第04章_留数定理
合集下载
04留数定理
所以I F cos x,sin x dx
0
2
z z 1 z z 1 dz F( , ) C 2 2i iz
(C : z 1, 逆时针)
数学物理方法
例1
计算积分
I
2
0
1 dx (0 1). 1 cos x
1 z z dz 解：设 z eix 则 cos x ;dx . 2 iz 1 dz 2 1 I 2 dz 1 C 1 ( z z ) / 2 iz i C z (2 / ) z 1
课堂练习
zdz 1 、计算积分 ( z 1)( z 2) (C : z 2 2, 逆时针). C
sin zdz (C : z 2 , 逆时针). 2 、计算积分 2 (2 z )( z ) C
数学物理方法
zdz 1 、计算积分 (C : z 2 2, 逆时针). ( z 1)( z 2) C
(C : z n (n为正整数), 逆时针).
解： f ( z ) tan z
1 sin z z ( k ) (k 0,1,2...) k 的奇点为： 2 cos z
皆为一阶极点，被包围于C中的奇点对应于：
k n, n 1,..., 1,0,1,...n 1,
解：
z1 1, z2 2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
zdz 2i[Re sf ( z1 ) Re sf ( z2 )] ( z 1)( z 2) C 2i[lim ( z 1) f ( z ) lim ( z 2) f ( z )]
z 1 z 2
z 2i z5 4z3
留数定理
l1 , l 2 , l 3 , l n
分别包围着 b1 , b 2 , b 3 , b n
留数定理 4
f ( z )d z
l
f ( z )d z
l1
f ( z )d z
l2
f ( z )d z
l3
l
f ( z )d z
ln
2 i[R e s f ( b1 ) R e s f ( b1 ) R e s f ( b n )]
留数定理 9
a m lim ( z z 0 ) f ( z ) 非 零 有 限 值 m 阶 极 点 存 在
m z z0
d
m 1 m 1
dz
[( z z 0 )
m
f ( z )] ( m 1) ! a 1
m! 1!
a0 (z z0 )
( m 1) ! 2!
21
类似地有
0
G ( x ) s in m x d x
2i
1
G ( x )e
im x
dx
这样，类型3的积分就转化为类型2的积分，只是要求
zF ( z ) e
im z
, zG ( z ) e
im z
当z在上半平面或实轴上趋于无穷时，一致地趋于0。
利用约当引理， lim
R
F ( z )e
留数定理 3
由前面的例题知
l
f ( z ) d z 2 ia 1
洛朗展开级数中负1次幂的系数称为函数 f ( z ) 在该奇点的 留数residue(残数),记为 R e sf ( z0 ) 有
分别包围着 b1 , b 2 , b 3 , b n
留数定理 4
f ( z )d z
l
f ( z )d z
l1
f ( z )d z
l2
f ( z )d z
l3
l
f ( z )d z
ln
2 i[R e s f ( b1 ) R e s f ( b1 ) R e s f ( b n )]
留数定理 9
a m lim ( z z 0 ) f ( z ) 非 零 有 限 值 m 阶 极 点 存 在
m z z0
d
m 1 m 1
dz
[( z z 0 )
m
f ( z )] ( m 1) ! a 1
m! 1!
a0 (z z0 )
( m 1) ! 2!
21
类似地有
0
G ( x ) s in m x d x
2i
1
G ( x )e
im x
dx
这样，类型3的积分就转化为类型2的积分，只是要求
zF ( z ) e
im z
, zG ( z ) e
im z
当z在上半平面或实轴上趋于无穷时，一致地趋于0。
利用约当引理， lim
R
F ( z )e
留数定理 3
由前面的例题知
l
f ( z ) d z 2 ia 1
洛朗展开级数中负1次幂的系数称为函数 f ( z ) 在该奇点的 留数residue(残数),记为 R e sf ( z0 ) 有
数学物理方法4留数定理
P 0
Res f (0) =
=1
Q(0)
15
例4
计算积分
tan zdz
z =n
(n为正整数).
解 因tan z = sin z = P(z) ; 只以 cos z Q(z)
z=k+1 2
k = 0, 1,
, n 1, n为一阶极点,
Res tan z
z =k + 1 2
=
sin z (cos z)'
• (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数；
• (3) bj(j=1,2,…)是 l 所包围的f(z)的所有奇点，而不是 f(z)所有的奇点。
6
例1
求
f (z) = z sin z z6
在 z = 0 的留数.
解: 采用洛朗展开式求 a1 :
z
sin z6
z
=
1 z6
z
z
z3 3!
+
Res
f
(1)
=
(2
1 lim
1)! z1
d dz
(z
1)2
ez z(z 1)2
=
lim
z1
d dz
ez z
=
lim
z1
e
z
(z z2
1)
=
0,
所以
ez
l
dz z(z 1)2
= 2 iRes
f (0) + Res
f (1)
= 2 i(1+ 0)= 2 i.
17
（三）无穷远点的留数
定义 设函数 f (z)在圆环域 R z +内解析，
l0
[工学]4-留数定理
![[工学]4-留数定理](https://img.taocdn.com/s3/m/337055848e9951e79b8927f0.png)
R R
一般，积分主值存在，不一定反常积分存在， 反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！ 本类型积分要计算的是积分主值。
22
计算积分主值 将f(x)在复平面上延拓成 f(z),则
R
f (z)dz f (x)dx f (z)dz
L
R
CR
由留数定理：
y
R
f (x)dx f (z)dz
R
极点 为 nπ，无穷多个单极点
lim
zn
( z
n
)
f
(
z)
lim
zn
z n
sin z
lim (z n )' lim 1 (1)n
zn (sin z)' zn cosz
例3：求
f
(z)
z 2i z5 4z3
的极点，以及在极点上的留数
解：
f
(z)
z 2i z3 z2 4
z3z
z 2i
第四章 留数定理
已讲：一个解析函数在它的解析区域内各 处的函数值有很强的内在联系。这突出 表现在柯西积分公式及其推论。
本章：讨论这种关系的另一种表现形式 解析函数的积分值与函数奇点的关系。
1
§4.1 留数定理
由柯西定理，若f(z)在l内解析， l f (z)dz 0 ，
若f(z)在l内有奇点， l f (z)dz ?
复习：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则
n
f (z)dz
f (z)dz 0.
l
i1 li
重要例题结论：
1
2i
l
dz
z
0, 1.
l不包围 l包围
1 (z )n dz 0.
04_留数定理
应用留数定理计算实变函数定积分 §4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
围道积分法 基本思想：实变函数定积分↔ 基本思想：实变函数定积分↔复变函数回路积分 y l2
l1 a 0 b x
∫
l
f ( z )dz = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( z )dz
l1 l2
几种类型实变定积分的计算方法
1 d m −1 Res f ( z0 ) = lim m −1 ( z − z0 ) m f ( z ) (m − 1)! z → z0 d z
3. 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 本性奇点的留数通过洛朗展开来计算 通过
ze z 例: Res , 2 z −1
dz 例：计算回路积分 ∫ z =1 2 ε z + 2z + ε
解：由 ε z 2 + 2 z + ε = 0 ⇒ f ( z ) =
( 0 < ε < 1)
1 ε z 2 + 2z + ε
的两个单
极点为： 极点为： −1 + 1 − ε 2 −1 − 1 − ε 2 z01 = , z02 = ε ε
ez 例: Res 2 , ∞ z −1 e 1 Res f (1) = , Res f (−1) = − e −1 2 2 e −1 − e Res f (∞) = 2
1 2 3 f ( z) = 1 − + 2 + 3 , z z z
∞
1 1 Resf (∞) = −Res f ⋅ 2 , 0 = 1 z z
2） f ( z ) = ）
e
2
1z
z −z
04_留数定理
+∞
推导
∫
+∞
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+∞ −∞
例：计算 I = ∫
+∞
1 dx （n为正整数） 2 n (1 + x )
黑板
此时，如果f(z)在实轴上存在有限个单极点，则 推导
∫
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+πi{f(z)在实轴上所有奇点的留数之和} 黑板
∑ Res f ( z ) + Res f (∞) = 0
k =1 k
n
1. lim f ( z ) = 0 a Res f (∞) = − lim[ z ⋅ f ( z )] z →∞ z →∞ 1 1 2. lim f ( z ) ≠ 0 a Res．f (∞) = − Res[ f ( ) 2 , 0] z →∞ z z
课堂练习：
∫
| z|= 2
ze z z eZ z − sin z f ( z ) d z; f ( z ) = 2 , 4 , , 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1) z6
设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域R<|z|<+∞内 解析，则定义函数f(z)在z=∞处的留数为 1 Res f (∞) = ∫L f ( z )dz 2πi 其中L: 积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点 的区域的正方向）.如果f(z)在z=∞的去心邻域R<|z|<+∞内 的洛朗级数为
1 d m −1 (3) Res f ( z0 ) = lim m −1 [( z − z0 ) m f ( z )] (m − 1)! z → z0 d z
留数定理
n 0
n 1
Re sf ( z0 )
(n 1)!
( n1) ( z0 )
4 若z0为f(z)的本性奇点，或阶数较高的极点， 或奇点性质不明确，则直接利用奇点去心邻域 的罗朗展开来求，不过只需要求a-1。
三 例题
z 2 1 例1 求 f ( z) 15 2 的 Re sf (0) z ( z 1)
0
（2）若 f ( z) z z ，且 (z ) 在z0处解析， 又 ( z ) 0 ，则 Re sf ( z0 ) ( z0 )
0
( z)
P( z ) （3） f ( z ) , Q( z )
z0是Q( z )的一阶零点 P( z ) 0. ,
P( z ) P( z0 ) Res f ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 Q( z ) Q' ( z 0 )
R
常数m 0，则有 m0 lim f (z)e dz 0 Imz 0 R C R
imz
y CR
• -R
R
o
x
+R
证：
CR F ( z )e
imz
dz C R F ( z )e
imR cos mR sin
imx my
n
2 i Res f (b j ) 2 i Res f (b j )
j 1 j 1
3 留数定理：
留数定理 设函数 f (z ) 在回路 l 所围区域 D上除有限 个孤立奇点 b1 , b2 , bn 外解析，在闭区域 D 上除
b1, b2 , bn 外连续，则
f ( z) dz 2 i Res f (b )
n 1
Re sf ( z0 )
(n 1)!
( n1) ( z0 )
4 若z0为f(z)的本性奇点，或阶数较高的极点， 或奇点性质不明确，则直接利用奇点去心邻域 的罗朗展开来求，不过只需要求a-1。
三 例题
z 2 1 例1 求 f ( z) 15 2 的 Re sf (0) z ( z 1)
0
（2）若 f ( z) z z ，且 (z ) 在z0处解析， 又 ( z ) 0 ，则 Re sf ( z0 ) ( z0 )
0
( z)
P( z ) （3） f ( z ) , Q( z )
z0是Q( z )的一阶零点 P( z ) 0. ,
P( z ) P( z0 ) Res f ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 Q( z ) Q' ( z 0 )
R
常数m 0，则有 m0 lim f (z)e dz 0 Imz 0 R C R
imz
y CR
• -R
R
o
x
+R
证：
CR F ( z )e
imz
dz C R F ( z )e
imR cos mR sin
imx my
n
2 i Res f (b j ) 2 i Res f (b j )
j 1 j 1
3 留数定理：
留数定理 设函数 f (z ) 在回路 l 所围区域 D上除有限 个孤立奇点 b1 , b2 , bn 外解析，在闭区域 D 上除
b1, b2 , bn 外连续，则
f ( z) dz 2 i Res f (b )
第四章留数定理§4.1留数定理
解于
z → nπ (n为整数，包括零)，有sin z → 0，f (z) → ∞。因此，z0 = nπ
是极点.
lim [(z − nπ ) f (z)] = lim z − nπ .
z →nπ
z→nπ sin z
应用罗毕达法则确定上式右边的极限,
lim [(z
z →nπ
−
nπ ) f
(z)] =
lim+Βιβλιοθήκη "+
z
+
1
⎤ ⎥⎦
=
lim
z →1
z n−1
+
1 zn−2 +"+
z
+1
=
1. n
另解
应用 (4.1.9) ,
( ) ⎡
lim⎢ z→1 ⎢⎣
z
n
1 −
1
′
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
lim
z →1
1 nz n
−1
=
1. n
因此,在单极点 z0 =1 留数是 1 n .
例2 确定函数 f (z)=1 sin z的极点,求出函数在这些极点的留数。
点的留数:
( ) Re
sf
⎜⎛ ⎜⎝
−1
+
1−ε 2 ε
⎟⎞ ⎟⎠
=
lim
z → z0
1 εz2 + 2z + ε
′
= lim 1 = 1 z→z0 2εz + 2 2 1 − ε 2
应用留数定理, ∫ dz z =1 εz2 + 2z + ε
= 2πi Re sf (z0 ) = 2πi
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学物理方法
第4章 留数定理
7
f(z)的洛朗展开应为 (2) 若z0为f(z)的m阶极点 am am1 a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) m m1 z z0 ( z z0 ) ( z z0 ) 用(z-z0)m遍乘各项
(z z0 )m f (z) am am1(z z0 ) a1(z z0 )m1 a0 (z z0 )m
k
k a ( z z ) k 0
f ( z )dz
k
k a ( z z ) k 0 dz
根据不定积分的重要结果： 0, (l不包围 ) 1 1 dz , (n 1) 2π i l z 1, (l包围 ) 1 n ( ) dz 0, (n 1) z 2π i l 上式右边除去k=-1的一项之外全为零， 而k=-1的一项的积分等于2πi，
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
13
例4：确定函数 f ( z ) ( z 2i) / ( z 5 4 z 3 ) 的极点，并求出 函数在这些极点的留数。 先对分母进行因式分解，并与分子约去公因式，得 解：
14
1 (2) lim f ( z ) lim 3 z0 0也是f ( z )的极点。 z z0 z 0 z ( z 2i)
1 1 lim z f ( z) lim z 0 z 0 z 2i 2i
z 2i z 2i 1 z 2i 3 3 f ( z) 5 3 2 3 z 4z z ( z 4) z ( z 2i)( z 2i) z ( z 2i)
1 (1) lim f ( z ) lim 3 z0 2i是f ( z )的极点。 z z0 z 2i z ( z 2i)
数学物理方法
第4章 留数定理
12
例3：确定函数 f ( z ) 1/ sin z 的极点，并求出函数在这些 极点的留数。
1 解： lim f ( z ) lim z nπ z nπ sin z
z0 nπ是f ( z )的极点。
z nπ lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z nπ sin z
l
f ( z )dz 2πiResf ( z0 )
a1 Resf ( z0 )
(3) 若l所围区域有f(z)的n个奇点b1, b2 , b3 , …., bn ，则作 回路l1, l2, l3, …., ln 分别对应包围b1, b2 , b3 , …., bn ，根据 复连通区域的Cauchy定理，有
l
f ( z )dz f ( z )dz
l0
z0
l0
l
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
3
l
l
f ( z )dz f ( z )dz
l0
l0
f ( z)
将洛朗展开代入右端，逐项积分，得
j 1
n
称为留数定理。
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
5
留数定理：设函数f(z)在回路l所围区域B上除去有限个孤 立奇点b1, b2 , b3 , …., bn 以外解析，在闭区域 B 上除去b1, b2 , b3 , …., bn 以外连续，则
数学物理方法
第4章 留数定理
11
例2：求 f ( z ) 1 / ( z n 1) 在z0=1的留数Resf(1) 另解：
P ( z ) P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z ) lim ( z z0 ) z z0 z z0 Q( z ) Q '( z0 )
l
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l1 l2 l3 ln
b2
l2
b3
2πi[Resf (b1) Resf (b2) Resf (b3) Resf (bn )]
l3
b1
l1
l
2π i Resf (b j )
z0
l
f ( z )dz 2πia1
l0
l
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
4
可见，在洛朗级数中，(z-z0)-1项的系数a-1特别重要，称为 函数f(z)在奇点z0的留数(残数)，记作 Resf ( z0 ) ，因此
数学物理方法
第4章 留数定理
1
第4章 留数定理
§4.1 留数定理 §4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
2
§4.1 留数定理(Residue Theorem) 考虑回路积分
l
f ( z )dz
为0/0型极限，利用洛必达法则，
( z nπ)' 1 n lim (1) lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z nπ (sin z ) ' z nπ cos z
(1) n 为非零有限值，因此，z0 nπ是f ( z )的单极点，
n 的留数就是 f ( z )在单极点z0 nπ (1) 。
WangChengyou © Shandong University, Weihai
b2
l2
b3
b1
l3
l1
l
数学物理方法
第4章 留数定理
6
f(z)的洛朗展开应为 (1) 若z0为f(z)的单极点 a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 z z0 用(z-z0)遍乘各项
l
f ( z )dz 2 π i Resf (b j )
j 1
n
函数f(z)的回路积分归结为回路内所围各奇点的留数之和。 留数的计算：若能在以奇点为圆心的圆 环域上将函数展开为洛朗级数，取它的 -1次幂的系数即可。但是求展开式比较 麻烦。能否不展开而直接求留数？ 对于极点，是可以的。如何求a-1 = Resf(z0)？
洛必达法则
P ( z ) lim [( z z0 ) P ( z )]' P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 z z0 Q '( z0 ) Q '( z ) Q ( z )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
2
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
z z0
lim ( z z0 ) f ( z ) 非零有限值 a1 Resf ( z0 )
P( z ) , P( z )和Q( z )都在z0解析, z0是Q ( z )的一阶零点。 若f ( z ) Q( z ) P( z0 ) 0, 从而z0是f ( z )的一阶极点,
z z0
2. 计算极点的留数 ( z z0 ) f ( z ) (1) 若z0为f(z)的单极点 Resf ( z0 ) lim z z
0
P ( z ) P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 Q( z ) Q '( z0 ) (2) 若z0为f(z)的m阶极点 1 d m1 m Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z ) m 1 z z0 ( m 1)! dz
z-1的系数a-1即为留数 Resf (0) 1
1 z
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
10
例2：求 f ( z ) 1 / ( z n ) lim n z0 1是f ( z )的极点。 z z0 z 1 z 1 1 1 或者f ( z ) n = z 1 ( z 1)( z n 1 z n2 z 1)
Resf (1) lim ( z 1) f ( z )
z 1
1 lim ( z 1) n z 1 z 1
1 1 1 lim n1 lim n z 1 ( z 1)' n z 1 nz
WangChengyou © Shandong University, Weihai
可见z0 1是f ( z )的单极点。
Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
1 lim ( z 1) n 1 n2 z 1 ( 1)( 1) z z z z 1 n
WangChengyou © Shandong University, Weihai
z z0 m lim ( z z ) f ( z) 0 非零有限值 a m Resf ( z0 )
f(z)在m阶极点z0的留数a-1 = Resf(z0)是(z-z0)m-1项的系数， 该系数可以通过对(z-z0)mf(z)求m-1阶导数求得，