6.2 留数定理的应用
留数定理在考研中应用
留数定理在考研中应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在考研中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 计算复积分：留数定理可以用于计算复积分，特别是围道积分。
通过找到被积函数在围道内的奇点，并计算出这些奇点的留数，可以将复积分转化为留数的求和，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：留数定理可以用于求解一些特殊的微分方程，如常微分方程的初值问题、线性微分方程的特解等。
通过将微分方程转化为复变函数的问题，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到微分方程的解析解。
3. 求解极限：留数定理可以用于求解一些复变函数的极限。
通过将复变函数转化为有理函数，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到复变函数在某些点处的极限值。
4. 解析函数的性质研究：留数定理可以用于研究解析函数的性质，如奇点的分类、奇点的留数与函数的性质之间的关系等。
通过计算奇点的留数，可以得到解析函数在奇点处的性质，进而推导出整个函数的性质。
总之，留数定理在考研中的应用非常广泛，涉及到复积分、微分方程、极限和解析函数的性质等多个方面。
掌握留数定理的应用，可以帮助我们更好地理解和应用复变函数理论。
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
留数定理是复变函数理论中的一项重要定理，它在求解不同类型积分上具有广泛的应用。
以下将从留数定理在求解简单闭合曲线上的积分、无穷远点上的积分以及奇点上的积
分三个方面进行探究。
留数定理适用于求解简单闭合曲线上的积分。
对于一个解析函数的闭合路径，如果函
数在路径内部有有限个奇点，并且这些奇点都是一阶可去奇点，那么函数在路径内的积分
等于其中所有奇点的留数之和。
这个定理可以用来简化复杂函数的积分计算。
留数定理也适用于求解无穷远点上的积分。
当函数在有限区域外的无穷远点处解析时，可以通过将积分路径围绕无穷远点转换成围绕原点的路径，然后利用留数定理求解。
这种
方法在求解指数函数、三角函数等在无穷远点处有定义的函数积分时非常有效。
留数定理还可以用于求解奇点上的积分。
当函数在奇点处有极点时，可以通过计算奇
点的留数来求解积分。
这种方法在求解带有简单极点的函数积分时非常有用，可以大大简
化计算过程。
留数定理及其应用
a
对f(z)的假设：与第二,第三种类型积分相同,除了在实轴上有 一阶极点b外。 积分回路: 原积分路径上增加半圆CR ( R → ∞)及半圆 Cε (ε → 0) 已证明: lim f ( z )dz = 0
0 k =1
15
∞
n
若 f(x)为奇函数，则
0 + 2i ∫ f ( x) sin mxdx = 2π i ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
⇒ ∫ f ( x) sin mxdx = π ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
16
例：求 I = ∫
解：作函数
∞
0
cos mx dx (m > 0, a > 0) 2 2 x +a
第4章 留数定理及其应用
柯西公式: 设f(z)在单通区域D内解析，a为 1 f ( z) 则 f (a) = dz
2π i
的内点，
∫
L
z−a
注意：a为内一点，z在L上取值. 表明：解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿 边界线的积分确定。
1
4.1
留数定理
residue 一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
R 半圆 C R ( R → ∞)。 → ∞ 的原因：
10
∞
∞
(1) R → ∞ 时，z f(z)一致地趋于零； (2)可把f(z)在上半平面所有的奇点(只有有限个)都包围在L内。 留数定理：
6.2 用留数定理计算实积分
sin x cos x x2 x dx, e dx, 1 x 2 dx,
或者即使可以求出原函数，但往往计算比较复杂，例如
1 (1 x 2 )2 dx.
利用留数方法计算这些实积分，只须算出有关函数的留数， 也就基本解决了.该方法不是普遍适用的方法，也不是解 决所有实积分的计算方法，而是考虑几类特殊类型的实积 分的计算，并且着重讨论实积分化为围线积分的方法.
×
二、形如
P( x) dx 的积分 Q( x )
SR
R
2
引理6.1 设f(z)沿圆弧
SR : z Rei (1 2 , R充分大)
1
x
0
上连续，且 lim zf ( z ) 于SR上
R
一致成立(即与1 2 中的 无关), 则
R
π
1 z 1 dz m 2 4 i | z | 1 z 5 z 2 z 2
2m
1 z 2m 1 dz m 4i |z|1 z 2 z 1 z 2
1 2 πi Res f ( z ) Res f ( z ) 1 z 0 4i z 2 ( m ) 1 1 m 2πi lim z f ( z ) lim z f ( z ) 1 z 0 4i 2 z 2
l 于是(6.10)式不超过 2 1 R
R R0 时,有不等式 | zf ( z) | , z S . R 2 1
(其中 l 为SR的
长度,即
l R(2 1 ) ).
P (z) 为有理分式,其中 定理6.7 设 f ( z ) Q( z )
6.2.函数在无穷远点的留数及其应用
∫
Γ−
− 2π i , dz = n z 0,
n = 1 n ≠ 1
f ( z) = L+ c−2 z−2 + c−1 z −1 + c0 + c1 z + L+ cn zn + L
dz −2π i , n = 1 及∫ − n = 可推出 Γ z n≠1 0,
∫
z=∞
Γ
f (z) =L+ c−2z + c−1z + c0 + c1z +L+ cnz +L 1)在0 <| t |≤ 1 内的洛朗展式为 则f ( t r
n
再利用洛朗级数证明这个公式 设f ( z)在r ≤| z |< +∞内的洛朗展式为
−2 −1
1) = L+ c t 2 + c t + c + c t −1 +L+ c t −n +L f (t 0 1 n −2 −1 1) 1 =L+ c + c t−1 + c t−2 + c t−3 +L+ c t−n−2 +L f ( t t2 0 1 n −2 −1
15
I = 2π i[− Re s f (z)]
z=∞
Re s f (z) = −c−1
z=∞
I = 2π i ⋅ c−1
z 易知z = ∞是f ( z) = 2 的一阶零点 2 4 3 ( z + 1) ( z + 2)
15
∴c−1 = limzf (z) = lim
z→∞ z→∞
在∞ 的去心邻域内有 c −1 c −2 ∴ f (z) = + 2 +L z cz ∴ zf ( z ) = c−1 + −2 + L 16 z z
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§ 1.留数1. （定理6.1柯西留数定理）：dz = 2 mJc£=i2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,事（町（…尸’其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,Re^f(z),a) = <p(a)4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点® ⑴=（Z-A）V（«）则5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数:RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。
注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。
8. 计算留数的另一公式:(昭詞§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入注：注意偶函数1. (引理6.1大弧引理)：»上limzf(z)= X则limH'J-M B2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)为互质多项式，且符合条件：(1)n-m >2;(2)Q(z股有实零点于是有f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}Jrtiajt >0注：以fg可记为PM广；«x)dx丿；黔厂心型积分3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且lim鸟⑵=0在「里上一致成立。
则lim f幻(胡叫E = o■ rn4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:(1) Q 的次数比P 高;(2) Q 无实数解；(3) m>0特别的，上式可拆分成:及四. 计算积分路径上有奇点的积分5. (引理6.3小弧引理)：S m 询lim(z-a)f (2)=X r-+D于5'r 上一致成立，则有limf /wdz=i (02-五. 杂例六. 应用多值函数的积分§ 3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数 f'M2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数 的一阶极点，并且(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数的一阶极点，并且Res 2ni1 X) Res{ff (2je in ^f a^则有1.对数留数:3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；(2) f(z)在 C 上解析且不为零。
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
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第六章留数理论及应用第6.2节留数定理的应用
利用留数计算积分的特点：
（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；
（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；
（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。
由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。
注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)cos ,(sin 20
dt t t R I 的积分，其中R (x,y )是有理分式，并且在圆C :|z |=1上，分母不等于零。
注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。
注解2、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,
)(
dx x R I 的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。
如果当z 在这闭区域上时，
是以O 为心、r 为半径的圆弧在这闭区域上的一段。
引理3.1设f (z )是闭区域
),0,0(||,210021 r z r Argz 上连续的复变函数，并且设r )(0r r ,
0)(lim
z f z 那么我们有
.
0)(lim r
dz e z f iz
r
注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,
)(
dt e x f I ix 的积分，其中f (x )在
Im z 0Im z 注解2、同样，上面求出的广义积分也是其柯西主值。
上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z 在上时，引理中的条件满足。
说明：
如果函数f(x)在上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，同样，所求出的广义积分（无限积分与瑕积分）也是其柯西主值，如下面的例子。
留数定理的应用--儒歇定理:
应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题。
这里，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。
儒歇定理：设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。
若函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解析，并且在C上，|g(z)|<|f(z)|，那么在D上，f(z)及f(z)+g(z)的零点的个数相同。
注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。
注解2、f(z)及g(z)选择的原则是，f(z)在内的零点个数好计算。
例1、求方程,012558 z z z 在|z|<1内根的个数。
解：令,2)(,15)(85z z z g z z f 由于当|z|=1时，我们有
,41|5||)(|5
z z f 而,3|2||||)(|8
z z z g 已给方程在|z|<1内根的个数与-5z 5+1在|z|<1内根
的个数相同，即5个。
例2、如果a>e ，求证方程
n z az e 在单位圆内有n 个根。
证明：令,
)(,)(n z az z f e z g 由于当1|||| i e z ,|||)(|,|||)(|cos e a az z f e e e z g n z az n –e z 在|z|<1内的零点的个数与az n 相同，即n 个，因此方程在单位圆内有n 个根(重根按重数计算)。
n z az e 时，。