抛物线综合问题
抛物线综合问题
1.已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于1122(,),(,),A x y B x y 两点，点A ，B 在抛物线的准线上的身影分别为C ，D ，O 为原点，求证：（1）221212,4p x x y y p ==-，（2）1222||(sin p AB x x p θθ
=++=为直线AB 的倾斜角），（3）112||||AF BF p +=；（4）22sin AOB p S θ
?=；（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；（6）90CFD ?
∠=；（7）以CD 为直径的圆切AB 于F ；（8）A ，O ，D 三点共线；（9）设准线与x 轴交于点P ，则APF BPF ∠=∠；（10）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，则M 必在准线上且MF AB ⊥。
2.设点A 和B 为抛物线24(0)y px p =>上原点以外的两个动点，已知,OA OB OM AB ⊥⊥求证（1）A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB 过定点；（3）求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
3．给定抛物线C: 24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点。 （1）设l 的斜率为1，求OA u u u r 与OB uuu r 夹角的大小；（2）设,FB AF λ=u u u r u u u r 若[4,9]λ∈，求l 在y
轴上截距的变化范围。
4.如图，已知点(1,0)F ，直线l ：1x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂
足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?u u u v u u u v u u u vu u u u v ，（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨
迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=u u u v u u u v ，2MB BF λ=u u u v u u u v ，求12λλ+的值。
5.如图,ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为'
B ，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式'EM EB EB =+u u u v u u u u v u u u v （1）建立适当直角坐标系，求点M 的轨迹方程。（2）若曲线
C 是
由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF
=，过点F 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，且PF FQ λ=u u u v u u u v ，求实数λ的取值范围。
B C D
中考复习二次函数抛物线综合大题
中考复习二次函数抛物线综合大题 1..如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点 B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？ 若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
2.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C （3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上 的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式． （2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D， 使得S △DAC ＝2S △DCM ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
18.抛物线与圆的综合
拔高专题抛物线与圆的综合 常见 模型 思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可 求交点坐标，根据交点可求三角形的边长，由 于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角 形的形状，再解决其它问题。 二、拔高精讲精练 探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题 例1: （2015?崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C （0，4）； （2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=1 4 （x-5）2+k，它的顶点为E， 求证：直线EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，
∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4， ∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A（2，0），B（8，0）； （2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=1 4 （x-5）2+k，得：k=- 9 4 ，∴E （5，-9 4）， ∴DE=9 4 ，∴ME=MD+DE=4+ 9 4 = 25 4 ，EA2=32+（ 9 4 ）2= 225 16 ，∵MA2+EA2=52+ 225 16 = 225 16 ， ME2=225 16 ， ∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切； （3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5），或（5，；理由如下： 由勾股定理得：PB=PC 时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）； ②当2所示：∵P （5；③当MC，如图3所示：则∠PMC=90°， 根据勾股定理得： ∴P（5，；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC 是等腰三角形， 点P的坐标为（5，4），或（5，或（5，．
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
. 二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值围． 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：， 解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=， 则t的围为﹣4≤t≤． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位． 解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，，
(完整)高二文科数学——抛物线练习题
高二文科数学——抛物线练习题 【知识回顾】 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 （1）设00(,)P x y 是抛物线上的一点，则当焦点F 在x 轴上时，02 p PF x = +；当焦点F 在y 轴上时，02 p PF y = +。此公式叫做焦半径公式。 （2）设AB 是过抛物线2 2y px =的焦点F 的一条弦，则12||AB x x p =++。 一、选择题（每小题4分，共40分。答案填在答题表里） 1．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．x 2= 21y C . y 2=4x 或x 2=2 1 y D . y 2=4x 或x 2=4y 2．抛物线y = -2x 2的准线方程是( ) A .x = - 21 B .x =21 C . y =81 D . y = -8 1 3．动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x = -3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A . x y 122= B . x y 62= C . x y 32= D .x y 242= 4．动点M 到定点(4,0)F 的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则点M 的轨迹是( ) A ．y 2=4x B ．y 2=16x C ．x 2=4y D ．x 2=16y 5．已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是 A .x y 162= B .y x 82-= C . x y 162=或y x 82-= D . x y 162=或y x 82= 6．抛物线y 2+4x =0关于直线x +y =0对称的曲线的方程为（ ） A ．x 2= -4y B ．x 2=4y C ．y 2=4x D ．y 2= -4x 7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4，则m 的值为 ( ) A .4± B .2- C . 2-或4- D .2± 8．设AB 是抛物线py x 22 =的焦点弦，B A 、在准线上的射影分别为11B A 、，则11FB A ∠等于（ ） A . ?45 B . ?60 C . ?90 D .?120 9．抛物线y =x 2上的点到直线2x -y =4的距离最短的点的坐标是（ ） A ．(41, 21) B ．(1,1) C ．(4 9 ,23) D ．(2,4) 10．设F 为抛物线y x 42 =的焦点，点P 在抛物线上运动，点)3,2(A 为定点，使||||PA PF +为最小值时点P 的坐标是 ( ) A .?? ? ??41,1 B .)1,2(- C .)1,2( D .)0,0( 二、填空题（每小题4分，共16分。答案填在试卷指定的横线上） 11．抛物线y 2= -8x 的焦点到准线的距离是 12．抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 13．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若621=+x x ，则 ||AB 的值是 14．设AB 是抛物线x y 22 -=的过焦点的弦，4=AB ，则线段AB 中点C 到直线1x =的距离为 【附加题】 （12广东文）（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦 点1(10)F -，，且在(01)P ，在1C 上。 （1）求1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2 2:4C y x =相切，求直线l 的方程
2019年中考数学专题复习 圆与抛物线综合题一(附答案)
2019年中考数学专题复习 圆与抛物线综合题一（附答案） 1． 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长 ． 【分析】（1）设顶点式，把A 、C 代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似得到对应线段成比例，从而求出BF 的长． 【答案】 解：（1）设抛物线的解析式为2(6)y a x k =-+ ∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9） ∴90369 a k a k +=??+=? 解得：1 ,33a k ==- ∴21 (6)33 y x =-- （2）连接AE ∵DE 是⊙A 的切线，∴∠AED=90°，AE=3 ∵直线l 是抛物线的对称轴，点A ，D 是抛物线与x 轴的交点 ∴AB=BD=3 ∴AD=6 在Rt △ADE 中，222226327DE AD AE =-=-= ∴33DE = （3）当BF ⊥ED 时 ∵∠AED=∠BFD=90° 图10
∠ADE=∠BDF ∴△AED ∽△BFD ∴AE AD BF BD = 即363 BF = ∴3 2 BF = 当FB ⊥AD 时 ∵∠AED=∠FBD=90° ∠ADE=∠FDB ∴△AED ∽△FBD ∴AE ED BF BD = 即33 333 BF ?= = ∴BF 的长为 3 2 或3. 【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理 2． （12分）一条抛物线2y x mx n =++经过点()03，与()43，． （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； （2）现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当P 与坐标轴相切 时，求圆心P 的坐标； （3） P 能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线 2y x mx n =++使P 与两坐标轴都相切（要说明平移方法）． O x y 图15
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线
抛物线与圆的综合
拔高专题抛物线与圆的综合 一、基本模型构建 常见模型 思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐 标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形 的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。 二、拔高精讲精练 探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题 例1: （2015?崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C （0，4）； （x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=1 4 EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD=22 54 -=3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A（2，0），B（8，0）； （2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=1 4（x-5）2+k，得：k=-9 4 ，∴E（5，-9 4 ）， ∴DE=9 4，∴ME=MD+DE=4+9 4 =25 4 ，EA2=32+（9 4 ）2=225 16 ，∵ MA2+EA2=52+225 16=225 16 ，ME2=225 16 ， ∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切； （3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如下： 由勾股定理得：BC=22 OC OB +=22 48 +=45，分三种情况：①当PB=PC时，点P 在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）； ②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD=22 BP BD -=2 803 -=71，∴P（5，71）； ③当PC=BC=45时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM=22 PC MC -=2 805 -=55，∴PD=4+55， ∴P（5，4+55）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）． 【变式训练】（2015?）如图，已知抛物线y=-1 2 （x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
山东省烟台市龙口市龙矿学校(五四制)2020中考数学压轴题分类复习之抛物线与抛物线与相似的综合问题
2020中考数学压轴题分类复习----抛物线与相似的综合问题 例题：如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由． 分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得． （2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论． （3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果． 解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a， 解得a=， ∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣． （2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90° ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCF=90°， ∴∠ACO=∠CBF， ∵∠AOC=∠CFB=90°， ∴△AOC∽△CFB， ∴=，
设OC=m，则CF=2﹣m，则有=， 解得m1=m2=1， ∴OC=CF=1， 当x=0时，y=﹣， ∴OD=， ∴BF=OD， ∵∠DOC=∠BFC=90°， ∴△OCD≌△FCB， ∴DC=CB，∠OCD=∠FCB， ∴点B、C、D在同一直线上， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上． （3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣， ∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣． 解得x=2或x=﹣2， 当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=， ∴点E的坐标为（﹣2，）， ∵tan∠EDG===， ∴∠EDG=30° ∵tan∠OAC===， ∴∠OAC=30°， ∴∠OAC=∠EDG， ∴ED∥AC．
抛物线单元测试题
抛物线期末复习单元测试题 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是( ) A 25 B 5 C 215 D 10 ２.以抛物线2 2(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是( ） ?Ａ 相交 ?B 相切 C ．相离 ?D.以上三种均有可能 3 设AB 为过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（ ) A 2 p B p C p 2 D 无法确定 4 若抛物线x y =2 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 ( ) A 1(,44± B 1(,)84± C 1(,44 D 1(,84 ５．若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为（ ) Ａ.2 B ．３???Ｃ.4 6．已知点P 在抛物线2 4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ） A ．( 41，－1) ?B ．（4 1,1） ?C.（１，2） Ｄ．（１，-2) 7.已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点,则点P 到点（０，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） ?B.3? ?D ． 92 8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，, 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列, 则有（ ）
抛物线与圆的综合
抛物线与圆的综合 一、基本模型构建 常见模 型 思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的 解析式可求交点坐标，根据交点可求三角 形的边长，由于圆的位置不同，三角形的 形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其 它问题。 二、拔高精讲精练 探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题 例1: （2018?崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M 与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0），B （8，0），C （0，4）； （x-5）2+k，它的顶点为E，求证：（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=1 4 直线EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）解：连接MC 、MA ，如图1所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4， ∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA=DB ，∠MDA=90°，∴AD=22 54-=3，∴BD=3， ∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A （2，0），B （8，0）； （2）证明：把点A （2，0）代入抛物线y=14 （x-5）2+k ，得：k=-94 ，∴E （5，-94 ）， ∴DE= 9 4 ，∴ME=MD+DE=4+ 94 = 254 ，EA 2=32+（ 94 ）2= 22516 ，∵ MA 2+EA 2=52+22516 =22516 ，ME 2=22516 ， ∴MA 2+EA 2=ME 2，∴∠MAE=90°，即EA ⊥MA ，∴EA 与⊙M 相切； （3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如 下： 由勾股定理得：BC= 22 OC OB += 22 48+=45，分三种情况：①当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合， ∴P （5，4）； ②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD= 22 BP BD -=2803-=71，∴P （5，71）； ③当PC=BC=45时，连接 MC ，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得： PM= 22 PC MC -=2805-=55，∴PD=4+55， ∴P （5，4+55）；综上所述：存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三 角形，
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围． 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：， 解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=， 则t的范围为﹣4≤t≤． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，，
抛物线练习题(新)
抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线 上存在一点P 使得() 2 212 3,PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 4 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选D.由双曲线的定义知，() 2 2124,PF PF a -=又() 2 2123,PF PF b ab -=- 所以2 2 43a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ??-?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率c e a ===== 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的 一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线 ,102:+=x y l 故有2,b a =结合222,c a b =+得22 5,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120 522=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
抛物线圆综合(中考压轴大题)
抛物线与圆综合题训练 1.．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上． （1）求∠ACB的大小； （2）写出A，B两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式； （4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点． （1）∠OBA=°． （2）求抛物线的函数表达式． （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D． （1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值； （2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标． 4.．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．（1）求点A、B两点的坐标． （2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时，求此时抛物线的解析式．
抛物线型问题 专题
抛物线形问题 例1、已知平面直角坐标系xOy （如图1），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值； （2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值； （3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果 AQO ∠=∠【答案】：（1）1-=n （2）sin = ∠ABP 【解析】：（1） ∵直线m x y +=∴04=+-m ∴4=m ∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ∴1-=n （2）由可知点B 的坐标为)3,1(- ∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴? ??=+-=+-310 416c b c b ∴6=b ， 8=c ∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y ∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P 图1
∴23=AB ,2=AP ,52=PB ∴222PB BP AB =+ ∴?=∠90PAB ∴PB AP ABP =∠sin ∴10 10sin = ∠ABP （3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠ ∴△OBD ∽△QBO ∴OB DB QB OB = ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB ∴25=QB ，24=DQ ∵23=AB ∴28 =AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQ AD QH OD = ∴ 2 82 44= QH ∴8=QH 即点Q 的纵坐标是8
抛物线练习题
抛物线练习题
抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1 2 ,F F 分别为双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得() 2 21 2 3, PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 215 417 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选 D.由双曲线的定义知，() 2 21 2 4, PF PF a -=又 ()2 2 1 2 3,PF PF b ab -=- 所以2 243a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ?? -?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率 2 22222 117.c c a b b e a a a a +?? ====+= ??? 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线 , 102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120 52 2=-y x B. 15 202 2=-y x C. 1100 32532 2=-y x D. 125 310032 2=-y x
【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以 0210, c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有 2,b a =结合2 2 2 , c a b =+得2 2 5,20, a b ==所以双曲线的标准方程为 120 52 2=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 433 B.23 3 C.3 D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=， 12||a a PF -=， 因为 123F PF π ∠= ，由余弦定理得 22211114()()2()()cos 3c a a a a a a a a π =++--+-， 所以2 1 2 2 34a a c +=，即2 122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-， 所以21 214 8)11(e e e -≤+， 利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 43 . 4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0 综合测试题 命题人：于成翔20091129 备注：本卷共八页，满分150分，本卷难度较大，试做班级2至5班，必做班级1班；一、如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC 大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥ AE于点F． （1）求OA、OC的长； （2）求证：DF为⊙O′的切线； （3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线 AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′ 外”．你同意他的看法吗？请充分 ．． 二、已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ． ①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状； ③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． 三、如图15，点P 在y 轴上，P e 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交P e C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于 D ，且P e 54AB =． （1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是P e 的切线； （3）若二次函数2 (1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值围． 二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 2 1. (2014?北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+ n经过点A (0, - 2), B (3, 4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A, B之间的部分为图象G(包含A, B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围. 5 4 ? (1) 将A与B坐标代入抛物线解析 式求出m与n的值，确定出抛物线 解析式，求出对称轴即可； (2) 由题意确定出C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围. 2 解答：解：(1 )???抛物线y=2x +mx+ n经过点 A (0,- 2), B (3, 4), f n=-2 L 18+3nr^n=4 ???抛物线解析式为y=2x2- 4x - 2，对称轴为直线x=1; 2 (2)由题意得：C (- 3,- 4),二次函数y=2x - 4x- 2的最小值为-4, 由函数图象得出D纵坐标最小值为-4, 设直线BC解析式为y=kx+b , 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值. 专题：计算题. 分析： 解得：* :-4 n= - 2 代入得： 将B与C坐标代入得: 3k+b=4 -3k+b二- 解得: k= , b=0, 3 ?直线BC解析式为y=-x, 当x=1 时,y=J 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解 本题的关键. 2. (2011?石景山区二模)已知：抛物线与 x 轴交于A (- 2, 0)、B (4, 0),与y 轴交于C ( 0, 4). (1) 求抛物线顶点 D 的坐标； (2) 设直线CD 交x 轴于点E ,过点B 作x 轴的垂线，交直线 CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段EF 总有公共点?试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ (1) 先设出过A (- 2, 0)、B (4, 0)两点的抛物线的解析式为 y=a (x+2) (x - 4),再根据抛物线与 y 轴 的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； (2) 先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到 ( 1)中抛物线向下平移 m 各单位 所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取值范 围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位. 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式. 专题：探究型. 分析： 拔高专题 抛物线与圆的综合 常见模型 思考 圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐 标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形 的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。 二、拔高精讲精练 探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题 例1: （2015?崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点． （1）则点A ，B ，C 的坐标分别是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ； （2）设经过A ，B 两点的抛物线解析式为y=14 （x-5）2+k ，它的顶点为E ，求证：直线EA 与⊙M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （1）解：连接MC 、MA ，如图1所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5， 4），∴MC=MA=5，OC=MD=4， ∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA=DB ，∠MDA=90°，∴2254 =3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A （2，0），B （8，0）； （2）证明：把点A （2，0）代入抛物线y= 14（x-5）2+k ，得：k=-94，∴E （5，-94 ）， ∴DE= 94，∴ME=MD+DE=4+94=254，EA 2=32+（94）2=22516，∵MA 2+EA 2=52+22516=22516 ，ME 2=22516， ∴MA 2+EA 2=ME 2，∴∠MAE=90°，即EA ⊥MA ，∴EA 与⊙M 相切； （3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如下： 由勾股定理得：BC=22OC OB +=2248+=45，分三种情况：①当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合， ∴P （5，4）； ②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD=22BP BD -=2803-=71，∴P （5，71）； ③当PC=BC=45时，连接MC ，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM=22PC MC -=2805-=55，∴PD=4+55， ∴P （5，4+55）；综上所述：存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形， 点P 的坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）． 【变式训练】（2015?柳州）如图，已知抛物线y=-12 （x 2-7x+6）的顶点坐标为M ，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ． （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0），并指出顶点M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标； （3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线． 最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练 1如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3如图，一次函数y=- 二分之一x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？ 最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 4已知直线y=二分之一x+1与y轴交与点A，与x轴交与点D，抛物线y=二分之一x2+bx+c与直线交与A,E两点，与x轴交与B,C两点，且点B的坐标为【1,0】 【1】求抛物线的解析式； 【2】动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标； 【3】请你在抛物线的对称轴上找一点M，使丨AM-MC丨的值最大，求出点M的坐标。 5如图，直线y= 分别与x轴、y轴交于点C和点D，一组抛物线的顶点A1，A2，A3，…，A n，依次是直线CD上的点，这组抛物线与x轴的交点依次是B1，B2，B3，…，B n-1，B n，且OB1=B1B2=B2B3 =…=B n-1B n，点A1坐标（1，1），则点A n坐标为（2n-1，n）． 6已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，如图矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：圆与抛物线综合试题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
抛物线与圆的综合教学内容
最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练