论文留数定理及其应用
论文：留数法在拉普拉斯反变换中的应用
留数法在拉普拉斯反变换中的应用摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。
关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数 引言采用留数法计算拉氏反变换（或者z 反变换）是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。
本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。
正文一．留数定理《复变函数》中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l 所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。
如果l 包围的区域有f （z ）的奇点，则需要应用留数定理来求解。
根据重要例题结论：0,1211()0.12l n ll dz iz l z dz n i απαααπ⎧=⎨-⎩-=≠⎰⎰不包围，包围 可以推导出 1()2Re ()n j l j f z dz i sf z π==∑⎰Resf(z)为函数的留数。
留数定理即复变函数的回路积分为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。
关于留数的具体求法在课程《数学物理方法》中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。
二、留数法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。
通常有两种求拉普拉斯反变换的方法，即部分分式展开法与围线积分法。
部分分式展开法是将像函数分解为若干简单变换式之和，然后逐项反变换求取原函数，此方法仅限于像函数是有理数的情况。
围线积分法是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行的，适用范围较宽。
由拉普拉斯反变换的定义知道直接求解这个积分是十分困难的，但由复变函数理论知可以将此转换成求F(s)在一个闭合围线内部全部留数的代数和。
在此，F(s)e^st 的积分等于围线C 内所包围的所有F(s)e^st 的极点的留数之和.积分围线C 为如图所示的半径为无穷大的圆弧.三、留数法求有理分式的拉普拉斯反变换若pi 为一阶极点，留数 ds e s F j s F L t f t s j j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1ip s st i i e s F p s =-=])()[(γ∑∑⎰=-∞+∞--======ni i i i st t s j j s F L t f p s e s F ds e s F j s F L t f 111)]([)(,])([)(21)]([)(γγπσσ则有处的留数为若设极点的留数极点若pi 为k 阶极点，在此例举一具体问题 求32()(1)s F s s s -=+的拉普拉斯反变换。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
留数定理是复变函数理论中的一个重要定理，它在求解不同类型的积分问题上有着广
泛的应用。
留数定理是由法国数学家庞加莱于19世纪末提出的，它为求解复变函数的积分问题提供了一种简洁而有效的方法。
让我们来回顾一下留数的概念。
对于一个在有限个点上解析的函数f(z)，如果z_0是这些解析点中的一个孤立奇点，那么我们可以定义它在z_0处的留数为Res[f(z), z_0]，留数的计算公式如下：
Res[f(z), z_0] = lim (z->z_0) [ (z - z_0) * f(z) ]
对于一个复变函数f(z)，如果它在有限个孤立奇点上解析，并在这些孤立奇点上有界，那么留数定理告诉我们：函数f(z)在包含这些孤立奇点的简单闭合曲线上的积分等于这些孤立奇点的留数之和。
在实际应用中，留数定理可以用于求解三类不同类型的积分问题：无界函数的积分、
函数有界但无法直接积分的积分以及含奇点的积分。
第一类问题是无界函数的积分。
对于一个在复平面上有无穷远点的奇点的函数f(z)，我们可以通过在其它到无穷远点的奇点上计算留数，从而求解其在无穷远点的积分。
利用
留数定理，我们可以将这样的无穷远点的积分转化为计算有限个孤立奇点的留数的问题，
从而更容易求解。
留数定理在求解不同类型的积分问题上具有广泛的应用。
它通过将复杂的积分计算转
化为计算有限个孤立奇点的留数的问题，极大地简化了积分的求解过程，并为复变函数的
应用提供了有力的工具。
留数定理及其在积分中的运用
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其在积分中的运用（Residue theorem and the use in the Calculus）姓名：刘燕学号：0507010122学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：易才凤（教授）完成时间：2009年*月*日留数定理及其在积分中的应用【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。
在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。
然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题.【关键词】解析孤立奇点留数留数定理Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem .This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems.【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem目录1引言 .................................................. 2预备知识.......................................2.1 复积分.............................................2.2 解析函数极点及留数.................................2.3留数的计算方法.................................3留数定理..........................................3.1留数定理........................................3.2 留数定理的证明...................................3.3 留数定理的推广..............................4 应用留数定理计算积分............................4.1复积分的计算.....................................4.2实积分的计算....................................5参考文献6 致谢1 引言众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具.在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数)(x f 在实数轴上的某一段Γ上的积分，我们在Γ上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C ，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.2 预备知识2.1 复积分复变函数积分的定义定义2.1 设有向曲线C ：)(),(βα≤≤=t t z z顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点：b z z z z a n n ==-,,,,110把曲线C 分成若干个弧段（如图1）。
留数定理及其应用论文
摘要留数定理是复积分和复级数理论相结合的重要产物之一，只有正确理解并掌握孤立奇点的概念，进一步研究孤立奇点的分类，还有函数在孤立奇点的留数概念，才能解决一些实际问题中涉及留数的应用。
理解并掌握留数的计算方法，尤其是极点处留数的求解方法，以及实际求解中会应用留数求一些实积分。
我们现在所学习还有研究的留数理论就是是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。
留数在复变函数论本身和实际应用中都是有其重要地位的，尤其是与计算周线积分的问题密切相关。
此外，我们还可以运用留数理论已知条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题。
关键词：留数理论；留数的计算；积分；留数的应用ABSTRACTResidue theorem is the combination of the theory of integral and series, need to correct understanding of the concept and the classification of isolated singularity of isolated singularity and function in the isolated singularity residue concept. Mastering the residue method, especially in pole residue, practice with residue and some solid points. Residue is one of important concepts in the theory of complex function, and analytic function in the isolated singularity, cauchy composite Laurent expansion of closed circuit theorem and so on all are closely linked. Now research of residue theory is a continuation of cauchy integral theory. The insert in the middle of the Taylor series and Laurent series is a powerful tool to study analytic function. Residue in the complex variable function theory and practical application is important it and calculating contour integral (or boil down to examine cycle line integral) problems have close relationship. In addition the residue theory, we have conditions to solve the problem of "large scale" integral calculation, can also examine zero point of function in the area of distributionKey words：Residue theory; The calculation of residue; Integral; The application of residue目录摘要 ............................ I ABSTRACT .......................... I 1.引言 ........................... 1 2．留数 .......................... 1 2.1留数的定义及留数定理 ................. 1 2.2留数的求法 ...................... 2 2.3函数在无穷远点的留数 ................. 3 3.用留数定理计算实积分 . (4)3.1计算2(cos ,sin )R d型积分 ··············· 5 3.2 计算()()P x dx Q x 型积分 (7)3.3计算()()imxP x e dx Q x 型积分 ················· 8 3.4 计算()ln R x xdx 型积分 (10)3.5 计算积分路径上有奇点的积分 ............ 10 3.6.留数定理在级数求和中的应用 ..... 错误!未定义书签。
留数在物理学中的应用
留数在物理学中的应用留数在物理学中的应用摘要：留数定理是复变函数理论的一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 应用留数定理可以求解某些较难的积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果的作用.具体的物理问题中遇到的一些积分在数学分析中没有对应的原函数，留数定理往往是求解这些积分的有效工具。
本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定的拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光的衍射等问题中积分计算上的的一些应用，大大简化了计算过程。
关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导目录第一章 留数..........................................3 1.1 引言 1.2 留数的定义 1.3 留数定理1.4 留数定理的计算规则 1.5 留数定理的拓展第二章 留数定理在电磁学中的应用.........................6 2.1 安培定理及其与留数定理的区别 2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导 2.3 留数定理在静电学中的应用 2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用第三章 留数定理在物理学其他领域的应用.......................15 3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分dx xx⎰∞sin 中的 3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分dx dx x x ⎰⎰∞∞22cos ,sin 中的应用3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的⎰∞->0),0(cos 2为任意实数b a bxdx x ea积分中的应用第四章 结语 (18)参考文献 (19)第一章 留数]1[1.1 引言留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 留数定理是留数理论的基础，也是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况.1.2 留数的定义如果函数)(z f 在z 0的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理0)(=⎰dz z f c（1）其中C 为z 0邻域内的任意一条简单闭合曲线.但是如果z 0是)(z f 的一个孤立奇点，且周线C 全在z 0的某个去心邻域内，并包围点，则积分⎰cdz z f )(的值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来 ⎰cdz z f )(＝ic π21- （2）我们把（留下的）这个积分值除以2πｉ后所得的数为)(z f 在0z 的留数,记作Res ]),([0z z f ，即Res ]),([0z z f =⎰cdz z f i )(21π （3） 从而有Res ]),([0z z f =c 1- （4） 此处的c 1-是函数)(z f 通过洛朗级数展开的第负一次项系数.1.3 留数定理定理一 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇1z ，2z ，...，n z 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ⎰cdz z f )(=2πi∑=nk 1]),([k z z f （5）利用这个定理，求沿封闭曲线C 的积分，就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.定理二 如果函数)(z f 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.1.4 留数求法及一般规则I 如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么 Res ]),([0z z f =0，以为此时)(z f 在0z 的展开式是泰勒展开式，所以c 1-=0II 如果0z 是本性奇点，那就往往只能把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求c1-.III 在0z 是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则 规则一 如果0z 为)(z f 的一级极点，那么Res ]),([0z z f =lim 0z z →（z-0z ）)(z f （6）规则二 如果0z 为)(z f 的m 级极点，那么Res ]),([0z z f ={})()(lim 0)!1(111z f z z dzd mm m z z m ---→- （7） 规则三 设)(z f =)()(z Q z P ，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果P(z)≠0，Q （z ）=0，Q '(z)≠0，那么0z 为)(z f 的一级极点，而Res ]),([0z z f =)(')(z Q z P （8） 规则四 ]0,1)1([Re ]),([Re 2zz f s z f s ⋅-=∞ （9）1.5 留数定理的拓展对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及． 如果用极限的方法，不但相当复杂且不能保证最终求出． 当被积函数满足一定的条件]2[，即区域D 的境界线为C ，函数 )(z f 在D 内解析且在C 上连续并满足Hölder 条件: a z z K z f z f |||)()(|2121-≤-，(0≤α＜1 ) ，其中K 、α 都是实常数，1z 、2z 为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式:)(),()(000C z z if dz z z z f ∈=-⎰π (10) 鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上． 函数 )(z f 在闭曲线l 所围的区域D 上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为∑∑⎰+=内上l l z f R i z f R i dz z f )(es )(es 2)(ππ （11）经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化．第二章 留数定理在电磁学中的应用]3[2.1 安培环路定理及其与留数定理的区别电磁学中安培环路定理的表述：磁感应强度B 沿任何闭合琦璐L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 u 0倍.即⎰∑==⋅L a k k I u l d B 1（12）其中电流I 的正负规定如下；当穿过回路L 的电流方向与回路L 的环路方向服从右手法则时，I>O ，反之，I<O.该定理与留数定理虽然是属于不同领域中的定理．但是它们在数学形式上有着极其相似的形式.(12)式和(5)式的左边都是沿着某一闭合回路的线积分，面其右边又都是表示某些标量的代数和．而这些量都直接同方程左边的函数有着某种内在的联系.从以上的分析我们能否得出；直接利用复变函数的方法导出电磁学中的安培环路定理．而不要直接计算线积分？ 回答是肯定的.2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导我们知道留数定理是适用于复数领域，而安培环路定理中的磁感应强度B是矢量，因此不能直接将留数定理应用于电磁学中的安培环路定理，必须重新构造一个复数场才能应用.为此我们考虑一无限长截流导线周围空间的磁场分布，如图1所示.图1 无限长截流导线周围空间的磁场分布设无限长载流导体中的电流为I ，电流的方向指向纸面的外部．由电磁学知，空间的磁感应强度B为202/r r I u B π= （13） 其中r 为极径。
《留数方法在组合恒等式证明中应用》范文
《留数方法在组合恒等式证明中应用》篇一留数方法在组合恒等式证明中的应用一、引言在数学中，组合恒等式是描述各种不同类型对象的排列、组合与规律之间关系的一种重要表达方式。
它们不仅具有深刻的数学价值，而且对于各种数学问题和现实生活中的决策模型化都有重大影响。
随着数学的进步，不断有新的证明技巧被用于揭示和证明这些恒等式，其中，留数方法就是一种强有力的工具。
本文旨在深入探讨留数方法在组合恒等式证明中的具体应用，分析其独特性和适用性。
二、留数方法概述留数理论，或称剩余定理，是一种代数计算理论。
其主要应用在多项式的除法以及特殊点上的函数值求解上。
具体到本文所提及的组合数学领域，留数方法主要用于通过特定的函数和变量关系，将复杂的组合问题转化为更易于处理的形式，从而得出结论。
三、留数方法在组合恒等式证明中的应用（一）对称性的利用在对称性强的组合恒等式中，通过合理构造含变量x的幂级数和等式两边互换对应的变量形式，运用留数的性质得出相关变量的求导法则与因子的提取技巧。
这个过程中通过精心挑选系数函数的因式和生成函数的属性可以构建相应的模型进行问题转换，以此来降低问题难度，找到更好的求解方法。
（二）用于分析概率论问题在概率论的某些问题中，往往涉及到大量可能的情况和复杂的关系。
这时我们可以通过建立合适的函数模型，然后利用留数方法来计算一些特定的参数值（如期望值、方差等），进而推导出组合恒等式。
这一过程中，留数方法能够帮助我们更好地理解问题的本质和结构，从而找到更有效的解决方案。
（三）解决组合问题中的递归关系在解决一些涉及递归关系的组合问题时，我们可以通过建立相应的生成函数并利用留数方法找出这些函数的根或零点。
然后通过这些根或零点我们可以进一步得出关于原始问题的组合恒等式。
这种方法的优点在于可以处理非常复杂的递归关系，且易于理解和实现。
四、实例分析为了更清晰地展示留数方法在组合恒等式证明中的应用，我们可以考虑一个具体的例子：使用留数方法证明二项式定理的对称性恒等式。
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
留数理论及其在计算实积分中的应用
指导教师：论文题目：留数理论及其在计算实积分中的应用学院：专业：班级：学号：姓名：留数理论及其在计算实积分中的应用摘要：留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物。
留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法。
在此主要探讨留数定理对实积分的计算。
把求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算。
本文主要介绍留数定义、留数定理定义、留数计算方法、利用留数定理计算实积分的方法。
关键词：留数，留数定理，实积分。
引言：留数的一个很重要的应用是计算一些特殊类型的实积分。
如，在研究阻尼振动时计算积分dx x x sin 0⎰∞；在研究光的衍射时，需要计算菲涅尔积分dx 2sinx 0⎰∞；在热学中需要计算积分⎰∞-0cos e bxdx ax （a>0，b 为任意实数）等。
如果用实函数分析中的方法来计算这些积分几乎是不可能的，即便能计算某些积分，过程也很繁琐且易出错。
因此，利用留数定理将实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分来进行计算，就相对简单多了。
要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，实积分可化为某个沿闭路的积分。
下面主要介绍留数及留数定理的定义和计算，还有利用留数定理计算类型为⎰πθθ20)sin ,(cos R ，dx e x Q x P dx x i a -)()(,Q(x )P(x )⎰⎰+∞∞-+∞∞（a>0）的实积分和积分路径上有奇点的积分。
另外还会介绍利用留数定理计算物理学中常用的实积分。
一、留数 1.1留数定义设0z 是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在0z 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数1-C 称为f(z)在0z 处的留数。
记作Res[f(z),0z ],即 Res[f(z),0z ]=1-C 。
显然，留数1-C 就是积分⎰c dz z f )(i21π 的值，其中C 为解析函数f(z)在0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线。
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石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。
综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。
同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。
随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。
因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。
随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1. 引言·············································2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )+∞−∞e imx dx 的积分················3.4 计算形如∫P (x )Q (x )+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )+∞−∞sin mxdx 的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。
其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。
留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。
此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。
2.留数留数的定义及留数定理如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有∫f(z)Cdz=0但是，如果a是f(z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分∫f(z)Cdz的值，一般说来，不再为零。
并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。
概括起来，我们有定义设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心领域0< |z−a|<R内解析，则称积分1 2πi ∫f(z)τdz(τ:|z−a|=ρ,0<ρ<R)为f(z)在点a的留数，记为f(z)z=aRes由柯西积分定理知道，当0<ρ<R时，留数的值与ρ无关，利用洛朗系数公式，有1 2πi ∫f(z)dz=τc−1即f(z)z=aRes=c−1这里c−1是f(z)在z=a处的洛朗展式中1z−a这一项的系数。
留数的求法如果z0为f(z)的简单极点，则Res[f(z),z0]=limz−z0(z−z0)f(z)法则2：设f(z)=P(x)Q(X)，其中P(x),Q(x)在z0处解析，如果P(z)≠0，z0为Q(z)的一阶零点，则z0为f(z)的一阶极点，且Res[f(z),z0]=P(z)Q′(Z)法则3：如果z0为f(z)的m阶极点，则Res[f(z),z0]=1(m−1)!limz−z0d m−1dz[(z−z0)m f(z)].例 1 求函数f(z)=e iz1+z2在奇点处的留数解f(z)有两个一阶极点z=±i，于是根据法则得Res[f,i]=P(i)Q(i)=e i22i=−i2eRes[f,i]=P(−i)Q′(−i)=e i2−2i=i2e例 2 求函数f(z)=e izz(1+z2)2在奇点处的留数解f(z)有一个一阶极点z=0与两个二阶极点z=±i，于是由法则可得Res(f,0)=limz→0e iz(1+z2)2=1Res(f,i)=limz→i [(z−i)2?e izz(1+z)]′=limz→i[e izz(1+z)]′=−34eRes(f,−i)=limz→i [e izz(z−i)]′=6+i4e函数在无穷远点的留数定义设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在圆环域R<|z|<+∞内解析，则称12πi ∮f (z )dz (C:|z |=ρ>R )C为f (z )在点∞的留数，记为Res [f (z ),∞]，这里C −是指顺时针方向 （这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。
如果f (z )在R <|z |<+∞的洛朗展开式为f (z )=∑C n z n∞n=−∞，则Res [f,∞]=−C −1这里，我们要注意，z =∞即使是f (z )的可去奇点，f (z )在z =∞的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。
定理 如果f (z )在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内） 为z 1,z 2,?z n ,∞，则f (z )在各点的留数总和为零 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则 法则 Res [f (z ),∞]=−Res [f (1z )?1z 2,0]例3 求下列函数在所有孤立奇点处的留数： （1）z 2sin 1z； （2）1sin1z；分析 对于有限的孤立奇点a ，计算留数Res [f (z ),a ]最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项C −1(z −a )−1的系数C −1。
但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。
例如当a 为可去奇点时，Res [f (z ),a ]=0（切记当a =∞时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。
对于无穷远点的留数Res [f (z ),∞]，一般是寻求f (z )在R <|z |<+∞内洛朗展开式中负幂项C −1z −1的系数变号−C −1，也可转变为求函数−1z 2f (1z)在z =0处的留数，还可以用公式Res [f (z ),∞]=−∑Res [f (z ),a k ]n k=1，其中a 1,a 2,a 3,?a n 为f (z )的有限个奇点。