大物习题答案1

习 题 一

1—1 一质点在平面xOy 内运动，运动方程为x =2t ，2219t y -= (SI)。(1)求质点的运动轨道；(2)求t =1s 和t =2s 时刻质点的位置矢量；(3)求t =1s 和t =2s 时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x 、y 分量各为多少?(5)在什么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大?

[解] 质点的运动方程:t x 2=，2219t y -= (1)消去参数t ，得轨道方程为: 22

119x y -

= (2)把t=1s 代入运动方程，得

j i j i r 172)219(22+=-+=t t 把t =2s 代入运动方程，可得

j i j i r 114)2219(222+=?-+?= (3)由速度、加速度定义式，有

4

/,0/4/,2/-====-====dt dv a dt dv a t dt dy v dt dx v y y x x y x

所以，t 时刻质点的速度和加速度为 j i j i t v v v y x 42-=+= j j i a 4-=+=y x a a

所以，t=1s 时，j i v 42-=，j a 4-= t=2s 时，j i v 82-=，j a 4-= (4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有 0=?v r

即 0]42[])219(2[2=-?-+j i j i t t t 整理，得 093=-t t

解得 3,3;0321-===t t t (舍去) m 19,0,s 011===y x t 时 m 1,m 6,s 322===y x t 时 (5)任一时刻t 质点离原点的距离 222)219()2()(t t t r -+= 令d r/d t =0 可得 t =3

所以，t =3s 时，质点离原点最近 r (3)=6.08m

1—2 一粒子按规律59323+--=t t t x 沿x 轴运动，试分别求出该粒子沿x 轴正向运动；沿x 轴负向运动；加速运动，减速运动的时间间隔。

[解] 由运动方程59323+--=t t t x 可得质点的速度

()()1339632+-=--==

t t t t dt

dx

v x (1) 粒子的加速度()16+==t dt dv

a (2)

由式(1)可看出 当t >3s 时，v >0，粒子沿x 轴正向运动； 当t <3s 时，v <0，粒子沿x 轴负向运动。

由式(2)可看出 当t >1s 时，a >0，粒子的加速度沿x 轴正方向； 当t <1s 时，a <0，粒子的加速度沿x 轴负方向。

因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t >3s 或0

1—3 一质点的运动学方程为2t x =，()2

1-=t y (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)

在2=t s 时，质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程 2t x = (1)

()2

1-=t y (2)

消去参数t ，可得质点的轨迹方程

1-=x y

(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t dt

dx

v x 2==

()12-==t dt dy v y

所以 ()j i j i v 122-+=+=t t v v y x (3)

222==dt

x

d a x 222==dt y d a y

所以 j i a 22+= (4)

把t =2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 j i v 24+= j i a 22+=

1—4 质点的运动学方程为t A x ωsin =，t B y ωcos =，其中 A 、B 、ω为正常数，质点的轨道为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。

[证明] 由质点的运动方程 t A x ωs i n

= (1) t B y ω

c o s = (2) 对时间t 求二阶导数，得质点的加速度 t A dt x

d a x ωωsin 222-==

t B dt

y

d a y ωωcos 222-==

所以加速度矢量为 ()r j i a 22cos sin ωωωω-=+-=t B t A 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心

1—5 质点的运动学方程为()

j i r 222t t -+= (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t ＝2s 时质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程，可得 22,2t y t x -==

消去参数t ，可得轨道方程

24

12x y -

= (2) 由速度、加速度定义式，有

j i r v t t 22d /d -==

j r a 2d /d 22-==t

将t=2s 代入上两式，得

j i v 42-= ， j a 2-=

1—6 已知质点的运动学方程为t r x ωcos =，t r y ωsin =，ct z =，其中r 、ω、c 均为常量。试求：(1)质点作什么运动；(2)其速度和加速度?(3)运动学方程的矢量式。

[解] (1) 质点的运动方程 t r x ωc o s =(1)

t r y ωsin =(2)

ct z = (3)

由(1)、(2)消去参数t 得 222r y x =+

此方程表示以原点为圆心以r 为半径的圆，即质点的轨迹在xoy 平面上的投影为圆。 由式(2)可以看出，质点以速率c 沿z 轴运动。

综上可知，质点绕z 轴作螺旋运动。

(2) 式(1)、(2)、(3) 两边对时间t 求导数可得质点的速度

t r dt dx

v x ωωsin -==

t r dt dy v y ωωcos ==

c dt

dz v z ==

所以k j i k j i v c t r t r v v v z y x ++-=++=ωωωωcos sin 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度

t

r dt x

d a x ωωcos 222-==

t r dt

y

d a y ωωsin 222-==

0=z a

所以 j i k j i a t r t r a a a z y x ωωωωsin cos 22--=++= (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式

k j i k j i r ct t r t r z y x ++=++=ωωsin cos

1—7 湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示)。当收绳速度为v 时，试问：(1)船的运动速度u 比v 大还是小?(2)若v ＝常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?

[解] (1) 由教材上图知 222h s L +=

两边对t 求导数，并注意到h 为常数，得 dt

ds s dt dL L

22= 又dt ds u dt dL v /,/-=-= 所以 Lv=su

(1)

即 u/v=L/s>1

因此船的速率u 大于收绳速率v 。

(2) 将(1)式两边对t 求导，并考虑到v 是常量 dt du

s

dt ds u dt dL v

+= 所以 sa v u =-22

即 32222//)(s v h s v u a =-=

1—8 质点沿x 轴运动，已知228t v +=，当8=t s 时，质点在原点左边52m 处(向右为x 轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位置；(3)分析质点的运动性质。

[解] (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t

又 v=dx/dt 所以 dx=vdt 对上式两边积分，得

???++=+==c t t dt t

vdt dx 32

)3/2(8)28(

由题知 5283

2883

8-=+?+?==c x t (m) 所以 c = - 457.3m

因而质点的运动方程为： 33

283.457t t x ++-= (2) )m/s (802820=?+=v

)m (3.45703

2083.4573

0-=?+

?+-=x (3) 质点沿X 轴作变加速直线运动，初速度为8m/s ，初位置为-457.3m.

1—9 一物体沿x 轴运动，其加速度与位置的关系为a =2+6x 。物体在x =0处的速度为

s m 10，求物体的速度与位置的关系。

[解] dx

dv v dt dx dx dv dt dv a ===

adx vdv = 对上式两边积分得

()???+==dx x adx vdv 62

化简得 c x x v '++=462 由题意知 10040620

='+?+?==c v

x

100='c

故物体的速度与位置的关系为 100462++=x x v

1—10 一质点在平面内运动，其加速度j i a y x a a +=，且x a ，y a 为常量。(1)求t -v 和t -r 的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t =0时，0r r =，0v v =。

[解] 由 dt

d v

a =

得 dt a v = 两边积分得 ?

?

=t

dt 00

a v v

v

因x a ，y a 为常量，所以a 是常矢量，上式变为 t a v v =-0 即t a v v +=0 由 dt

d r

v =

得 ()dt t dt d a v v r +==0 两边积分，并考虑到0v 和a 是常矢量， ()??+=t

dt t d 0

00

a v r r r

即 2002

1t t a v r r ++=

(2) 为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x 轴)与a 平行，并使质点在t =0时刻位于坐标原点。

这样 212

1

t a t c x x += (1) t c y 2= (2)

由前面推导过程知 x v c 01= y v c 02=(3) 联立 (1)~(3)式，消去参数t 得

???? ??+=???? ?

?+x x

x y x y x a v x a v a v v y 222

0202

00

此即为轨道方程，它为一条抛物线。

1—11 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bv g a -=，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t =0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?

[解] (1) 由dt dv a /=得

dt Bv

g dv

=- 两边积分，得

??=-dt Bv g dv

即 c Bt Bv g ln )ln(+-=-

由t=0时v=0 得 c=g

所以，物体的速率随时间变化的关系为:

)1(Bt e B

g

v --=

(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0

由此得收尾速率 v=g/B

1—12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a ，此后随t 均匀增加，经时间τ后，加速度变为2a ，经τ2后，加速度变为3a ，……。求经时间τn 后，该质点的加速度和所走过的距离。

[解] 由题意可设质点的加速度与时间t 的关系为kt a a t += (k 为常数)

又 a k a a 2=+=ττ 得 τ

a

k =

所以a t t a

a a t ??

? ??+=+

=ττ1 故当τn t =时，质点的加速度 ()a n a n 1+=τ 由dt

dv

a =

得 adt dv = 对上式两边积分得

???

?? ??+=t v

adt t dv 001τ 所以 2

2t a at v τ

+= 又 dt

dx

v =

v d t dx = 对上式两边积分

???

?

? ??

+=τ

τn s

dt t a at dx 0202 经过时间τn 后，质点所走过的距离

()2203236162

1

τττa n n t a at s n +=??? ??+=

1—13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a =-ky ，k 为常数，y 是离开平衡位置的坐标值。设0y 处物体的速度为0v ，试求速度v 与y 的函数关系。

[解] 由dy dv v dt dy dy dv dt dv a ===

a d y v d v =

对上式两边积分??

?

-==

y

y y

y v

v kydy ady vdv 0

即

()()2022

022

121y y k v v --=- 故速度v 与y 的函数关系为

()22

0202y y k v v -+=

1—14 一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即2kv a -=， k 为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶了x 距离时

速度的大小。

[解] dx dv v dt dx dx dv dt dv a ===

dv a

v

dx =

对上式两边积分

??

?-==v v v

v x kv

dv dv a v

dx 0

化简得 0

ln 1v v

k x -=

所以 kx e v v -=0

l —15 一粒子沿抛物线轨道2x y =运动，且知3=x v m 。试求粒子在3

2

=x m 处的速度和加速度。

[解] 由粒子的轨道方程 2x y = 对时间t 求导数 x y xv dt

dx

x dt dy v 22===

(1) 再对时间t 求导数并考虑到x v 是恒量 2

2x y

v dt

dv a == (2) 把3

2=x m 代入式(1)得 s m 4332

2=??=y v

所以，粒子在3

2

=x m 处的速度为

m 543222

2=+=+=x x v v v

与x 轴正方向之间的夹角 8533

4

arctg

arctg

0'===x

y v v θ 由式(2)得粒子在3

2

=

x m 处的加速度为 22m 1832=?=a

方向沿y 轴的正方向。

1—16 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置342t +=θ。(1)在t =2s 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，θ值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?

[解] 质点的角速度 212d /d t t ==θω

质点的线速度 222.11210.0t t R v =?==ω

质点的法向加速度a n ，切向加速度a t 为

42224.1410.0)12(t t R a n =?==ω (1)

t dt dv a t 4.2/== (2) (1)把t=2s 代入(1)式和(2)式，得此时

)

m/s (8.424.2)m/s (103.224.142224=?=?=?=t n a a

(2)质点的总加速度 2/1622

)136(4.2+=+=t t a a a t n

由 a a t 2

1

= 得 1364.25.04.26+?=t t t

解得 t=0.66s

所以 )r a d (15.3423=+=t θ

(3) 当t n a a =即 t t 4.24.144=时

有 t=0.55(s)

1—17 火车在曲率半径R ＝400m 的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度

2.0a t =2m ，求火车的瞬时速率为m 10时的法向加速度和加速度。

[解] 火车的法向加速度 22

2s m 25.0400

10===

R v a n 方向指向曲率中心

火车的总加速度 ()

22222

m 32.02.025.0=-+=+=t n a a a

设加速度a 与速度v 之间的夹角为θ，则

041282

.025

.0arctg arctg

0'=-==t n a a θ

1—18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上运动，周期等于地球的自转周期T =24h 。求卫星离开地面的高度和卫星的速率(距地球中心r 处的重力加速度

2

??

?

??=r R g a r ，e R 是地球的半径。)

[解] 设同步卫星距地球的中心为r ，引导速率为v ，则

T

r

v π2=

(1) 2

2??

?

??==r R g a r v e (2) 解式(1)、(2)组成的方程组得

()()m 1022.443600241063788.94732

2

2

33

222?=????==π

πT gR r e s m 1007.33600

241022.42237

?=??==ππT r v

所以，卫星距地面的高度

m 1058.31063781022.4737?=?-?=-=e R r h

1—19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径e R r 3

1

= (e R 为地球半径)作圆周运动，

并且已知这时月球对登月舱的引力加速度g a 12

1

=

。试计算登月舱的速率和飞行一周所需要的时间。 [解] 设登月舱的速率为v ，周期为T ，则

a r v =2 即g R v e 12

132= (1) v T r

=π2 即v T

R e =32π (2) 解式(1)(2)组成的方程组得

s m 1032.110637836

8

.93633?=??==

e R g v s 1001.136

8.931063782363243

?=?==ππg R T e

1—20 如图所示，一卷机扬自静止开始作匀加速运动，绞索上一点起初在A 处经3s 到达鼓轮的B 处，然后作圆周运动。已知AB =0.45m ，鼓轮半径R =0.5m ，求该点经过点C 时，其速度和加速度的大小和方向。

[解] 设指点的切向加速度为t a ，经过B 点时的速率为B v ，法向加速度为n a ，由题意知

R t a AB B

t β

ω2212

2== (1)

R

a t

=

β (2) πβωω222=-B C (3)

R v C C ω= (4)

联立以上四式，得

m 64.05.03

5.045

.0435.045.02422

2

22=???+??? ????=+??? ??==ππωR Rt AB Rt AB R v C C R v a C n 2

= 22t

AB a t =

22

2

222

s m 83.05.064.0345.02=?

??

?

??+??? ???=+=n

t

a a a 2833

0.4520.5

0.64arctg arctg 02

2'=?==n t a a θ

1—21 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律为2

02

1bt t v s +

=，其中0v 和b 都是正常量。求t 时刻齿尖P 的速度及加速度的大小。 [解] (1)设时刻t 齿尖P 的速率为v ， 切向加速度t a ，法向加速度n a ，则

R

bt v R v a b

t v a bt

v t s v n t /)(/d /d d /d 2

02

0+====+==

所以，t 时刻齿尖P 的加速度为

24022

2/)(R bt v b a a a n t ++=+=

(2)当t n a a =时，有

R bt v b /)(20+=

解得 b

v bR t 0

-=

1—22 一物体作斜抛运动，抛射角为α，初速度为0v ，轨迹为一抛物线(如图所示)。试分别求抛物线顶点A 及下落点B 处的曲率半径。

[解] 物体在A 点的速度设为A v ，法向加速度为nA a ，曲率半径为A ρ，由题图显然有

αcos

0v v A = (1)

nA a =g (2)

A a v n A

A

=ρ2 (3)

联立上述三式得 g

v A α

ρ220c o s =

物体在B 点的速度设为B v ，法向加速度为nB a ，曲率半径为B ρ，由题图显然有

0v v B = (4) αcos g a nB = (5)

B a v n B

B

=ρ2 (6)

联立上述三式得 αρc o s

20

g v B =

1—23 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A 处，速度的大小为v ，其方向与水平线的夹角为030，求点A 的切向加速度和该处的曲率半径。

[解] 设A 点处物体的切向加速度为a t ，法向加速度为a n ，曲率半径为ρ，则

n t a a g +=

由图知 g g a t 5.030sin 0-=-= 2/330cos 0

g g a n ==

又 n a v =ρ2

所以 g v g v a v n 3322

/32

22===ρ

1-24 一火炮在原点处以仰角0130=θ、初速10v s m 100=发射一枚炮弹。另有一门位于

600=x m 处的火炮同时以初速8020=v m 发射另一枚炮弹，其仰角2θ为何值时，可望能与第

一枚炮弹在空中相碰?相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)?

[解] 设经过时间t 后，炮弹1、炮弹2的坐标分别为()11,y x 、()22,y x ，则 对炮弹1 t v x 1101cos θ= 211012

1sin gt t v y -

=θ 对炮弹2 t v x x 22002cos θ+= 222022

1sin gt t v y -=θ 当炮弹1、炮弹2相碰时21x x = 21y y = 即 t v x t v 2200110cos cos θθ+= (1)

222021102

1

sin 21sin gt t v gt t v -=-θθ (2)

解式(1)、(2)组成的方程组得 625.030sin 80

100

sin sin 0120102=?==

θθv v (3) 所以 02682.38625.0arcsin ==θ

s 48.2682.38cos 8030cos 10060

cos cos 0

02201100=?-?=-=

θθv v x t

相遇时的坐标设为(x ，y )，则

m 14.21548.230cos 100cos 011021=??====t v x x x θ

m 97.9348.28.92

1

48.230sin 10021sin 20211021=??-??=-===gt t v y y y θ

1—25 河宽为d ，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为0v 。某人以相对水流不变的速率v 垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程。

[解] 设重物下落的加速度为t a ，t 时刻飞轮的角速度和角加速度为ω和β，则

a dt

x

d a t 222==

因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以

βR a t =

故 2s r a d 0.22

0.222=?===

R a R a t β 由题意知，t =0时刻飞轮的角速度00=ω 所以 r a d 0.20t t t ==+=ββωω

1—26 如图所示，一航空母舰正以m 17的速度向东行驶，一架直升飞机准备降落在舰的甲板上。海上有s m 12的北风吹着。若舰上的海员看到直升飞机以s m 5的速度垂直下降，求直升飞机相对海水及相对空气的速度?

[解] (1)选海为S 系，航空母舰为S '系，则有飞机对海的速度v ，飞机的相对速度k v 5 -='，牵连速度j v 170=，则有

k j k j v v v 517)5(17 0-=-+='+=

(2)选海为S 系，空气为S '系，则飞机的绝对速度k j v 517-=，牵连速度i v 120=，相对风的速度v '三者满足 v v v '+=0故有

i k j v v 125170--=-='v