4.2应用留数定理计算实变函数积分
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算实变函数定积分留数定理是复变函数中的一个重要定理，用于计算围道中的奇点处的留数（residue），并应用于计算复变函数的积分。
但是，在实变函数中，我们也可以将留数定理应用于特定的情况下，来计算实变函数的定积分。
留数定理的基本思想是将实变函数扩展为复变函数，然后计算复变函数在久里斯曼圆中的奇点处的留数，最后应用留数定理将奇点的贡献转化为整个久里斯曼圆的贡献，从而得到实变函数的定积分。
下面我们将介绍如何应用留数定理计算实变函数的定积分。
首先，我们考虑一个一元实变函数f(x)，我们希望计算其在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx。
为了将实变函数扩展为复变函数，我们可以将f(x)视为复变函数在实轴上的取值，即f(z) = f(x)，其中z = x+iy为复平面上的复数，x为实数，y为虚数。
接下来，我们将实变函数扩展为复变函数的方法是引入一个收敛的复函数F(z)，并构造一个包含[x_1,x_2]区间的有限大小圆C的闭合曲线Γ，该圆C不包含[x_1,x_2]区间上的任何奇点。
然后，我们计算复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数。
根据留数定理，F(z)在C中的奇点处的留数之和等于C中的奇点数目与围道曲线Γ绕过奇点的次数的乘积。
由于圆C的半径是有限的，其包含的奇点数量是有限的。
因此，F(z)在C中的奇点处的留数之和是有限的。
然后，我们利用留数定理的一个推论，即围道曲线Γ上的积分等于复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数之和。
具体而言，我们有∫Γ F(z) dz = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。
最后，我们将上述等式中的围道曲线Γ替换为两条直线的组合，一条是[x_1,x_2]区间上的水平线段，另一条是连接x_1和x_2的垂直线段。
这样，我们得到了实变函数f(x)在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。
应用留数定理计算实变函数定积分
0
F x cos mxdx i F z eimz 在上半平面所有奇点的留数之和
解:本例中 F z eimz
eimz 2 有两个单极点 ai， 2 z a
其中+ai在上半平面，而
F z eimz eimz 2 在单极点 ai的留数为 2 z a
eimz e am lim z ai z ai z ai z ai 2ai 应用 4.2.9
利用(4.2.6)得
1
dx 1 1 x 2 2i 2i
dx 1 x 2 darctgx
例4 计算
1 x
dx
2 n
n为正整数。
1
2 n
解：本例 f z
1 z
z i n z i n
zeimz
2
a
2 2
有两二阶极点 ai，
其中+ai在上半平面，而 Gz eimz
z
zeimz
2
a
2 2
在 ai的留数为
imz m ma 1 d ze 2 lim z ai 2 e 2 2 z ai 1 ! dz z a 4a
§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
柯西公式和留数定理解决的是沿着闭合回路积分的问题：
柯西公式
1 f f z d . 2i l z
f
n
n! z 2 i
z
l
f
n 1
d
留数定理
f z dz 2i Re sf b 4.1.5
42留用留数定理计算实变函数定积分
42留用留数定理计算实变函数定积分假设我们要计算实变函数f(x)的定积分∫abf(x)dx，我们可以将其表示为复变函数在实轴上的延拓。
具体来说，我们将f(x)定义为实轴上的复变函数f(z)，其中z=x+0i。
这样，我们就可以将实变函数的定积分转化为复变函数的积分。
然后，我们需要确定函数f(z)的奇点及其类型。
对于实变函数来说，奇点一般包括不连续点（包括可去奇点、跳跃奇点和极性奇点）以及无穷远点。
我们只需要关注有限个奇点，因为无穷远点的留数为零。
对于可去奇点，我们可以将其用幂级数展开，并去除它的主部。
这样，我们得到的复变函数在该奇点周围的展开式与原函数f(z)相同，但是去除了主部项。
对于跳跃奇点，我们可以将其用Laurent级数展开。
Laurent级数包括正幂级数和负幂级数两部分。
我们可以将原函数f(z)分解为这两部分，然后计算每一部分的积分。
对于极性奇点，我们可以将其用Laurent级数展开，并利用留数定理计算主要项的留数。
主要项是Laurent级数中的负幂级数部分，它的系数就是该奇点的留数。
我们将主要项的负幂级数部分的系数与2πi相乘，就得到了该奇点的留数。
最后，我们利用留数定理，将函数f(z)在所有有限奇点上的留数相加，再加上无穷远点的留数，就得到了定积分的值。
留数定理可以表示为以下公式：∮f(z)dz = 2πi(Res[f,a1] + Res[f,a2] + ... + Res[f,an] +Res[f,∞])其中An是函数f(z)在复平面上的所有奇点，Res[f,ai]表示函数f(z)在ai处的留数。
综上所述，利用留数定理可以计算实变函数的定积分。
只需要将实变函数表示为复变函数的形式，并确定复变函数的奇点类型，然后根据所得的展开式计算留数，最后将留数相加即可得到定积分的值。
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰Ñ；3）()l f z dz ⎰Ñ可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰Ñ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰图1()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰Ñ根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰Ñ取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰ 解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有图310=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =⎰Ñ 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+/4222222i RRiz Reiz izC C z Redz e dz e iziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）2222sin 2cos 2sin 22222222R RRiz R iR R i i C C C eeedz Re id Rd iz iR eRϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 图4所以21(1)08I iI iπ+-+=即18Iπ=，28Iπ=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co0)s(,axe bx bdx a∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写221cos2ax ax ibxe bxdx e e dx∞∞---∞=⎰⎰取如图所示回路，由于矩形区域内函数2ax ibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzle dz-+=⎰Ñ即2222234N ax ibx az ibz az ibz az ibzN l l le dx e dz e dz e dz-+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰当N→∞时，2222234ax ibx az ibz az ibz az ibzl l le dx e dz e dz e dz∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxe dx∞-+-∞⎰所以，2cosaxe bxdx∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。
应用留数定理计算实变函数定积分
dx
=
πi⋅
1 e −ma 2a i
=
π 2a
e −ma
.
作业：P.81：1(1)，(5)； 2(1)，(2)，(4)，(6)； 3(3)，(4)，(5)，(6)；
0
严格证明包括“约当引理”的证明（略）.简单说明如下：
(4.2.3) (4.2.4)
*简单说明如下：
1. 用 cos mx = 1 (eimx + e−imx ) ， 2
可推出
∫ ∫ ∞
F (x) cos mxdx
=
1
∞
F (x)eimxdx
；
0
2 −∞
类似有
∫ ∫ ∞
G(x)sin mxdx =
1
iz
2
i2
(4.2.1)
x 从 0→2π对应 z = 1逆时针一周的回路．
∫2π
例题 1[书例]： 计算 I =
dx
0 1 + ε cos x
(0 < ε < 1) ．
解：按(4.2.1)
dz
∫ ∫ I =
iz
z
=1
1
+
ε
z
+
z
−1
=
2 i
dz z =1 εz 2 + 2z + ε
2
上式最后一个积分上节已用留数定理算出为 i π . 1− ε2
423
复变函数讲稿
解： 1 eimz =
1
eimz 具有两个单极点±a i ，设 m > 0，a > 0 其中
z2 + a2
(z − ai)(z + ai)
a i 在上半平面，留数为 Re s f (ai) = lim eimz = 1 e−ma ， z→ai z + ai 2a i
第四章 留数定理chen
1 其中( z − z0 )−1 = 的系数a −1 = 0 z
z −2 k =∑ k =0 k !
∞
( | z |> 0 )
Res f (0) = 0
留数的计算
【例4】求出函数 f ( z ) = 【解】函数f ( z ) = z 1 − sin2 z 2
z 1 − sin2 z 2
在 | z |< 2的奇点及在各奇点的留数。
( z − z0 ) m f ( z ) = a − m + a − m + 1 ( z − z0 ) + L + a−1 ( z − z0 )m −1 + a0 ( z − z0 )m + a1 ( z − z0 )m + 1 + L ∴ lim( z − z0 )m f ( z ) = a− m
上式右边的 积分仅当 k = −1 时不为 零
k =−∞
∑a ∫
k
l0
∞
l0
( z − z0 ) dz
k
f ( z )dz = a−1 ∫
1 2π i
∫
l
1 dz = 1，（l 包围α） z −α
1 dz z − z0
∫
l
1 dz = 2π i z − z0
∫
【留数】Laurent级数中 ( z − z0 )−1 的系数 a−1 称为函数 在 z0 点的留数(残数)，通常记作 Res f ( z0 )。
f (z) =
在Laurent级数的收敛环里任取一个 紧 紧 包 围 着 z0 的 小 回 路 l 0
k =−∞
∑
∞
a k ( z − z0 ) k
l0
4.2应用留数定理计算实变函数积分
Im zk 0
数学物理方法
特别地，若对应的实函数 f (x) 为偶函数时，有
f (x) cos ax d x πi
0
Res[F (z), zk ] （4.2.4）
Im zk 0
若对应的实函数 f (x) 为奇函数时，有
f (x)sin ax d x π
0
Res[F(z), zk ] （4.2.5）
z 1的正向绕一周，所以有
2π
R(cos ,sin ) d
z z1 z z1 1
R(
,
) dz
0
C
2
2i iz
当有理函数 f (z) R( z z1 , z z1 ) 1 在圆周 C ： z 1 的
2
2i iz
内部有 n 个孤立奇点 zk (k 1, 2,, n) 时，则由留数定理有
f (z)eiaz d z 2πi C
Res[ f (z)eiaz , zk ]
Im zk 0
即
R f (x)eiax d x R
CR
f (z)eiaz d z 2πi Res[ f (z)eiaz , zk ]
Im zk 0
数学物理方法
因为 f (x) 的分母多项式次数至少比分子多项式次数高一次，所以， lim f (z) 0 ，由约当引理知
则 d z Riei d ，于是
f (z)dz π f (Rei )Riei d
CR
0
又因为 Q(z) 的次数比 P(z) 的次数高两次，所以
lim zf (z) lim zP(z) 0
z
z Q(z)
因此，对于任给的 0 ，当 z R 充分大时，有
zf (z) f (Rei )Riei
留数在计算实变函数积分中的应用
留数在计算实变函数积分中的应用作者：张君一来源：《新课程·教师》2013年第07期摘要：留数是复变函数中的重要定理，留数定理在复变函数中的应用相当广泛。
不仅仅是在复变函数中，在实变函数中，留数也起着非常重要的作用。
将实变函数的积分转化为复变函数的积分，再利用留数进行计算，可以计算出一些难以计算的定积分或者不定积分。
关键词：留数；复变函数；实变函数在数学分析以及一些实际问题中，常常要计算一些定积分或者不定积分的值，而一些被积函数的原函数往往难以求出，或是不能用初等函数表示出来，一些原函数虽然能够求出，却非常复杂。
然而在实际应用中，常常需要将复杂的积分计算出来才能继续研究。
例如，光学中需要计算的菲涅尔积分、阻尼震动中需要计算的积分等，这些积分的值都具有重要的意义，但是根据牛顿—莱布尼兹公式难以计算出它们的值。
此时，可以利用复变函数中的留数进行计算。
根据复变函数中的留数定理，要计算某些定积分或不定积分，只需计算出一些解析函数在孤立点的留数，由于留数的计算较为简便，这就把问题大大简化了。
现阶段尚没有利用留数计算定积分或不定积分的一般方法，但在一些特殊情况下，根据被积函数本身的一些特性，可以总结出一定的计算规律。
下面研究几种特殊形式的实变函数利用留数进行计算的方法。
（1）积分形如I=■R（sint，cost）dt，在半径为1的圆上，分母不等于0。
此种情况一般做圆，再将x和y转化为关于参数t的形式，将原实变函数的积分转化为复变函数的积分，再根据复变函数的留数进行计算。
例1.计算积分I=■■，其中常数a>1解：根据积分区域可知，令eit=z，实变函数的积分转化为了复变函数的积分，要计算此复变函数的积分，只需计算被积函数在半径为1的圆内的极点处的留数。
积分的被积函数在半径为1的圆内只有一个极点z1，于是可以求得积分值为■。
（2）积分形如I=■R（x）dx，其中R（x）是有理分式，R（x）的分母在实数轴上恒不等于0，且分母次数比分子的次数至少高2次。
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰；3）()lf z dz ⎰可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数图1至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和 0()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路.于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分图（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰ 这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e == ∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20iz le dz =⎰即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/4lim lim()i i i i i RRR R ee d eed eed ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+图4/4222222i R Riz Reiziz CC z Re dz e dz eiziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R Rπ---≤+→ （于R →∞） 2222sin 2cos 2sin 22222222R RRizRiR R i i C C C e e e dz Re id Rd iz iR e R ϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 所以21(1)08I iI i π+-+=即18I π=，28I π=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co 0)s (,ax e bx b dx a ∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写2201cos 2ax ax ibxe bxdx e e dx ∞∞---∞=⎰⎰ 取如图所示回路，由于矩形区域内函数2axibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzledz -+=⎰即22222340NaxibxazibzazibzazibzNl l l e dx e dz e dz e dz -+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰图5当N →∞时，2222234ax ibxaz ibzaz ibzaz ibzl l l edx edz edz edz ∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxedx ∞-+-∞⎰所以，2cos ax e bxdx ∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。
教学课件第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
需要注意的问题和难点
03
在应用留数定理计算实变函数的定积分时，需要注意定积分的
定义域、奇偶性、极点等问题，以及留数的计算和判断。
留数定理在实变函数中的进一步应用
留数定理在解决更复杂定积分问题中的应用
除了简单的定积分计算，留数定理还可以应用于解决一些更复杂的定积分问题，例如与 微分方程、积分方程等相关的定积分计算。
选择一个简单的积分路径， 使得计算留数变得容易。
避免奇点
避免积分路径经过函数的 奇点，以免影响留数的计 算。
考虑对称性
根据函数的对称性，选择 适当的积分路径以简化计 算。
计算被积函数的留数
确定奇点
确定被积函数在积分路径 内部的奇点。
计算留数
根据留数定理，计算被积 函数在奇点的留数。
处理无穷大
如果被积函数在奇点处无 穷大，需要特别处理以正 确计算留数。
留数定理的重要性
留数定理在实变函数中的应用，使得原本难以计算的定积分变得简单易行，提高 了计算的效率和准确性。
留数定理不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥了重要 的作用，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
02
留数定理的原理
留数的定义与性质
留数
对于在闭曲线上的奇异点附近的 积分，通过将函数在奇异点的左 右极限值相减，得到的值即为留 数。
导。
积分路径的可去性
积分路径可以是任意的简单或 复合闭曲线，但必须保证不经 过奇异点。
留数的可求性
在奇异点附近，被积函数必须 能够解析或通过其他方法求得 留数。
唯一性
对于同一个奇异点，其留数是 唯一的，不依赖于积分路径的
选取。
03
计算实变函数定积分的步骤
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2π
0
z z 1 z z 1 1 R(cos ,sin ) d R( , ) dz C 2 2i iz
z z 1 z z 1 1 当有理函数 f ( z ) R( , ) 在圆周 C ： z 1 的 2 2i iz 内部有 n 个孤立奇点 zk (k 1, 2, , n) 时，则由留数定理有
故
I
dx (2n 2)! (2n 2)! 2 i{ i} 2 n 2 i 2 2 2 n 1 2 x 1 [(n 1)!] 2 2 [(n 1)!]
数学物理方法
计算 I
例 4.2.6
0
1 dx 的值。 2 n ( x 1)
2 n
解：被积函数 1
0
又因为 Q( z ) 的次数比 P ( z ) 的次数高两次，所以
zP( z ) lim zf ( z ) lim 0 z z Q ( z ) 因此，对于任给的 0 ，当 z R 充分大时，有
zf ( z ) f ( Rei ) Riei
数学物理方法
2π
0
R(cos ,sin ) d 2πi Res[ f ( z ), zk ]
k 1
n
数学物理方法
例 4.2.1 求 I
【解】 令 z ei ，则
2π
0
d 的值. 2 cos
1 dz 2 1 I |z|1 z 2 1 iz i |z|1 z 2 4 z 1dz 2 2z 1 被积函数 f ( z ) 2 在 z 1 内只有单极点 z 2 3 ，故 z 4z 1 2 I 2πi Res f ( z ), 2 3 i 2 1 4π lim z (2 3) z 2 3 z 4 z 1 2π 3
P( x) 为偶函数，则 Q( x)
特别地，若对应实函数 f ( x)
0
f ( x) d x πi
Im zk 0
Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
计算 I
例 4.2.4
1 dx 的值。 2 x 1
解： f ( z )
1 1 ， 它具有两个单极点 i ， 2 z 1 ( z i )( z i )
( x 1)
是偶函数，故有
因而
0
0 1 1 dx dx 2 n ( x 2 1) n ( x 1)
I
0
1 1 1 dx dx 2 n ( x 2 1) n ( x 1) 2
数学物理方法
计算 I
例 4.2.7
x2 dx 2 2 2 2 ( x a )( x b )
数学物理方法
证明 若令 z ei , 则
ei e i z z 1 ei ei z z 1 cos sin 2 2 2i 2i dz iei d izd i 并且由变换 z e 知，当 从0变到 2π 时， z 恰好沿单位圆周 C ： z 1 的正向绕一周，所以有
数学物理方法
例 4.2.2 求
2π
0
d (0 1) 的值。 2 1 2 cos
解： 令 z ei ，则
1 dz i I |z|1 1 ( z z 1 ) 2 iz |z|1 ( z 1)( z )dz
1 2i 1 2 2i 解： 令 z e ，由于 cos 2 (e e ) ( z z 2 ) ，因此 2 2 z 2 z 2 1 dz z4 1 I 1 |z|1 2 |z|1 2iz 2 (1 pz)( z p)dz zz iz 1 2 p p2 2 z4 1 设 f ( z) 2iz 2 (1 pz )( z p ) 在积分区域 z 1 内函数 f ( z ) 有二个极点 z 0, z p ，其中 z 0 为 二阶极点， z p 为一阶极点，而
被积函数在 z 1 内只有单极点 z0 ，其留数为
Re sf ( ) lim
z
i i 2 z 1 1
故由留数定理有
1 I 2 1 2
数学物理方法
例 4.2.3 求 I
i
2π
0
cos 2 d 1 2 p cos p 2
(0 p 1) 的值。
数学物理方法
4.2.1
2
0
R(cos ,sin ) d 型积分
这是一个实变量的积分， 要用留数计算， 可按上面步骤进行 讨论。 定 理 设 f ( z ) R(cos ,sin ) 为 cos ,sin 的 有 理 函 数，且在 [0, 2 ] 上连续，则
2
1 p2 2ip 2 1 p4 Res[ f ( z ), p] lim[( z p) f ( z )] z p 2ip 2 (1 p 2 )
因此
I 2πi Res[ f ( z ), 0] Res[ f ( z ), p] 1 p2 1 p4 2πi 2 2ip 2ip 2 (1 p 2 ) 2πp 2 1 p2
z
（2） Q( z ) 在实轴上没有零点； 则有
P( z ) P( x) Q( x) d x 2πiIm0 Res Q( z ) , zk zk
（4.2.2）
P( x) 特别地，若对应实函数 f ( x) 为偶函数，则 Q( x)
0
f ( x) d x πi
从而
即 故
CR
f ( z )dz f (Rei ) Riei d π
0
π
z R CR
limLeabharlann f ( z)d z 0
f ( x) d x
P( x) d x 2πi Res[ f ( z ), zk ] Q( x) Im zk 0
数学物理方法
P( x) 4.2.2 d x 型积分 Q ( x ) P( z ) 定理 设 f ( z) 为有理函数，其中 P( z ), Q( z ) 为互质多项式， Q( z )
并且 （1）分母 Q( z ) 的次数至少比 P ( z ) 的次数高两次； （或表为 lim zf ( z ) 0 ）
Im zk 0
Res[ f ( z ), zk ]
数学物理方法
证明：在 z 平面上，选取积 分 路 径 C 为 上 半 圆 周 CR ：
y
z R, Im( z ) 0 和实轴上线段
R x R, Im( z ) 0 围
成的闭曲线（如右图所示） 在 。 实 轴 上 被 积 函 数 即 为
数学物理方法
Res[ f ( z ), 0] lim d 2 [ z f ( z )] z 0 d z ( z pz 2 p p 2 z ) 4 z 3 (1 z 4 )(1 2 pz p 2) lim z 0 2i( z pz 2 p p 2 z ) 2
cos( x )d x, e
ax
2
0
sin( x2 )d x ； 热 传 导 问 题 中 需 要 计 算
0
cos( bx
x ；阻尼振动问题中需要计算积分 ) d
0
sin x dx x
等．我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的 技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往 往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿——莱布 尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可 以转化为复变函数的环路积分（注意到当积分路径沿实轴时， ， 则积分显得方便易求。 z x 即对应于实积分） 再利用留数定理，
z 平面 z k z1
·
CR
z3 z 2
R x
P( x) 。 取 R 充分大， Q( x) 使 C 所围区域包含 f ( z ) 在上半平面内的一切（有限）孤 立奇点，即包含满足条件 Im( zk ) 0 的奇点。故由留数定 f ( x)
理得到
C
f ( z ) d z 2πi
(a 0, b 0) 的值。
z2 解： f ( z ) 2 的分母多项式次数高于分子多项式次数 2 2 2 ( z a )( z b ) 两次，它在上半平面内有两个单极点 z1 ai, z2 bi ，所以
I 2πi Res[ f ( z ), ai] Res[ f ( z ), bi] a b 2πi 2 2 2 2 2i(a b ) 2i(b a ) π ab
数学物理方法
利用留数定理计算实积分
f ( x)dx 一般可采用如下步骤：
（1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； （2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数 F ( z ) ，使得满足 F ( x) f ( x), 通常选用 F ( z ) f ( z ) ，只有少数例 外； （3）计算被积函数 F ( z ) 在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数， 然后求出这些留数之和； （4）计算辅助曲线上函数 F ( z ) 的积分值。通常我们选择辅助 线使得积分简单易求，甚至直接为零。
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第四章 留数定理
1、留数定理
数学物理方法