数学物理方法 留数定理及其应用
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数学物理方法-留数
2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz
Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk
e2 ki/4
i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数
f
因此
数学物理方法1课件——4.3 留数定理的应用
⎡⎣(z
−
z0 )m
f
(z)⎤⎦
z=0为f(z)的三阶极点
Re sf
(0)
=
1 lim 2! z→0
d2 dz 2
⎛ ⎜⎝
z
− sin z3
z
⎞ ⎟⎠
把z=0看做f(z)的六阶极点
Re sf
(0)
=
1 lim
5! z→0
d5 dz5
⎛ ⎜⎝
z6
z
− sin z6
z
⎞ ⎟⎠
=
1 lim 5! z→0
d5 dz5
∫ I = 2π R(cosθ ,sinθ )dθ 0
∫ 积分为：I =
⎛ z + z−1 z − z−1 ⎞ dz
c
R
⎜ ⎝
2
,
2i
⎟ ⎠
iz
，c为|z|=1的单位圆周
其中
f
(
z)
=
R
⎛ ⎜ ⎝
z
+ z−1 2
,
z
− z−1 2i
⎞ ⎟ ⎠
1 iz
在单位圆内有n个孤立奇点时 zk (k = 1, 2,..., n)，
z1
=
−
1
ε
−
1
ε
1−ε2 ,
z2
=
−
1
ε
+
1
ε
1− ε 2
z1和z2分别是函数f(z)的两个一阶极点。
由于 0 < ε < 1 ，因此 | z1 |= 1+
1−ε2 > 1 >1
ε
ε
即z1点不在单位圆内
| z2 |= 1−
留数定理及其应用
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
《数学物理方法》第4章留数定理及其应用
z
sin z6
z
,
0]
1 d5
lim
z0
5!
dz5
z sin z
1 5!
12
小结
1 定义
Re s[f
( z ),
z0 ]
1
2 i
C
f (z)dz c1
2 定理
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
3 计算方法 C
k 1
ⅰ 一级奇点 ⅱ m 级极点
Re
s[
f
(
z),
k 1
15
法则4
Re s[
f
(z),
]
Re s[
f
(1) z
1 z2
, 0]
证明
1
Re s[ f (z), ]
2 i C
f (z)dz
z ei
1 2 f (ei )iei d
2 i 0
z 1
rei
1
ei
ei
r 1
1 2
2 i 0
f
(
1 rei
)
i rei
d
1 2
2 i 0
(见例2.1.2=p29-30 和例2.1.4=p30)。
它们指出在什么条件下，f(z)及f(z)eimz沿 上半平面的无穷大半圆周的积分为零。
22
2.大圆弧引理-第二章内容
若(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Rei, R→∞,12 )上
23
引理1 若z在上半平面及实轴上趋于∞时, zf(z)
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
y
第六章 留数理论及应用
第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰Cdz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰C dz z f i)(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n nz z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n Cnn C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk Cz f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
第四章留数定理及其应用
两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
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1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
问题：寻找一条新的方法
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区 域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有
其中
C
f z dz 2 i Res f ( z j )
j 1
N
C
z
1
z
N
2
B
z
f z 0 可去奇点： Res zz
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
f x dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(-,)
无穷积分的收敛性 柯西主值
v. p
f x dx lim
R R R
R
f x dx
f x dx lim
f ( z)
1 (1 z 2 ) 2
y z=i O z=-i x
1 dx 2 i Res f ( z ) 2 2 z i (1 x )
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
说明II：
1. 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个 奇点时该如何处理 2. 例子
第五章 留数定理及其应用
第一节 留数及留数定理 第二节 应用留数定理计算实函数的 积分
ห้องสมุดไป่ตู้
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的概念
设 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点，则由Laurent定理 知：在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成 Laurent级数
f z
(A) 可去奇点 (B) m 级极点
Res f z 0
z z0
d m1 1 m Res f z lim m1 z z 0 f z z z z0 m 1! z0 dz
(C) 本性奇点
数学物理方法2015.02
按第一种方法来计算
R R
R
f x dx
数学物理方法2015.02
f x dx v. p
f x dx
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
将实积分化成闭合回路的复积分
R R
CR
lim
R
f x dx
f x dx
f ( z)dz
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
2. 利用实函数到复函数的自然扩张
f ( x) f ( z )
C
a
b
a
b
b
b a
a
f ( x)dx f ( z )dz
a
b
f ( x) dx f ( z) dz f ( z) dz
C
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
lim (2) R
数学物理方法2015.02
CR
f ( z )e imz dz 0
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
说明I：
对于条件(2)
lim f ( z )e imz dz 0成立 1. 在什么条件下有 R
约当引理：若 f (z)0 (z )，则有
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
定积分的计算
Newton-Leibnitz公式
困难：求原函数
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
其中函数F(x)是函数f(x)的原函数
2
0
1 d 1 cos
数学物理方法2015.02
0
sin(x 2 )dx
0
cos(x 2 )dx
R
CR
lim
CR
f ( z )e imz dz 0
2. 关于条件 f (z)0 (z )的一点说明 3. 例子：计算积分
0
x sin x dx 1 x2
z f ( z) 1 z2
y z=i O z=-i x
x sin x 1 xeix iz dx dx 2 Res f ( z ) e 2 2 z i 1 x i 1 x
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
思考：
计算积分
cos x dx, 2 cosh x
cos x dx 4 cosh x
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
实轴上有奇点的情况
0
1 1 * * 1 R cos ,sin d R ( z z ), ( z z ) dz 2 2i iz | z| 1
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
举例：
例1：
2
0
1 d 1 cos
其中0<<1
留数定理的应用
例1
dz (0 1) 计算积分 2 z 2z | z| 1
1 z2 2z
设 f ( z)
奇点 z
1 1 2
一级极点
1
z z
0
dz 2 iResf ( z ) 2 z 2z | z| 1
cos x dx, cosh x
cos x dx 3 cosh x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
CR
f x eimx dx
O R
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； -R 积分区间为(-,),m > 0
f ( x)eimx dx 2 i { f ( z)eimz 在上半平面内所有奇点 处的留数和 }
C
R
R
CR
f ( z )dz
-R
O
R
利用留数定理
f ( x)dx 2 i { f ( z )在上半平面内所有奇点 处的留数和 }
成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
lim (2) R
CR
f ( z )dz 0
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
1 i 2 i ( z z ) 1 2
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
例2 计算积分
| z| 2
ze z dz 2 z 1
例3
计算积分
| z| 2
z dz 4 z 1
例4
计算积分
| z| 2
ez dz 2 z ( z 1)
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1 C cosh z dz R R 1 1 R dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
数学物理方法2015.02
O
R
说明I：
对于条件(2)
lim f ( z )dz 0 成立 1. 在什么条件下有 R
引理：若 z f (z)0 (z )，则有
R
CR
lim
CR
f ( z )dz 0
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
问题：寻找一条新的方法
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区 域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有
其中
C
f z dz 2 i Res f ( z j )
j 1
N
C
z
1
z
N
2
B
z
f z 0 可去奇点： Res zz
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
f x dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(-,)
无穷积分的收敛性 柯西主值
v. p
f x dx lim
R R R
R
f x dx
f x dx lim
f ( z)
1 (1 z 2 ) 2
y z=i O z=-i x
1 dx 2 i Res f ( z ) 2 2 z i (1 x )
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
说明II：
1. 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个 奇点时该如何处理 2. 例子
第五章 留数定理及其应用
第一节 留数及留数定理 第二节 应用留数定理计算实函数的 积分
ห้องสมุดไป่ตู้
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的概念
设 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点，则由Laurent定理 知：在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成 Laurent级数
f z
(A) 可去奇点 (B) m 级极点
Res f z 0
z z0
d m1 1 m Res f z lim m1 z z 0 f z z z z0 m 1! z0 dz
(C) 本性奇点
数学物理方法2015.02
按第一种方法来计算
R R
R
f x dx
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f x dx v. p
f x dx
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
将实积分化成闭合回路的复积分
R R
CR
lim
R
f x dx
f x dx
f ( z)dz
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
2. 利用实函数到复函数的自然扩张
f ( x) f ( z )
C
a
b
a
b
b
b a
a
f ( x)dx f ( z )dz
a
b
f ( x) dx f ( z) dz f ( z) dz
C
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
lim (2) R
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CR
f ( z )e imz dz 0
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
说明I：
对于条件(2)
lim f ( z )e imz dz 0成立 1. 在什么条件下有 R
约当引理：若 f (z)0 (z )，则有
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
定积分的计算
Newton-Leibnitz公式
困难：求原函数
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
其中函数F(x)是函数f(x)的原函数
2
0
1 d 1 cos
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0
sin(x 2 )dx
0
cos(x 2 )dx
R
CR
lim
CR
f ( z )e imz dz 0
2. 关于条件 f (z)0 (z )的一点说明 3. 例子：计算积分
0
x sin x dx 1 x2
z f ( z) 1 z2
y z=i O z=-i x
x sin x 1 xeix iz dx dx 2 Res f ( z ) e 2 2 z i 1 x i 1 x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
思考：
计算积分
cos x dx, 2 cosh x
cos x dx 4 cosh x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
实轴上有奇点的情况
0
1 1 * * 1 R cos ,sin d R ( z z ), ( z z ) dz 2 2i iz | z| 1
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
举例：
例1：
2
0
1 d 1 cos
其中0<<1
留数定理的应用
例1
dz (0 1) 计算积分 2 z 2z | z| 1
1 z2 2z
设 f ( z)
奇点 z
1 1 2
一级极点
1
z z
0
dz 2 iResf ( z ) 2 z 2z | z| 1
cos x dx, cosh x
cos x dx 3 cosh x
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
CR
f x eimx dx
O R
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； -R 积分区间为(-,),m > 0
f ( x)eimx dx 2 i { f ( z)eimz 在上半平面内所有奇点 处的留数和 }
C
R
R
CR
f ( z )dz
-R
O
R
利用留数定理
f ( x)dx 2 i { f ( z )在上半平面内所有奇点 处的留数和 }
成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
lim (2) R
CR
f ( z )dz 0
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第二节 应用留数定理计算实函数的积分
1 i 2 i ( z z ) 1 2
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第一节 留数及留数定理
例2 计算积分
| z| 2
ze z dz 2 z 1
例3
计算积分
| z| 2
z dz 4 z 1
例4
计算积分
| z| 2
ez dz 2 z ( z 1)
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1 C cosh z dz R R 1 1 R dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
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O
R
说明I：
对于条件(2)
lim f ( z )dz 0 成立 1. 在什么条件下有 R
引理：若 z f (z)0 (z )，则有
R
CR
lim
CR
f ( z )dz 0