留数定理及其应用

R 半圆 C R ( R → ∞)。 → ∞ 的原因：
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∞
∞
(1) R → ∞ 时，z f(z)一致地趋于零； (2)可把f(z)在上半平面所有的奇点(只有有限个)都包围在L内。 留数定理：
∫
L
f ( z )dz = 2π i ∑ Re sf (bk )
k =1
R −R
n
又
∫
L
f ( z )dz = lim [ ∫
∫
L
f ( z )dz = ∫ f ( x)dx + ∫
L1
L2
f ( z )dz
上式左边积分：利用留数定理求 上式右边第一个积分：要求的 上式右边第二个积分：比较容易计算(往往证明为 0)
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一、 ∫0 f (cosθ ,sin θ )dθ 型积分 1.特征：(I)被积函数是 cosθ ,sin θ 的有理实函数； (II)积分区间为 [ 0, 2π ] ，若不是，要先变为 [0, 2π ] 。 2.方法：(1)令 z = e ——将自变量作变换： θ → z ，把 被积函数变为复变函数
留数为：
eimz e − ma = ResF (ia ) = lim( z − ia ) 2 2 z →ia z +a 2ai
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f(x)为偶函数，则
∫
∞
0
cos mx e − ma π − ma dx = π i e = 2 2 2ai 2a x +a
解题步骤可从定理的证明及此例归纳出来。
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四、实轴上有一阶极点的无穷积分
k =1
n
R →∞ CR
lim ∫ f ( z )dz = 0
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三、∫
∞
−∞
f ( x )e imx dx ( m > 0)型积分(这类积分常见于傅里叶变换中)
注: ∫−∞ f ( x)e
∞
imx
dx 理解为它的积分主值.
对 f(z)有以下假设: 1. f(z)在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析,在实轴上没 有奇点； 2.当 z 在上半平面及实轴上趋于 ∞ 时，f(z)一致地趋于零。
1 z2 + a2
f ( z) =
F ( z ) = f ( z )eimz
f(z)的奇点（在上半平面） z = ia ⇒ f ( z ) 在上半平面有一 ：
1 lim 2 个孤立奇点，且实轴上无奇点，又 f(z)满足： z →∞ z + a 2 = 0
F(z)的留数：
F ( z ) = f ( z )e imz 在上半平面有一阶极点 z=ia，在该点的
k
k , −1
) = −π ia−1 = −π iResf (b)
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对于第二类型积分在实轴上外加一阶极点b时，有：
∫
L
f ( z )dz = lim ∫
R →∞ C R
f ( z )dz + lim[ ∫
R →∞ ε →0
b −ε −R
f ( x)dx + ∫
R b +ε
f ( x)dx]
+ lim ∫
当k>-1，即k+1>0时：
lim ∫ ( z − b) dz = lim ∫ ε e iε e dθ = lim iε
k k ikθ iθ 0 k +1
ε →0 Cε
ε →0 π
∞
ε →0
∫π
0
ei ( k +1)θ dθ = 0
⇒ lim ∫ f ( z )dz =
ε →0 Cε
k =−1
∑ a (−π iδ
k
例： P84 [例4.2.1]
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二、 −∞ f ( x)dx 型积分 ∫
方法：1.把实变数 x 换成复变数 z，积分 I = ∫−∞ f ( x)dx 是 z 平 面上沿实轴从− R1到 R2 的积分的极限值。 对 f(z)有以下假设（或特征） ： (1) f(z)在上半平面除了有限个孤立奇点外处处解析，在实 轴上没有奇点； (2)当 z 在上半平面及实轴上趋于 ∞ 时，z f(z)一致地趋于零。 2. 闭合回路 L 的构成：沿实轴从-R 到 R 的直线 (涉及到 积分主值积分上下限)和以 z = 0 为中心，半径等于 R 的
k =−1 ∞
令 ε → 0 ，有：
lim ∫ f ( z )dz = lim ∫
ε →0 Cε
ε →0 Cε
k =−1
∑ ak ( z − b) dz =
k
∞
k =−1
ak lim ∫ ( z − b)k dz ∑
ε →0 Cε
∞
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iθ iθ 令 z − b = ε e ，则 dz = iε e dθ ，代入上式：
( a −k ) ：f(z)在它的第 k 个孤立奇点 bk 的邻域内罗朗展开式 1
中 ( z − bk ) 的系数。
−1
2
二、留数的计算方法
3
以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留 数的概念可以推广到无穷远点的情形。
三、无穷远点的留数 若函数 f(z)在 L 的外部除 ∞ 点外解析，则
cw
例：P89 [例4.2.6]
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4.3 物理学中常用的实积分
利用留数定理计算实变函数积分的四种典型方法 要求被积函数满足一定的条件。实际中遇到的积分， 被积函数又往往不满足所需条件。此时利用留数定理 计算实积分的基本思想还是一样的：
R →∞ C R
lim ∫
f ( z )e imz dz = 0
其中 m>0，CR 是以 z=0 为圆心，R 为半径的位于上 半平面的半圆。 证明：1.令 g (θ ) = 所以 设
g '(θ ) =
sin θ
θ
因为在 (0, 2 ], cos θ > 0, tgθ > 0
π
θ cosθ − sin θ cosθ = 2 (θ − tgθ ) 2 θ θ
第4章 留数定理及其应用
柯西公式: 设f(z)在单通区域D内解析，a为 1 f ( z) 则 f (a) = dz
2π i
的内点，
∫
L
z−a
注意：a为内一点，z在L上取值. 表明：解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿 边界线的积分确定。
1
4.1
留数定理
residue 一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
∑ Re s f (b
k
k
) + Re s f (∞ ) = 0
5
4.2 几种典型实积分的计算
留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分 原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联 系起来。
6
2. 利用自变量的变换把 L1变换成某个新的复数平面的 回路，这样就可以应用留数定理了。 或者另外补上一段曲线 L2 ，使L1 , L2构成回路 L，L 包围 ，再 区域 D。把 f(x)解析延拓到 D（往往： f ( x) → f ( z ) ） 沿 L 积分。
∫
∞ −∞
f ( x )e
imx
dx = 2π i ∑ Re s F (bk ) + π i Re s F (b)
k =1
n
其中 F ( z ) = f ( z )e imz，bk 为f(z)在上半平面的孤立奇点。
说明：
(1) 如果实轴上有n个一阶极点，则引入n个无限小的
半圆，计算方法相同；
(2) 实轴上出现高阶极点或本性奇点，这里不做研究。
∫
L
f ( z ) dz = 2π i Re s f (∞)
其中 Re s f (∞) = −a−1 称为函数 f(z)在 ∞ 点的留数， a −1 是 f(z)在∞ 点的无心邻域 R < z < ∞ 的罗朗系数。
* 无穷远处的 正方向为顺时针
4
四、留数和的定理
1.定理：若函数f(z)除有限个孤立奇点外解析，则f(z)在所 有奇点的留数之和为零：
∫
∞
−∞
n ⎡ ⎤ f ( x) sin mxdx = Im ⎢ 2π i ∑ ResF (bk ) ⎥ k =1 ⎣ ⎦
若 f(x)为偶函数，则
2 ∫ f ( x) cos mxdx + 0 = 2π i ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
⇒ ∫ f ( x) cos mxdx = π i ∑ ResF (bk )
0 k =1
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∞
n
若 f(x)为奇函数，则
0 + 2i ∫ f ( x) sin mxdx = 2π i ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
⇒ ∫ f ( x) sin mxdx = π ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
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例：求 I = ∫
解：作函数
∞
0
cos mx dx (m > 0, a > 0) 2 2 x +a
lim iε
ε →0
k +1
∫π
0
ei ( k +1)θ dθ = lim iε k +1
ε →0
1 ⎡1 − (−1) k +1 ⎤ = 0 ⎦ i (k + 1) ⎣
当k=-1时：
I = lim iε
ε →0
−1+1
∫π
0
ei ( −1+1)θ dθ = lim i (−π ) = −π i
ε →0
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闭合回路 L 的构成: 原积分路线上增加半圆 CR ( R → ∞)
∫
∞
−∞
f ( x )e dx = lim [ ∫
imx R →∞ L
R
−R
f ( x )e imx dx + ∫
L
CR
f ( z )e imz dz ]
= ∫ f ( z )e imz dz = ∫ F ( z ) dz
留数定理
G (θ ) = θ − tgθ
θ = 0, tgθ = 0 ⇒ G (0) = 0
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∫
∞
−∞
f ( x )e dx = ∫
imx
∞
−∞
f ( x ) cos mxdx + i ∫
∞
−∞
f ( x ) sin mxdx
由上式，可得以下几个公式：
∫
∞
−∞
n ⎡ ⎤ f ( x) cos mxdx = Re ⎢ 2π i ∑ ResF (bk ) ⎥ k =1 ⎣ ⎦
∫
L
f ( z ) dz = 2π i ∑ Re sf (bk )
k =1
m
( Re s f (bk ) = a−k ) 1
D L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re s f (bk ) ：f(z)在 D
的无心邻域 0 < z − bk < R 中的罗朗级
a−1( k ) ，称为 f(z)在 z = bk 的留数。 数的系数
cos θ = 1 iθ 1 1 1 1 1 (e + e −i θ ) = ( z + ) sin θ = (e i θ − e −i θ ) = ( z − ) 2 2 z 2i 2 z
iθ
2π
iθ
dz dz = de = izdθ ⇒ dθ = iz ：沿区间 [0, 2π ] 的积分变成沿单位圆 [0, 2π ] → z = 1 的回路积分。
问题：当被积函数在积分曲线（如在实轴上）有奇点 时，则不符合前面所列举的条件，上面的计算方法不 完全适用。这时 ∫ b f ( x)dx (奇点在a, b之间)属广义积分。
a
对f(z)的假设：与第二,第三种类型积分相同,除了在实轴上有 一阶极点b外。 积分回路: 原积分路径上增加半圆CR ( R → ∞)及半圆 Cε (ε → 0) 已证明: lim f ( z )dz = 0
8
(2) 利用留数定理
2π
I=
∫
0
z + z −1 z − z −1 dz , ) f (cos θ , sin θ )dθ = ∫ f ( z =1 2 2i i z
设
z + z −1 z − z −1 1 g ( z) = f ( , ) 2 2i iz
I =∫
z =1
于是：
g ( z )dz = 2π i ∑ Re s g (bk )
R →∞ CR
∫
要证明: lim ∫C f ( z )dz = −π iResf (b) ε →0 ε (b是f(z)在实轴上的一阶极点)
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证明：因为b是f(z)在实轴上的一阶极点，在b的无心区域
中，f(z)的罗朗展开为 f ( z ) = ∑ ak ( z − b)k ，两边沿 Cε 积分，并
==== 2π i ∑ Re s F (bk )
k =1
∞
[ F ( z ) = f ( z )e imz ]
bk : F(z)在上半平面的孤立奇点。
lim ∫ f ( z )eimz dz = 0 。 在以上推导中，还需 R →∞ C
R
（实际上是求在引入曲线 CR 上的积分）
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约当引理： 若 z 在上半平面及实轴上趋于 ∞ 时，f(z)一致地 趋于零，则
n
ε →0 Cε
f ( z )dz
∞
⇒ 2π i ∑ Resf (bk ) = 0 + ∫
k =1
−∞
f ( x)dx − π iResf (b)
⇒ ∫ f ( x)dx = 2π i ∑ Resf (bk ) + π iResf (b)
−∞ k =1
∞
n
22
同理，第三类型积分在实轴上外加一阶极点b时，有
R →∞ ∞
f ( x)dx + ∫
R →∞
CR
f ( z )dz ] f ( z )dz
f ( z )dz
=∫
⇒∫
∞ −∞
−∞
f ( x)dx + lim ∫
n
CR
f ( x)dx = 2π i ∑ Resf (bk ) − lim ∫
k =1
R →∞ CR
⇒∫
∞
−∞
f ( x)dx = 2π i ∑ Resf (bk )