第四章 留数定理及其应用 - z z
04 留数理论及其应用
数学物理方法
物理学院 邓胜华
第四章 留数理论 一、留数定理 二、利用留数理论求积分 三、在无穷远点的留数 四NG S.H
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物理学院 邓胜华
18:53:44
第 4 章 留数理论
一、留数的引入
设 z 0 为 f ( z )的一个孤立奇点，
z0 的某去心邻域：0
证
f (z) cm (z z0 )m c2 (z z0 )2
c 1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
C1 C2 Cn
2πiRes[ f ( z ), z1 ] Res[ f ( z ), z2 ] Res[ f ( z ), zn ]
1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2πi 2πi C 2 2πi C n 2πi C 1
10/15/2015 DENG S.H 14/41
,
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第 4 章 留数理论 1 2π 1 iθ iθ f ( ρ e ) ie dθ Res[ f ( z),] f ( z ) d z 0 2πi 2i C 1 2π 1 i f i i d . 2π i 0 re re
P ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 ,
P ( z0 ) 则有 Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 )
论文留数定理及其应用
石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。
综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。
同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。
随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。
因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。
随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1. 引言·············································2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )+∞−∞e imx dx 的积分················3.4 计算形如∫P (x )Q (x )+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )+∞−∞sin mxdx 的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。
第四章留数定理§4.1留数定理
解于
z → nπ (n为整数，包括零)，有sin z → 0，f (z) → ∞。因此，z0 = nπ
是极点.
lim [(z − nπ ) f (z)] = lim z − nπ .
z →nπ
z→nπ sin z
应用罗毕达法则确定上式右边的极限,
lim [(z
z →nπ
−
nπ ) f
(z)] =
lim+Βιβλιοθήκη "+
z
+
1
⎤ ⎥⎦
=
lim
z →1
z n−1
+
1 zn−2 +"+
z
+1
=
1. n
另解
应用 (4.1.9) ,
( ) ⎡
lim⎢ z→1 ⎢⎣
z
n
1 −
1
′
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
lim
z →1
1 nz n
−1
=
1. n
因此,在单极点 z0 =1 留数是 1 n .
例2 确定函数 f (z)=1 sin z的极点,求出函数在这些极点的留数。
点的留数:
( ) Re
sf
⎜⎛ ⎜⎝
−1
+
1−ε 2 ε
⎟⎞ ⎟⎠
=
lim
z → z0
1 εz2 + 2z + ε
′
= lim 1 = 1 z→z0 2εz + 2 2 1 − ε 2
应用留数定理, ∫ dz z =1 εz2 + 2z + ε
= 2πi Re sf (z0 ) = 2πi
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
第四章 留数定理及其应用
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
论文留数定理及其应用
论文留数定理及其应用 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。
综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。
同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。
随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。
因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。
随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1.引言·············································2.留数·············································2.1留数的定义及留数定理························2.2留数的求法··································2.3函数在无穷远处的留数························3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )+∞−∞e imx dx的积分················ 3.4 计算形如∫P (x )Q (x)+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )+∞−∞sin mxdx 的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分····················参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。
第4章留数定理及其应用
在 内除有限个孤立奇点 外解析，则： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
：在 的无心邻域0k z b <-数的系数a ： 的邻域内罗朗展开式3在 内，以各个奇点 为圆心，作小圆周别包围各奇点 外边界线成闭复通区域。
分别在各个 的无心邻域0k z b R <-<中将(1)方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。
留数定理：将上述两者建立了一种关系。
(2)要计算解析函数的积分，关键：计算留数；(3)留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；(4)是L所包围的f(z)的所有奇点，而不是f(z)所有的奇点。
4二、留数的计算方法针对不同类型的奇点，有不同的计算公式，见以下公式表或教材p78[表4-1]。
56怎样求 ？两边乘 得：1)(m m b f a z -++-即)-=z b f zlim()()lim(对本性奇点，没有简单的公式，要在展开成罗朗级数，求得10例：求在其奇点的留数。
解：(1)奇点为(均为一阶极点)(2) 计算Res f(2i )方法一：方法二：是f (z )的一阶极点，且满足：，即z = 2i 为的一阶零点。
方法二：是满足：，z=0为的一阶零点。
如果在展开(sin13以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留 数的概念可以推广到无穷远点的情形。
三、无穷远点的留数若函数f (z )在L 的外部除 点外解析，则 其中 称为函数f (z )在 点的留数， 是 f (z )在 点的无心邻域 的罗朗系数。
cw* 无穷远处的正方向为顺时针L14证明：将f (z )以∞点为中心展开成罗朗级数：()kkk f z a z∞=-∞=∑(实际上：令 以∞点展开函数相当于在t =0邻域内展开)为计算f (z )沿L 的积分，以原点o 为心作一个大圆 ， 则f (z )在L 与 包围的闭复通区域 内是解析的。
由柯西定理：L C Rcwccwccw15,11222()k k k a i ia iResf πδππ∞--=-∞=-=-=∞∑注：(1) ，与有限远处奇点的留数定义不同；(2) 奇点 是什么类型，是根据f (z )在 的无心邻域的罗朗级数有没有或有多少正幂项来划分的，所以可去奇点、极点、本性奇点都有可能有含 的项，也都可能没有含 的项。
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t ( z) ≤ ∑ t ( z) ≤ ∑
k =2 k =2
令
ε = 2 − 2kπ i
足够小，
t ( z ) < ∑ ε k −1 =
k =2
∞
ε ε +1
<1
故可应用
n 1 = ∑ (−t ) 公式。 1+ t n
(6)
sin
1 z
∞
(−1) k 1 2 k +1 1 1 1 1 1 f ( z) = ∑ ( ) = − + − ... 3 5 k z z z z (2 + 1)! 3! 5! k =0
第四章 留数定理及其应用 习题 1.4.1 1． 求下列各式函数在有限远处的孤立奇点处的留数
(1)
sin z z
z = 0 为可去奇点，
无负常数项。 Re sf
解：
(0) = 0 。
(2)
1 1+ z4
解： 一阶极点 由
1+ z4 = 0
确定：
z 4 = −1 = ei (2κ +1)π ,
zk = e
f ( z) = ez (2) 2 2 z ( z + 9)
解： z
1 = z m (1 + ) − m 最高次幂为 z m 。 1 z z m (1 + ) m z
z 2m
= 0 为二阶极点， z = ±3i 为一阶极点， z = ∞ 为本性极点。
1)
1 d ez 1 Re sf (0) = lim = 1! z →0 dz ( z 2 + 9) 9 ez ez Re sf (3i ) = lim = lim 3 z →3i 2 z ( z 2 + 9) + z 2 2 z z →3i 4 z + 18 z cos3 + i sin 3 sin 3 − i cos3 e3i = =− = −108i + 54i −54i 54
当
κ = 0 ， Re sf (e 4 ) =
κ = 1， Re sf (e
i 3π 4
i
π
1 + i − iπ 1 + i e = 4 2 4 2
π 1 + i −i 5 i (1 + i ) e 2 =− )= 4 2 4 2
κ = 2 ， Re sf (e κ = 3 ， Re sf (e
(3)
( z − 2kπ i )l z − 2kπ i z − 2kπ i g ( z) = ∑ = + + ... l ! 1! 2! l =1
∞
z − 2kπ i ( z − 2kπ i ) 2 + + ...] = ( z − 2kπ i ) [1 + 2! 3!
( z − 2kπ i )[1 + t ( z )]
*
∑ n ( −t )
n =1 ∞
∞
n −1
( −1)
1 = ( z − 2kπ i ) 2
∑ n[−
n =1
z − 2kπ i z − 2kπ i n−1 − ...] 2! 3!
项相乘， 没有
1 ( z − 2kπ i ) 2
与
n =1
1 ( z − 2kπ i )
项
1 与 n=2 ( z − 2kπ i ) 2 1 与 n≥3 ( z − 2kπ i ) 2
f ( z) =
1 1 1 = (e z − 1) 2 ( z − 2kπ i ) 2 [1 + t ( z )]2
1 d −1 −1 d ∞ ( −t ) n = = ∑ 2 2 ( z − 2kπ i ) dt 1 + t ( z ) ( z − 2kπ i ) dt n=0
−1 = ( z − 2kπ i ) 2
= 2π i (−1 + 2) = 2π i
(2)
∫
z
tgπ z dz z3
圆内有极点
解：
1 1 z = 0及 z = ,− 。 2 2
1)
1 tgπ z 1 sin π z Re sf (1/ 2) = lim ( z − ) 3 = lim ( z − ) 3 z →1/ 2 z →1/ 2 2 z 2 z cos π z
2)
3)
i cos3 + sin 3 e −3i = Re sf (−3i ) = − −108i + 54i 54i
4)留数定理
Re sf (∞) = −[Re sf (0) + Re sf (3i ) + Re sf (−3i )]
1 sin 3 − i cos3 sin 3 + i cos3 = −[ − − 9 54 54 1 = (sin 3 − 3) 27
∞
分式越来越大
g (l ) (2kπ i ) g ( z) = e −1 = ∑ ( z − 2kπ i )l l! l =0
g (0) (2kπ i ) = 0 dl z g (2kπ i ) = l (e − 1) = e2 kπ i = 1(l ≠ 0) z = 2 kπ i dz
(l )
代入：
Re sf (0) = 1
(7)
1 sin e1/ z z
1 1 1 f ( z ) = sin(1 + + + ...) z z 2! z 2 1 1 1 1 1 1 1 f ( z ) = [ (1 + + + − + + + ...)3 + ...] ...) (1 2 2 z 1! z 2! z z 2! z 3! 1 1 1 1 1 1 1 1 = [ − + − ...) − (1 − + − ...) + 2 (1 + ...) + ...] 2! 4! 2z z 1! 3! 5! z! Re sf (0) = a−1 = 1 −
(4) z
3
cos
1 z−2
解：
z = 2 为本性极点， z = ∞ 为极点 1 z − 2 3 ∞ (−1) k 1 2 k f ( z ) = z cos = 8(1 + ) ∑ ( ) z−2 2 k =0 (2k )! z − 2 z−2 z−2 2 z−2 3 ) + 3( ) +( ) ] = 8[1 + 3( 2 2 2 1 z−2 2 1 z−2 4 [1 − ( ) + ( ) + ...] 2 2 24 2
=
1 2az + 2 z = z1
=
2π i 1 2a (− + 1/ a − 1) + 2 a
πi
1 − a2
(4)
∫
1 sin dz z =1 z
1 ∞ 1 1 1 1 + ... sin = ∑ ( ) 2 k +1 = − z k =0 (2k + 1)! z z 3! z 3
解：为本性奇点
2. 计算积分 (1)
1 1 + + ... = sin1 3! 5!
∫
z
2z +1 dz 2z2 − z
解：
z = 0及 z =
1 z
为一阶极点
1 I = 2π i[Re sf (0) + Re sf ( )] 2 = 2π i[lim 2z + 1 2z +1 + lim ] z →0 z − 1 z →1/ 2 2 z
（二阶极点）
⎧ 1 ak z 2 k +1 (因为 t gπ z在z =0 领域解析，且为奇函数 ) tgπ z ⎪ = 23 ∑ k =0 1 2 3 ⎨ 1 z ⎪ = Z 3 [π z + 3 (π z )3 +15 (π z )5 +....] ⎩
∴ Re sf (0) = 0
Re sf (0) =
= lim
sin π z + ( z + 1/ 2)π cos π z −1 8 = = 3 3 z →−1/ 2 3 z cos π z − z π sin π z − (1/ 2) π sin( −π / 2) 1 − π π 8
2
３）在 z
= 0 的邻域展开 f ( z ) =
∞
tgπ z z3
∞
∴ Re sf (1) = a−1 = −1
(5)
1 (e z − 1) 2
解：
z = 2kπ i 为二阶极点
1 d ( z − i 2kπ ) 2 Resf (i 2kπ ) = lim (2 − 1)! z →i 2 kπ dz (e z − 1) 2
求导后是不定式， 方法二： 令
z
采用洛毕达法则，
由
i (2κ +1)π 4
, κ = 0,1, 2,3
f ( z) =
ϕ ( z) , ϕ ( zk ) = 1 ≠ 0 。 φ ( z)
z = zk +1)π 1 −3(2 k 4 = e 4
1 ∴ Re sf ( zk ) = 3 4z
π κ +1)π +i κ) 1 −i ( 3 1 + i − i (1+ 3 2 4 = e = e 2 。 4 4 2
故
项相乘
1 ( z − 2kπ i )
没有
项系数为－１
项相乘，
1 ( z − 2kπ i )
项
f ( z) 的
1 ( z − 2kπ i )
项系数为－１，
即
Re sf (2kπ i ) = −1
＊