圆与抛物线综合题

圆与抛物线共存的综合题

1．28．（2010青海，28, 11分）如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；

（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长．

【分析】（1）设顶点式，把A、

C代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由

相似得到对应线段成比例，从而求出BF的长．

【答案】

解：（1）设抛物线的解析式为2

(6)

y a x k

=-+

∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）

∴

90

369

a k

a k

+=

?

?

+=

?

解得：

1

,3

3

a k

==-

∴2

1

(6)3

3

y x

=--

（2）连接AE

∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3

∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点

∴AB=BD=3

∴AD=6

在Rt△ADE中，22222

6327

DE AD AE

=-=-=

∴DE=

（3）当BF⊥ED时

∵∠AED=∠BFD=90°

∠ADE=∠BDF

∴△AED∽△BFD

∴

AE AD

BF BD

=

即

36

3

BF

=

∴

3

2

BF=

当FB⊥AD时

∵∠AED=∠FBD=90°

∠ADE=∠FDB

∴△AED∽△FBD

∴

AE ED

BF BD

=

即BF==

∴BF的长为

3

2

【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理

2．（12分）一条抛物线2

y x mx n

=++经过点()

03，与()

43，．

（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；

（2）现有一半径为1、圆心P在抛物线上运动的动圆，当P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标；

（3）P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线2

y x mx n

=++使P与两坐

标轴都相切（要说明平移方法）．

2．本小题满分12分

（1）∵抛物线过()()

04

，3，，3两点，

∴

2

3

443

n

m n

=

?

?

++=

?

，

．

···························································································· 1分图10

图15

解得43m n =-??=?

，． ···································································································· 2分

∴ 抛物线的解析式是243y x x =-+，顶点坐标为()21-，． ································ 3分 （2）设点P 的坐标为00()x y ，， 当

P 与y 轴相切时，有0||1x =，∴01x =±． ··················································· 5分

由01x =，得201430y =-+=；

由01x =-，得2

0(1)4(1)38y =---+=．

此时，点P 的坐标为()()121018P P -，，，． ················································· 6分 当

P 与x 轴相切时，有0||1y =，∴ 01y =±． ··········································· 7分

由01y =，得2

00431x x -+=

，解得02x =

由01y =-，得2

0431x x -+=-，解得02x =．

此时，点P

的坐标为34(2)(2)P P ，，5(21)P ，-． ························ 9分 综上所述，圆心P 的坐标为：()()121018P P -，，，

，34(2)(2)P P ，，5(21)P ，-． 注：不写最后一步不扣分．

（3） 由（2）知，不能． ·············································································· 10分 设抛物线243y x x =-+上下平移后的解析式为2(2)1y x h =--+, 若

P 能与两坐标轴都相切，则0||x =0||1y =,

即x 0=y 0=1；或x 0=y 0=-1；或x 0=1，y 0=-1；或x 0=-1，y 0=1． ························· 11分 取x 0=y 0=1，代入2(2)1y x h =--+，得h=1． ∴ 只需将243y x x =-+向上平移1个单位，就可使

P 与两坐标轴都相切．

(12)

3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，

PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

3．（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.

∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴1

4

a =. ∴抛物线为2211

(4)12344

y x x x =

--=-+. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分

证明：当

21

(4)104

x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.

∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠. ∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴

CE BC OB AB =.

∴2CE =.

∴2CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .

可求出AC 的解析式为1

32y x =-

+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，1

32

m -+）.

∴221113

3(23)2442

PQ m m m m m =-+--+=-+.

∵22

113327()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+,

∴当3m =时，PAC ?的面积最大为27

4

.

此时，P 点的坐标为（3，3

4

-）. …………………………………………10分

4.（本题满分12分）

x

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点

)32,0(C .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF

（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.

4. （本小题满分12分）

解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2

经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ．

∴?????==++=++320636024c c b a c b a ， 解得????

??

?

?

?=-==3233463

c b a . ∴抛物线的解析式为：3233

4632+-=x x y . …………………………3分 （2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为（4,8）．

∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分

连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =

2

1． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分

∴劣弧的长为：

π=?π?3

16

8180120． …………………………7分 （3）设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .

∴???==+3202b b k ，解得?????=-=3

23

b k .∴直线AC 的解析式为：323+-=x y . ………8分

设点)0)(3233

4

63,

(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N ， 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵GN PN S S G NA PNA ::=??∴①若PN ︰GN =1︰2，则PG ︰GN =3︰2，PG =

2

3

GN . 即

3233

4

632+-m m =）

（32323+-m . 解得：m 1=－3， m 2=2（舍去）.

当m =－3时，3233

4

632+-m m =3215. ∴此时点P 的坐标为)32

15

,

3(-. …………………………10分 ②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN . 即

3233

4

632+-m m =）

（3233+-m . 解得：121-=m ，22=m （舍去）.当121-=m 时，3233

4

632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-.

综上所述，当点P 坐标为)32

15

,

3(-或)342,12(-时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分

5．(12分)如图，已知点A (－3，0)和B (1，0)，直线y ＝kx －4经过点A 并且与y 轴交于点C ．

(1)求点C 的坐标；

(2)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴； (3)半径为1个单位长度的动圆⊙P 的圆心P 始终 在抛物线的对称轴上．当点P 的纵坐标为5时，将 ⊙P 以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上 移动．那么，经过几秒，⊙P 与直线AC 开始有公共点？ 经过几秒后，⊙P 与直线AC 不再有公共点？

（第24题

6．（本题满分14分）如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过

A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y 轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

6．（1）由题意可知C（0，－3），1

2

=

-

a

b

，

∴抛物线的解析式为y = ax2－2ax－3（a＞0），

过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN = 1，5

=

CM，

∴CN = 2，于是m =－1．

同理可求得B（3，0），

∴a332－2－2a33－3 = 0，得a = 1，

∴抛物线的解析式为y = x2－2x－3．

（2）由（1）得A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．

∴在Rt△BCE中，2

3

=

BC，2

=

CE，

∴3

1

3

=

=

OD

OB

，3

2

2

3

=

=

CE

BC

，∴

CE

BC

OD

OB

=，即

CE

OD

BC

OB

=，

∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE =∠OBD =β，

因此sin（α－β）= sin（∠DBC－∠OBD）= sin∠OBC =

2

2

=

BC

CO

．

（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．

过A 作AP 2⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得)3

1,0(2P ． 过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）．

故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三

角形与BCE 相似．

7．（本题满分12分，每小题满分各4分）

如图7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A （0，-3

5为半径作圆A ，交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点D 、E 两点． （1）求点B 、C 、D 的坐标； （2）如果一个二次函数图像经过B 、C 、D 三点，

求这个二次函数解析式； （3）P 为x 轴正半轴上的一点，过点P 作与圆A 相离并且与 x 轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F ，

当⊿CPF 中一个内角的正切之为21

时，求点P 的坐标．

7．解：（1）∵点A 的坐标为(0 ,3)-，线段5AD =，∴点D 的坐标(0 ,2)．－－－－(1分) 连结AC ，在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4． －－－－－(1分) ∴点C 的坐标为(4 ,0)；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 同理可得 点B 坐标为( 4 ,0)-．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) （2）设所求二次函数的解析式为2

y ax bx c =++， 由于该二次函数的图像经过B 、C 、D 三点，则

0164,0164,2,a b c a b c c =-+??

=++??=?

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分） 解得 1 ,80 ,2,

a b c ?=-??=??=??

∴所求的二次函数的解析式为2

128y x =-+；－－－－－－－(1分)

（3）设点P 坐标为( ,0)t ，由题意得5t >，－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)

且点F 的坐标为21

(,2)8t t -+，4PC t =-，2128

PF t =-， ∵∠CPF =90°，∴当△CPF 中一个内角的正切值为1

2

时， ①若

1

2

CP PF =时，即

241122

8t t -=-，解得 112t =， 24t =(舍)；－－－－－－－(1分) ②当1

2PF CP =时，2

12

1842

t t -=- 解得 10t =(舍)，24t =(舍)，－－－－－－－ (1分)

所以所求点P 的坐标为(12，0)．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)

8．抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。若关于x 的一元二次方程

0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。

（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 （3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。

8．解：（1）令0))((4)2(2

=+--=?a m a m b 得2

2

2

m b a =+

由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知

△ABM 是一个以a 、b 为直角边的等腰直角三角形 （2）设1)2(2

-+=x a y

∵△ABM 是等腰直角三角形 ∴斜边上的中线等于斜边的一半 又顶点M(－2，－1) ∴

12

1

=AB ，即AB ＝2 ∴A(－3，0)，B(－1，0)

将B(－1，0) 代入1)2(2

-+=x a y 中得1=a

∴抛物线的解析式为1)2(2

-+=x y ，即342

++=x x y 图略

（3）设平行于x 轴的直线为k y =

解方程组?

??++==342

x x y k

y

得121++-=k x ，122+--=k x （)1->k ∴线段CD 的长为12+k ∵以CD 为直径的圆与x 轴相切 据题意得k k =+1 ∴12

+=k k 解得 2

5

1±=

k ∴圆心坐标为)251,

2(+-和)2

5

1,2(--

10．（12分）在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，

与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；

（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x

轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？

（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC 相似？直接写出两组这样的点．

10． 本小题满分12分 解:（1）方法一：

连结AC ，则AC BC ⊥．

∵ 24OA AC ==，，∴ OC = ………1分 又 Rt △AOC ∽Rt △COB ，∴

AO OC

OC OB

=． ∴ OB =6． ………………………………………………………2分

∴ 点C 坐标为(0，点B 坐标为(60)-，

． 设直线BC 的解析式为y =kx +b ， ………………………………………………3分

可求得直线BC 的解析式为y x =+ ……………………………………4分

方法二：

连结AC ，则AC BC ⊥．

∵ 24OA AC ==，，∴ ∠ACO =30 o ，∠CAO =60 o ． ……………………………1分

∴ ∠CBA =30 o

． ∴ AB =2AC =8．

∴ OB =AB -AO =6． ……………………………2分

以下同证法一．

（2）由题意得，A ⊙与x 轴的交点分别为(20)E -，、(60)F ，，抛物线的对称轴过点A 为直线

2x =． (5)

分

∵ 抛物线的顶点在直线BC 上， ∴

抛物线顶点坐标为(2． ……………………………………6分

设抛物线解析式为2

(2)y a x =-+ ……………………………………7分

∵ 抛物线过点(20)E -，

， ∴

2

0(22)a =--+

a =． ∴

抛物线的解析式为22)y x =-

即263

y x x =-++． (8)

分

（3）点C 在抛物线上．因为抛物线与y

轴的交点坐标为(0，如图． …………………10分

(4) 存在，这三点分别是E 、C 、F 与E 、C 1、F ，C 1的坐标为（4

，．

即△ECF ∽△AOC 、△EC 1F ∽△AOC ，如图． …………………………………………12分

说明：每找对一个三角形，给1分． 11．（本题满分10分）

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图1所示的位置放置A 与C 重合，O 与E 重合．

（1）求图1中，A B D ，，三点的坐标．

（2）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．

（3）当Rt CED △以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时Rt CED △运动到如图2所示的位

置，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．

（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．

图11 图12

如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线2

16

y x bx c =

++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线2

16

y x bx c =

++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．

（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

11.

解：（1）由已知，得 A （2，0），B （6，0）， ∵ 抛物线2

16

y x bx c =

++过点A 和B ，则

图1

图2

C 1

2

21220,61660,6

b c b c ??++=?????++=?? 解得 4,

32.

b c ?

=-???=? 则抛物线的解析式为 214

263

y x x =

-+． 故 C （0，2）． …………………………（2分）

（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）

…………………………（3分） （2）如图①，抛物线对称轴l 是 x ＝4． ∵ Q （8，m ）抛物线上，∴ m ＝2． 过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴ AQ

=

…………………………（5分）

又∵ B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴ PQ ＋PB 的最小值＝AQ

＝．

（3）如图②，连结EM 和

CM ． 由已知，得 EM ＝OC ＝2．

CE 是⊙M 的切线，∴ ∠DEM ＝90o，则 ∠DEM ＝∠DOC ． 又∵ ∠ODC ＝∠EDM ． 故 △DEM ≌△DOC ． ∴

OD ＝DE ，CD ＝MD

．

又在△ODE 和△MDC 中，∠ODE ＝∠MDC ，∠DOE ＝∠DEO ＝∠DCM ＝∠DMC ． 则 OE ∥CM ． …………………………（7分） 设CM 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ，CM 过点C （0，2），M （4，0），

∴ 40,2,k b b +=??=? 解得 1,22,

k b ?

=-???=?

直线CM 的解析式为1

22

y x =-

+． 又∵ 直线OE 过原点O ，且OE ∥CM ，

则 OE 的解析式为 y ＝1

2

-x ． …………………………（8分）

28．（本题满分10分）

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图1所示的位置放置A 与C 重合，

O 与E 重合．

（1）求图1中，A B D ，，三点的坐标．

（2）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当Rt CED △以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时Rt CED △运动到如图2所示的位置，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．

（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．

28．解：（1）(06)A ，，(60)B ，，(60)D -， ········································································· 2分 （2）当03x <≤时，位置如图Ａ所示，

作GH DB ⊥，垂足为H ，可知：2OE x =，EH x =， 62DO x =-，6DH x =-，

22()GHD IOD IOHG y S S S ∴==-△△梯形 22112(6)(62)22x x ??

=---????

图1

图2

223263122x x x x ??

=-+=-+ ??? ·

·························································································· 3分 当36x ≤≤时，位置如图Ｂ所示．

可知：122DB x =-

2

12DGB

y S ?∴==????

△

2

2

12)12362x x x ?=-=-+???

·

·················································································· 4分 （求梯形IOHG 的面积及DGB △的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）

y ∴与x 的函数关系式为：2

2312(03)

1236(36)

x x x y x x x ?-+

（3）图2中，作GH OE ⊥，垂足为H ，当4x =时，28OE x ==，1224DB x =-=

122GH DH DB ∴==

=，1

666242

OH HB DB =-=-=-= ∴可知：(06)A ，

，(42)G ，，(86)C ， ··················································································· 6分 ∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：22

1(4)22644

x y x x =-+=-+ ·

·············· 7分 （4）当P 在运动过程中，存在

P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，

当

P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±，由02x =-得：011y =，1(211)

P ∴-， 由02x =，得03y =，2(23)P ∴， 当

P 与x 轴相切时，有02y = 21

(4)204

y x =-+>

02y ∴=，得：04x =，3(4

2)P ∴， 综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：

1(211)

P -，，2(23)P ，，3(42)P ， ·········································· 10分（每求出一个点坐标得1分） 24．(本题满分12分)

抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B

交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，

(3,0)B ,(0,3)C -，

（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；

（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C

两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说 明理由；

（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点， 若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．

24．解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，

得 3-=c ．

将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2， 得 039=++c b a ． (1)

∵1x =是对称轴， ∴12=-

a

b

． (2) …2分 将（2）代入（1）得 1=a ， 2-=b ．

所以，二次函数得解析式是322--=x x y ．

…………………………………………………………………………4分

（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点． ∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，

∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，

又对称轴为1x =，

∴ 点P 的坐标(1,6)-． ...............................................................7分 （3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ， 则 r x x 212=-，. (1)

∵ 对称轴为1x =，

∴ 212=+x x ． (2)

由（1）、（2）得：12+=r x ．..........(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ， 得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，. (4)

整理得： 42-=r y ．………………………………………………………………10分 由于 r=±y ，

当0>y 时，042=--r r ，

解得，21711+=

r ， 2

17

12-=r （舍去）， 当0

解得，2

17

11+-=

r ， 21712--=r （舍去）．

所以圆的半径是2171+或2

17

1+-．……………………………………………12分

说明：解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数． 28．（13分）在平面直角坐标系中，直线62

1

+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点． （1）直接写出B 、C 两点的坐标； （2）直线x y =与直线62

1

+-

=x y 交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）.过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ． ① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．

② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.

28. （1） B （12，0） C （0，6） 4分

（2）①点P 在y = x 上，OP = t ， 点P 坐标（2t/2,

2t/2） 点Q 坐标t t 2,212(-/2)

t PQ 2312-=/2 t PN 2=/2 6分

,12)22(5.112)824(5.1265.1222+--=++--=+-=t t t t t S 8分 当22=t 时，S 的最大值为12 9分

②、若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切，则圆心在y 轴上，且y 轴垂直平分PQ 11分

∴∠POC ＝45° ∴∠QOC ＝45° ∴t t 2122=

-/2 212=t 13分

28．(12分)如图，抛物线21

2

y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A

的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．

(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；

(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线

PC 的位置关系，并说明理由．(

1.41≈

1.73≈

2.24≈)

28． 本小题满分12分

解： (1)由已知条件可知： 抛物线21

2

y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点．

∴ 903,210.2

m n m n ?=-+????=++?? ……………………………………2分

解得 3

1,2

m n ==-． ………………………3分

(2) ∵21322y x x =+-， ∴ P (-1，-2)，C 3

(0,)2

-． …………………4分

设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,

3.2k b b -=-+???=-?? 解得13

,22k b ==-．

∴ 直线PC 的解析式是13

22y x =-． …………………………6分

说明：只要求对13

22

k b ==-，，不写最后一步，不扣分．

图（1）

备用图

(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．

设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt △O CD 中，∵ O C =3

2

，3OD =，

∴

CD =． …………8分 ∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． …………9分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o

，∠CD O 公用， ∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分

∴ OC CD AE AD =， 即3226AE =． ∴

AE ． …………………11分

∵

2.688 2.5>，

∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分