[理学]留数定理及其应用
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数学物理方法-留数
2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz
Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk
e2 ki/4
i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数
f
因此
第四章. 留数定理及其应用
n=−∞
Lk
(z
−
bk
)n dz
=
a(k) n n=−∞
2π
i δ n, −1
=
a(k) −1
⋅ 2π
i
=
2π
i
Re s
f
(bk
)
m
∫ ∑ ⇒ L f (z)dz = 2π i k=1 Re sf (bk )
(1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。 留数定理：将上述两者建立了一种关系。
2. 利用自变量的变换把 L1变换成某个新的复数平面的 回路，这样就可以应用留数定理了。
或者另外补上一段曲线L2 ，使L1, L2构成回路 L，L 包围
区域 D。把 f(x)解析延拓到 D（往往： f (x) → f (z) ），再 沿 L 积分。
∫ ∫ ∫ f (z)dz = f (x)dx + f (z)dz
∫ ∑ 于是：
I = g(z)dz = 2π i z =1
Re s g(bk )
k
例： P84 [例4.2.1]
∫ 二、 ∞ −∞
f
( x)dx
型积分
无穷积分实际上应理解为：
∫ I = lim R2 f (x)dx （如果极限存在） R1 , R2 →∞ − R1
积分主值：有时当上下限分别趋于∞ 时，积分的极限值
f (z) = ϕ(z) ψ (z)
(b
是
f(z)的一阶极点，则是
ψ ϕ
(z) (z)
的一阶零点)
式中ϕ (z) ，ψ (z) 均在 b 点解析，ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为ψ (z)
的一阶零点 (即ψ (b) = 0,ψ '(b) ≠ 0 )
留数定理及其应用
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
数学物理方法 留数定理及其应用
1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
第六章 留数理论及应用
第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰Cdz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰C dz z f i)(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n nz z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n Cnn C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk Cz f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
[理学]第七章 留数定理及其应用_OK
![[理学]第七章 留数定理及其应用_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/7b5114500029bd64793e2c70.png)
(z 1)2
4
z 1
14
例题 求 z 3 cos 1在孤立奇点的留数。 z2
解 z 2 为 f (z) z 3 cos 1 在复平面内的唯一孤立奇点， z2
lim z3 cos 1 不确定，z 2 为本性奇点。
z2
z2
可将 z 3 cos 1 在 0 z 2 展开， z2
15
f
k1 n
k
4
因为
C
(z
a)n
dz
2i,
0,
n 1 且C 内含有z = a n 1
n
n
可知 f (z)dz a(k1) 2i 2i resf (bk )
C
k 1
k 1
复连通区域的柯西定理＋洛朗展开系数公式
留数定理
5
留数的求法
设 z = b 是 f(z) 的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内
16
例题 对有理函数 f (z)
1 部分分式。
(z 1)(z 2)(z 3)
解 f (z) A B C 显然，A、B、C 正好是 f(z) 在 z1 z2 z3
一阶极点 z = 1，z = 2，z = 3 的留数，所以
A resf (1) lim(z 1)
1
1
1
z1
(z 1)(z 2)(z 3) (z 2)(z 3) z1 2
其中0点和无穷远点分
别在一条半径的两端。 则从该奇点看该邻域 的正方向与从无穷远 点看该邻域的正方向 相反。和为0。
所以，所有有限孤立
奇点的留数的和与无 穷远点的留数和相加 均为0。
如果从数学上严格证明的 话，则需要进行一些计算
19
证明: Re sf () 2i f (z)dz c
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
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两边除以（m-1）!后取 z b 的极限：
d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz
数学物理方法
d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz 3.令 m=1（一阶极点） ，得 a1 lim( z b) f ( z )
第四章 留数定理及其应用
已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数 值有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公式及其 推论。 1 f ( z) f (a) dz 2πi l z a 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数 的积分值与函数的奇点的关系。 留数定理：复变函数的积分理论与级数理论相结合 的产物。
L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
bn L3 b 3
Ln L2
b1 L1 L b2
数学物理方法
L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
bn L3 b 3
Ln L2
b1 L1 L b2
（1）方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数在奇点 的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。 （2）要计算解析函数的积分，关键：计算留数； （3）留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； （4）bk (k 1, 2, ) 是 L 所包围的 f ( z ) 的所有奇点，而不是 f ( z ) 所有的奇点。
数学物理方法
二、留数的计算方法
奇点的类型
Re sf (b) a1 Re sf (b) a1 0
(1)
可去奇点
m 阶极点
1 d m1 a1 lim m1 [( z b)m f ( z )] (m 1)! z b dz
a1 lim( z b) f ( z )
(k ) 的系数 a 1 ，称为 f ( z ) 在 z bk 的留数。 (k ) a 1 ： f ( z ) 在它的第 k 个孤立奇点 bk 的邻域内洛朗展开式
中 ( z bk )1的系数。
数学物理方法
证明： 在 D 内， 以各个奇点 bk 为圆心， 作小圆周 L1 , L2 , 闭通区域。 由柯西定理： f ( z )dz
1 例 1：求 f ( z ) 在其奇点的留数。 ( z 2i ) z
z b
(2)
普遍公式 一 阶 极点
(3)
( z) , (b) 0, (b) ( z) a1 (b) (b) 0, (b) 0
f ( z)
在 0 z b R 展开 f ( z ) 得 a1
(4)
本性奇点
(5)
数学物理方法
证明： 1. f ( z ) 以可去奇点为中点的无心邻域中的洛朗级数没有负 幂项
两边对 z 求（m-1）阶导数：
a1 ( z b)m1 a0 ( z b)m
d m1 m! (m 1)! m 2 [( z b ) f ( z )] ( m 1)! a a ( z b ) a ( z b ) 1 0 1 m 1 dz 1! 2!
k 1, 2,
f ( z )dz
m
代入积分公式： f ( z )dz
L k
Lk
a
Lk
f ( z )dz
n
a
(k ) n
Lk
( z bk ) dz
n
n
(k ) a n 2 i n,1 m
(k ) 1
2 i 2 i Re sf (bk )
数学物理方法
第一节 留数定理 一、留数定理
若函数 f ( z ) 在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
L
f ( z )dz 2 i Re sf (bk )
k 1
m
L : D 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re sf (bk ) ：f ( z ) 在 D 的无心邻域 0 z bk R 的洛朗级数
z b
Hale Waihona Puke 4.有时 f ( z ) 具有分式的形式：
( z) ( z) f ( z) (b是f ( z ) 的一阶极点，则是 的一阶零点） ( z) ( z)
式中 ( z), ( z) 均在 b 点解析，且 (b) 0，而 b 为 ( z ) 的一 阶零点（即 (b) 0, (b) 0)
( z) z b z b ( z) ( z ) ( z b) ( z ) (b) 由洛必达法则： a1 lim z b ( z ) (b)
a1 lim( z b) f ( z ) lim( z b)
数学物理方法
5.对本性奇点， 没有简单的公式， 要在 b 点的无心邻域将 f ( z ) 展开成罗朗级数，求得 a1 。
f ( z ) ak ( z b) k
k 0
a1 0
2. f ( z ) 以 m 阶极点为中心的无心邻域中的洛朗级数为：
a m a m1 f ( z) m m 1 ( z b) ( z b) a1 a0 a1 ( z b) z b
L k
Lk 分
别包围各奇点 外边界线 L 与所有小圆周为内边界构成复
Lk
f ( z )dz
分别在各个 bk 的无心邻域 0 z bk R 中将 f ( z ) 展开成洛 D 朗级数
bn
L3 b3 Ln L2
b1
b2
L1
L
数学物理方法
f ( z)
n
(k ) n a ( z b ) n k
怎样求 a1 ？
数学物理方法
a m a m1 f ( z) m m 1 ( z b) ( z b)
a1 a0 a1 ( z b) z b
两边乘 ( z b)m 得：
( z b)m f ( z ) a m a m1 ( z b)