy 定理知： f (z)dz = f (z)dz
l
l0
又Q
1
2i
第四章 留数定理
( z z0 ) P ( z ) P( z ) ★因为 f ( z0 ) lim( z z0 ) lim z z0 Q( z ) z z0 Q( z )
★肯定是0/0型！为什么？
2、设z0是f (z)的m阶极点，则，
1 d Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
2
1 2 1 i lim 3 2! z 0 ( z 2i ) 8i 8
i Res f (0) 8
1 1 i （2） limi ( z 2i) f ( z ) limi 3 z 2 z 2 z 8i 8 z 2i 是 f (z ) 的单极点，其留数为
m 2
....
m 1
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 )m1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
1 1 2 z1 1 1 2 z2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分 一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法1：将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线
n
3、函数在全平面的留数之和等于零——为什么？
0 f ( z )dz f ( z )dz 2 i[ Res f (bk ) Res f ()]
l l k 1
三、单极点处留数的计算P52
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
l j 1 j
★肯定是0/0型！为什么？
2、设z0是f (z)的m阶极点，则，
1 d Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
2
1 2 1 i lim 3 2! z 0 ( z 2i ) 8i 8
i Res f (0) 8
1 1 i （2） limi ( z 2i) f ( z ) limi 3 z 2 z 2 z 8i 8 z 2i 是 f (z ) 的单极点，其留数为
m 2
....
m 1
lim[( z z0 ) f ( z )] lim[a m a m1 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
a0 ( z z0 )m a1 ( z z0 )m1 a2 ( z z0 ) m 2 ....] a m
1 1 2 z1 1 1 2 z2
§4.2 应用留数定理计算实变 函数定积分 一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分
方法1：将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线
n
3、函数在全平面的留数之和等于零——为什么？
0 f ( z )dz f ( z )dz 2 i[ Res f (bk ) Res f ()]
l l k 1
三、单极点处留数的计算P52
1、单极点的留数 方法1：
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
l j 1 j
第四章 留数定理及其应用
对复变函数dzia定理41多个奇点的留数定理内的有限个奇点外均解析则复连通区域柯西积分定理单奇点留数定理由留数定理泰勒展开可反推出柯西积分公式和解析函数的无穷可导公式可以看作是留数定理的变形
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
留数定理
∫
因此
l
f ( z )dz +
m
∫
k
l
f ( z )dz = 2π i[∑ Re sf (bk ) + Resf (∞ )]
k=1
m
∑ Re sf (b ) + Re sf (∞ ) = 0
k=1
在某一奇点上留数不好求， 若f (z)在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留 在某一奇点上留数不好求 再用留数和定理求出该点的留数. 数，再用留数和定理求出该点的留数
k
∞
两边同乘以z-b， 两边同乘以 ，得：
( z − b ) f ( z ) = a−1 + a0 ( z − b ) + a1 ( z − b )2 + a2 ( z − b)3 + ⋅ ⋅ ⋅.
令z→b，得：Re sf (b ) = a−1 = lim[( z − b ) f ( z )]. → ， z→b 写成： 写成： Res f ( b ) = [( z − b ) f ( z )] z = b .
bk lk
b1
bm
b2 lm
∫
l
f ( z )dz =
∫
l1
f ( z )dz +
∫
l2
f ( z )dz + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( z )dz
lm
l1 l2
l
= 2π i Re sf (b1 ) + 2π i Re sf (b2 ) + ⋅ ⋅ ⋅2π i Re sf (bm )
= 2π i ∑ Re s f (bk )
k =1 m
沿闭曲线l逆时针方向积分之值 即f (z)沿闭曲线 逆时针方向积分之值，等于 (z)在l所包围 沿闭曲线 逆时针方向积分之值，等于f 在 所包围 的区域内各奇点的留数之和乘于2π 的区域内各奇点的留数之和乘于 πi.
第四篇留数定理
数值积分
留数定理也可用于提高数值积分的精度 和收敛速度。通过分析被积函数的奇点 并计算留数,可以优化数值积分算法并 得到更准确的结果。
留数定理在电路分析中的应用
频域分析
留数定理可用于求解复变函数 在极点附近的积分,从而分析 电路中的频域特性,如振荡频 率、带宽等。
极点和零点分析
留数定理可用于确定电路系统 的极点和零点,从而预测系统 的动态特性和稳定性。
统中复杂的数学模型,分析 系统的安全性和稳定性。
。
3 抗攻击设计
4 信号处理应用
利用留数定理的特性,可以 设计出更加抗攻击的密码学
留数定理在数字信号处理中 的应用,可用于加解密数字
算法和协议。
信号的分析和处理。
留数定理在神经网络中的应用
系统参数分析
通过运用留数定理,可以分 析动力系统对参数的敏感 性,从而优化系统的性能和 稳定性。这在工程设计中 有广泛应用。
混沌理论研究
留数定理为动力系统混沌 行为的研究提供了理论基 础,有助于更好地理解和预 测复杂非线性系统的行为 。
留数定理在量子计算中的应用
量子位编码
留数定理在确定量子位编码时发挥重要作用,用于分析复杂的量子态波函数。
留数定理在代数几何中的应用
曲线积分计算
留数定理可用于计算复平面上闭合 曲线的复积分,在代数几何中广泛应 用于求解各种代数曲线的面积、长 度等几何量。
奇点分析
利用留数定理可以确定代数曲线上 的奇点位置和性质,有助于描述代数 曲线的几何特性。
复平面映射
留数定理可应用于研究复平面上的 解析函数对域的映射,在代数几何中 具有重要的理论意义。
留数定理在微分几何中的应用
1 曲面拓扑
2 曲率计算
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5! z0
5!
[方法三] 用洛朗展开式求c-1就比较方便，因为
z
- sin z6
z
1 z6
z
-
z
-
1 z3 3!
1 z5 5!
-
1 3!z3
-
1 5!z
.
所以
Res
z
- sin z6
z
,
0
c-1
-
1 5!
考虑：多值函数的留数计算。
四、无穷远点的留数及计算方法
1. 定义： 设函数f (z)在圆环域R<|z|<内解析，C为 圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分
3）如果z0是f (z)的极点, 则可以利用以下的规则：
（极点留数的计算规则）
规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[
f
(z),
z0
]
lim (z
zz0
-
z0
)
f
(z)
规则2 如果z0为f (z)的m级极点， 则
Res[
f
(z),
z0 ]
1 (m -1)!
lim
zz0
d m-1 d z m-1
[( z
-
z0 )m
f
(z)]
规则3
设 f (z) P(z)
Q(z)
,
P(z)及Q(z)在z0都解析, 如
果P(z0)0, Q(z0)=0, Q’(z0)0, 则z0为f(z)的一级极
点, 且
Res[
f
( z ),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
注意规则3的应用条件
例1:
Res[
1
-
cos z2
Res[f
(z),0] limz z 0
ez z(z -1)2
lim
z0
(z
ez -1)2
1.
Res[
f
( z ),1]
1 lim (2 -1)! z1
d dz
(z
-1)2
ez z(z -1)2
lim
z 1
d dz
ez z
lim
z 1
ez
(z -1) z2
0.
所以
C
ez z(z -1)3
d
f
(1) z
1 z2
,0
此结论请同学们课后自行证明。
例 设f(z)=z5/(1+z6), 求z=∞的留数
解：（方法一）由于f (z)在1<|z|<+内解析，所以
f
(z)
1
z5 z
6
11
z
1
1 z
1 z
n0
-1n
1 z
n
1 z
n1
-1n
1 z
n1
z=∞是可去奇点， z=∞的留数为
zk
](k
1,2,, n)
即 f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立 奇点留数的局部问题。
讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理 的关系如何？
n
f (z) d z 2 π i Res[ f (z), zk ]
dz=ieiθdθ, dθ=dz/iz
sin 1 (ei - e-i ) z2 -1
2i
2iz
cos 1 (ei e-i ) z2 1
2
2z
0
2
i
-1 0
1
-i
从而，积分化为沿正向单位圆周的积分：
z2 1
R z 1
2z
,
z2 -1
2iz
dz iz
f
z 1
(z)dz
n
2i Res f
[证] 把在C内的孤立奇点 zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简 单闭曲线Ck围绕起来, 则根据多连 通域的柯西积分定理有
f (z)d z f (z)d z f (z)d z f (z)d z
C
C1
C2
Cn
根据留数的定义，有
1
2πi
Ck
f
(z) d
n
z
Res[
f
( z ),
[解]
由于 f (z)
zez z2 -
有两个一级极点+1,-1, 1
而这两个极点都在圆周|z|=2 内, 所以
C
zez z2 -
1
dz
2i{Res[ f
(z),1] Res[
f
(z), -1]}
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim( z
z1
- 1)
z ez z2 -1
lim
z1Leabharlann z ez z 1cn
zn
则 Res[ f (z), ] 1 f (z) d z
2i C-
1
2i
[ cn zn ]d
C - n-
z
-c-1
即 f (z)在点的留数等于函数f (z)在点的罗朗级数中
z-1项的系数c-1的变号。
注意：有限可去奇点的留数为0，z=∞既便是f (z)的可
去奇点，f (z)在z=∞的留数也未必是0，为什么？
的系数c-m，c-m+1，…中可能有一个或几个等于零, 显然 规则2的公式仍然有效。
一般说来, 在应用规则2时, 为了计算方便不要将 m取得比实际的级数高。
例6：计算f
(z)
P(z) Q(z)
z
- sin z6
z
在z=0处的留数.
[方法一]、首先应定出极点z=0的级数。由于
P(0) (z - sin z) |z0 0, P(0) (1- cos z) |z0 0, P(0) sin z |z0 0, P(0) cos z |z0 1 0.
z
,0]
0
例2:
计算
z1
Res[e z ,0]
1- cos
lim
z0
z2
z
1 2
z=0是本性奇点
z1
ez
1
z
1 z2 2!
1
1 z
1 2!z 2
1 1
n0 n!(n 1)! z
z 1
Res[e z ,0]
1
n0 n!(n 1)!
例 3
计算积分
C
zez z2 -
1
dz
,
C
为正向圆周|z|=2.
1
2π i f (z) d z C-
称其为f (z)在点的留数，记作
Res[ f (z), ] 1 f (z) d z
2i C-
这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然 地可以看作是围绕无穷远点的正向。
将 f (z)在 R<|z|<+∞内的罗朗展式为
f
(z)
c-n zn
c-1 z
c0
c1z
| z ez
e -1
Res[ f (z),-1]
.
2z z-1 2
这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。
例4
计算积分
C
z z4 -1
d
z
,
C
为正向圆周|z|=2.
[解]
被积函数 f (z)
z
4
z -
有四个一级极点1,i 1
都
在圆周|z|=2 内, 所以
C
z z4 -1d
z
2 π i{Res[
一、 留数的定义
定义 若f (z)在去心邻域 0 z - z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z - z0内 包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z) d
z
为函数f (z)在z0的留数(Residue)，记作 Res[f (z),z0] 。
即
Res[
曲线C的积分
f (z)d z
C
一般就不等于零。
思考：积分等于多少?
[思路一] 将f (z)在此邻域内展开为罗朗级数
f (z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...
后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c-1 (z-z0)-1的 一项等于2ic-1外， 其余各项积分都等于零，所以
[方法二]、但把 m 取得比实际的级数高反而使计算方便。尽
管
z=0
是函数
z
- sin z6
z
的三级极点,
如果认为是六级极点，计
算在 z=0 处的留数, 而更加简便。
Res
z
- sin z6
z
, 0
(6
1 lim
-1)! z0
d5 dz5
z
6
z
- sin z6
z
1 lim(-cos z) - 1 .
f (z) d z 2π ic-1.
C
1
f (z)
[思路二] 由罗朗级数系数公式 cn 2 π i C (z - z0 )n1 d z
若令n=-1, 得
c-1
1
2i
C
f
(z) d
z
或
f (z) d z 2ic-1
C
结论：从上面的讨论可知, 积分的计算可转化为求被积