第八章平面解析几何8-7圆锥曲线的综合问题(理)范文

合集下载

高考数学一轮总复习第八章平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题课件理

ห้องสมุดไป่ตู้第十四页，共三十二页。
2021/12/13
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－m2 .
x＝－m2 ，联立
y－12＝x2x－x22，又x22＋mx2－2＝0，可得xy＝＝－－12m2. ，
第十五页，共三十二页。
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为
－m2 ，－12，
半径r＝
[典例体验]
(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上
的椭圆M的离心率为
1 2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与
左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为 3. (1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2 并延长，与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交
第三页，共三十二页。
2021/12/13
(1)解：抛物线C的准线方程为x＝－p2，所以|MF|＝m＋p2＝2，又点M在抛物线上，所以4＝2pm，所以4＝ 2p2－p2，所以p2－4p＋4＝0，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：设点E(0，t)(t≠0)，由已知得切线不会为y 轴，设直线EA：y＝kx＋t，由题意知k≠0，
第八页，共三十二页。
[变式训练]
(2019·呼和浩特一调)已知椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的
离心率e＝ 36，直线l：y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆
相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为
2021/12/13
第十七页，共三十二页。

2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线__定点定值探究性问题课件

则 x2＝84mm22＋－21，y2＝4－m24－m1，则直线 MN 的斜率： kMN＝xy11－－yx22 ＝8m2＋1128m44mm22－－11＋－48mm92＋－24m92－ 4m2 ＝44m8m2＋43m24＋m32－3＝4m22m－3
∴MN：y－9－124mm2＝4m22m－3x－89m－2＋4m128，令 y＝0，x＝－92－4m42m＋218＋89m－2＋4m128＝－91－6m42m＋236＝4，
所以 1－2km－4k2－m＝0 即(1－2k－m)(2k＋1)＝0，得 1－2k－m＝0 或 2k＋1＝0，若 1－2k－m＝0，则直线 MN 的方程为 y＝kx＋1－2k，即 y－1＝k(x－2)过点 A(2,1)，不符合题意，若 2k＋1＝0，则 k＝－12，满足 AM⊥AN，综上直线 MN 的斜率 k 为定值－12.
[解析] (1)设 E(x0，y0)，过 E(x0，y0)且平行 l2 的直线方程为 y－y0
＝－2(x－x0)，
由yy－＝y20x＝，－2x－x0，得交点 A 的横坐标为2x04＋y0，
所以|OA|＝ 1＋222x04＋y0＝ 45|2x0＋y0|，
E
点到直线
l1
的距离为|2x0－y0|， 5
[解析] (1)有题意可知 P－c，ba2，A2(a,0)，
因为 A2B∥OP，所以－abc2＝－2ba，即 c＝2b，所以 a＝ 3b. 因为|F1A2|＝2＋ 3，所以 a＋c＝(2＋ 3)b＝2＋ 3，所以 b＝1，c＝2，a＝ 3 所以双曲线的方程为x32－y2＝1.
(2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线 CD：x＝ty＋2 3，
(1)求双曲线 C 的方程； (2)若点 M，N 在双曲线 C 上，且 AM⊥AN，直线 MN 不与 y 轴平行，证明：直线 MN 的斜率 k 为定值．

第9节圆锥曲线的综合问题

返回
(2)由题意得 F(1,0)．设 P(x3，y3)，则 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得 x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又点 P 在 C 上，所以 m＝34，从而 P1，－32，|F→P|＝32，于是|F→A|＝ x1－12＋y21＝ x1－12＋31－x421＝2－x21.
∴y1－m＝－y1λ1，由题意知 λ1≠0，∴λ1＝ym1－1，
返回
同理由P→N＝λ2N→Q知，λ2＝ym2－1， ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0(*)，联立xx＝2＋t3y2y＝－3m，，得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴需 Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0(**)，且有 y1＋y2＝t22＋mt32 ，y1y2＝t2tm2＋2－33(***)，将(***)代入(*)得 t2m2－3＋m·2mt2＝0，∴(mt)2＝1， ∵直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P， ∴mt<0，∴mt＝－1(满足(**))，故 l 的方程为 x＝ty＋1，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．
同理|F→B|＝2－x22.
所以|F→A|＋|F→B|＝4－12(x1＋x2)＝3.
故 2|F→P|＝|F→A|＋|F→B|，即|F→A|，|F→P|，|F→B|成等差数列．
返回
考点二定值问题互动讲练型
考向·分层突破
(2019·安徽省考试试题)如图，已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1,1)． (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 P(3，－1)的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值．

平面解析几何与圆锥曲线

平面解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一门学科，它研究的是几何图形在坐标系中的运动和性质。

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，由直线和圆相交、旋转、平移等方式形成的曲线。

本文将探讨平面解析几何与圆锥曲线的关系及相关概念。

一、平面解析几何基本概念在平面解析几何中，我们常用的坐标系是笛卡尔坐标系，它由两条相互垂直的直线构成。

其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。

平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，x称为横坐标，y称为纵坐标。

根据欧氏距离公式，两点间的距离可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。

在解析几何中，直线是一个基本图形。

根据两点确定一条直线的原理，我们可以通过已知的两个点求解直线的方程。

一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

二、圆锥曲线的基本类型圆锥曲线可以分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。

它的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点组成的图形。

如果两个定点的距离为2a，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，那么椭圆的标准方程为(x²/a²) + (y²/b²) = 1。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的类型。

它的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点组成的图形。

如果两个定点的距离为2a，双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中非常常见的一种形式。

它的定义是平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点组成的图形。

抛物线的标准方程为y² = 2px，其中p是焦点到准线的垂直距离。

4. 直线直线可以看作是圆锥的一种特殊情况，它的标准方程可以表示为Ax + By + C = 0。

直线在平面解析几何中有着重要的应用，如直线的交点和直线与曲线的切点等。

专题08 平面解析几何(解析版)

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2020年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（） A ．230x y ±= B ．320x y ±= C ．20x y ±= D ．230x y ±=【答案】C 【解析】由题,离心率c e a ===解得12b a =, 因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±= 故选：C2．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（）A．B．C．5+D．3+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB的最大值为5CD =+ 故选：C.3．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知点A 在圆224x y +=上，且712xOA π∠=，则点A 的横坐标为（） A．2 B．4 CD【答案】A 【解析】由题设点A 00(,)x y ，点A 在圆上，22004x y +=，712xOA π∠=，7coscos()cos cos sin sin 124343434πππππππ=+=-=7cos 122x xOA π∠==，0x =.故选：A4．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（） AB ．53C ．52D【答案】C 【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r =，则圆心到直线的距离为5a d c ==，则52a c =，可得52c e a ==，故选C.5．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：()2221x y -+=相切，双曲线M 离心率的值为（）ABCD．3【答案】B 【解析】设渐近线方程b y x a =±，即0b x y a±=，与圆N ：()2221x y -+=相切，圆心到直线的距离1d ==，22222222()()1,3,3()b b b a c a a a a =+=-=，所以222434,,1,33c a e e e ==>=故选：B6．（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()122,0F ，点A的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3C ．2D ．22【答案】D 【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为222e a==故选：D.7．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．3y x = C ．2y x =±D ．y x =±【答案】B 【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，故渐近线方程为3y x =，故选B.8．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（） A ．712612+B ．910+C ．832612D ．926+【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-，与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=，据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==，且：254A B AB x x p =++=，将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故()()22434126MB =-+--=,故△ABM 的周长为12532692644MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭, 本题选择D 选项.9．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为( )A ．23B ．43C ．8D ．83【答案】B 【解析】由题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设抛物线24y x =的准线与x 轴交点为D ，则2DF =，又直线AF 的斜率为3-，所以60AFD ∠=o ，因此24AF DF ==，60AFP ∠=o ；由抛物线的定义可得：PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为144sin 60432⨯⨯⨯=o . 故选：B.10．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（）A B C ．53D ．73【答案】C 【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， Q O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥Q ，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=，直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ，即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C二、多选题11．（2020届山东省德州市高三上期末）已知点A 是直线:20l x y +-=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（）A ．()0,2 B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1-【答案】AC 【解析】如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA OP ==，由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=，整理得22220t t -=，解得0t =或2，因此，点A 的坐标为()0,2或()2,0.故选：AC.12．（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（） A ．4p = B ．DF FA =u u u r u u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC 【解析】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.13．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.14．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点【答案】ACD 【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确；当()430f x x += ，即()34f x x =-，函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点，而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确. 故选：ACD15．（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =u u u r u u u r时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD 【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r 可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.16．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．17．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC 【解析】2216x y +=Qa ∴=1b =c ∴===C 的焦距为6c e a ===.设(), P x y （x ≤≤，则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ 5=. 故选：BC .18．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC 【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确；对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确；对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误；故选：ABC 三、填空题19．（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与圆2240x x y -+=相交于A 、B 两点，则AB =__________.【答案】【解析】圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心到直线的距离d ==所以弦长：AB ==故答案为：20．（2019·北京八十中高二期中）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m，++∴===∴= 21．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________．【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立，故21a b+的最小值为9. 故答案为：922．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若=PQ C 的离心率为____.【解析】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ，由切线长定理可知MA ＝MB ，P A ＝PQ ，BF 2＝QF 2，又PF 1＝PF 2，∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ，由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ，故而a ＝PQ 2=，又c ＝2，∴双曲线的离心率为e 2ca==．故答案为：2．23．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且3||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， ∴ 22bcFD b b a ==+，由3||||FD OF =得3b =，∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2ce a==．故答案为：2.24．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，则PA PM +的最小值是__________． 101 【解析】设抛物线的焦点是()1,0F ，根据抛物线的定义可知1PM PF =-1PA PM PA PF ∴+=+-，PA PF AF +≥Q ，当,,A P F 三点共线时，等号成立，PA PM ∴+的最小值是1AF -，()()22213010AF =-+-=，PA PM ∴+的最小值是101-.10125．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6 【解析】2214y x -=Q1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A Q ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：626．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______．【答案】8p = 13【解析】∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NFMF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-42?19NF NF ≥-13=，当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立，故答案为：13． 27．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r，则||QF =__________.【答案】83【解析】根据题意画出图形，设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足是N ，∵抛物线2:8C y x =，∴焦点为2,0F （），准线方程为2x =-，∵3PF QF =u u u v u u u v ，2288,4,.3333QN PQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==28．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:3l y x =上在第三象限内的点，()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标准方程为________.【答案】()()227645x y +++=【解析】由题意，设点(,3),0A m m m <，因为()10,0B -，则AB 的中点为103,22m m C -⎛⎫⎪⎝⎭，以线段AB 为直径的圆C 的方程为：(10)()(3)0x x m y y m +-+-=；由(10)()(3)03x x m y y m y x +-+-=⎧⎨=⎩，解得：13x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)D --；又AB CD ⊥，所以0AB CD ⋅=u u u r u u u r；因为(10,3)AB m m =---u u u r ，83,322m m CD -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以()83(10)33022m m m m -⎛⎫⎛⎫--+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2280m m +-=，解得4m =-或2m =，因为0m <，所以4m =-，所以圆C 的方程为：(10)(4)(12)0x x y y ++++=，整理得：()()227645x y +++=. 故答案为：()()227645x y +++=. 四、解答题29．（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC V 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMG SHN S S =V V ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）1y x =+或1y x =+.【解析】(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点).设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==，即2222,3a b a c ==-=所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠.(2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ，所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S因为2a c =，所以2SG SH =，所以1sin 2261sin 2SMG SMNSM SG MSG SM S S SN SN SH NSH ∠===∠V V 所以3SM SN=，所以3SM SN =-u u u r u u u r设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-u u u r()22,1SN x y =-u u u r，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x =此时2SM SN==+. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-=所以122122834834k x x kk x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+. 所以236,2k k ==±，所以直线MN 的方程为61y x =+或61y x =-+. 30．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l 的斜率为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由223220e e -+=解得22e =或2e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a --==-a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k --⨯⨯+V =216240k ->232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k -+=+-=+， ()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪-⎝⎭，12123411BOM BCN x x S S y y ∴=--V V g =()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S ∆∴V g 为定值12． 31．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y += （2）10k >10k <- 【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-u u u r ,22(3,)QB x y =-u u u r,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>u u u r u u u r,所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+u u u r u u u r12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <32．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥，设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 33．（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=；（2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =，又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =，则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()209·14PM PB x u u u u v u u u v=--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v，则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v()()()()2220002222120122485312143x x k x k x x x k x x kx k --+-=+-++++=+因为·PM PB u u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=，解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 34．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C过点12A ⎫⎪⎭，F为C 的右焦点，⊙F的方程为221104x y +-+= （1）求C 的方程；（2）若直线:(l y k x =(0)k >与⊙O 相切，与⊙F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记⊙O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k -⋅取最大值时，直线l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）(2y x =-【解析】（1）解：设C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>.由题设知223114a b+=① 因为⊙F 的标准方程为221(3)4x y -+=，所以F 的坐标为(3,0)，半径12r =. 设左焦点为1F ，则1F 的坐标为(3,0)-. 由椭圆定义，可得12||a AF AF =+222211[3(3)]0(33)022⎛⎫⎛⎫=--+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=②由①②解得2,a =1b =.所以C 的方程为2214x y +=.（2）由题设可知，M 在C 外，N 在C 内，P 在⊙F 内，Q 在⊙F 外，在直线l 上的四点满足||||||,MP MN NP =-||||||NQ PQ NP =-.由2214(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得()222214831240k x k x k +-+-= 因为直线l 过椭圆C 内的右焦点F ，所以该方程的判别式>0∆恒成立.设()11,,P x y ()22,Q x y 由韦达定理，得2122,14x x k+=+212212414k x x k -=+.||PQ =224441k k +=+ 又因为⊙F 的直径||1MN =,所以||||||||(||||)NQ MP PQ NP MN NP -=---||||PQ MN =- ||1PQ =-2341k =+.(y kx =可化为0kx y -=.因为l 与⊙O 相切，所以⊙O的半径R =，所以2()S k R π=2231k k π=+. 所以()()2229(||||)()411k NQ MP S k k k π-⋅=++ 2429451k k k π=++229145k k π=≤++π=.当且仅当2214k k =，即2k =时等号成立. 因此，直线l的方程为y x =-.35．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L ：()222210x y a b a b +=>>为2.（1）求椭圆L 的标准方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及AB 的大小.【答案】(1) 2214x y += (2) 22y x =±+，17AB =. 【解析】解：（1）由22222222314c a b b e a a a -===-=得224a b =，又∵短轴长为2可得1b =，24a =，∴椭圆L 的标准方程为：2214x y +=.（2）易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为()0k k ≠，设直线l 的方程为：2y kx =+，则联立222440y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消元得：()224116120k x kx +++=，()()2221616484116430k k k ∆=⨯-+=->，即234k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴1221641k x x k -+=+，1221241x x k ⋅=+，由题意可知OA OB ⊥u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u ur u u u r 即：()()2121212121240x x y y k x x k x x ⋅+⋅=+⋅+++=，∴()222212132401414k k k k+-+=++，解得2344k =>，∴12x AB =-=224434651k k -=+⋅=.综上：直线l 的方程为：22y x =±+，46517AB =. 36．（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭Q ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x xk++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.37．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=；（2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =，又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =，则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()209·14PM PB x u u u u v u u u v =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v，则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v ()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x kx x k xk --+-=+-++++=+因为·PM PB u u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=，解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 38．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知椭圆E :()222210y x a b a b+=>>的一个焦点为(,长轴与短轴的比为2:1.直线l y kx m =+：与椭圆E 交于P ､Q 两点,其中k 为直线l 的斜率. (1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.【答案】(1) 2214y x +=(2)存在,2245x y +=.m的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎭【解析】(1)由已知得:2222c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得:2,1a b ==∴椭圆E 的方程为2214yx +=(2)假设存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切. 这时只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可.设直线OP 的方程为:,y tx P =点的坐标为()00,x y ,则00y tx =,联立方程组220224414y txx y t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得： ()()22222200024114t OP x y t x t+∴=+=+=+①Q 以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,OP OQ ∴⊥,直线OQ 的方程为:1y x t=-∴在①式中以1l -换t ,得()2222214141=1414t t OQ t t ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭② 又由OP OQ ⊥知:()()()()()222222222224141201414144tt tPQ OP OQ t tt t+++=+=+=++++设坐标原点O 到直线l 的距离为d ,则有PQ d OP OQ =()()()()()22222222222241414414,55201144t t OP OQ l l d d PQ t t t++⋅++∴====+++又当直线OP 与y 轴重合时,()()0,2,1,0P Q ±±此时d =由坐标原点O 到直线l的距离5d =为定值知,所以存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切,定圆O 的方程为:2245x y +=. 直线l 与y 轴交点为()0,m ,且点()0,m 不可能在圆O 内,又当k =0时,直线l 与定圆O切于点0,⎛ ⎝⎭,所以m的取值范围是,,55⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭39．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线32y x =与椭圆E 在第一象限内的交点是M ，且2MF x ⊥轴，1294MF MF ⋅=u u u u r u u u u r . （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且||||CD AB ⋅=l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，y x =-+或y x =-- 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，由题意，得3,2M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为123392,0,224MF MF c c c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r解得1c =，则31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在椭圆上，所以222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）假设存在斜率为1-的直线l ，设为y x m =+，由（1）知，12(1,0), (1,0)F F -，所以以线段12F F 为直径的圆为221x y +=. 由题意，圆心()0,0到直线l的距离1d =<，得||m <||AB ===由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y ，整理得22784120x mx m -+-=.由题意，()()2222(8)47412336484870m m m m ∆=--⨯⨯-=-=->，解得27m <，又||m <22m <.设()()1122,,,C x y D x y ，则212128412,77m m x x x x -+==21||77CD x =-==，若||||CD AB ⋅=，=整理得42436170m m -+=，解得212m =，或2172m =.又22m <，所以212m =，即m =.故存在符合条件的直线l ，其方程为2y x =-+，或2y x =--.。

专题8 平面解析几何(解析版)

圆锥曲线教学反思范文（精选4篇）

圆锥曲线教学反思范文（精选4篇）身为一名人民老师，我们要在课堂教学中快速成长，我们可以把教学过程中的感悟记录在教学反思中，教学反思应该怎么写才好呢？以下是小编帮大家整理的圆锥曲线教学反思范文（精选4篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

圆锥曲线教学反思1接手高三39班已有一个月的时间，登上讲台的第一节课复习的是《椭圆的标准方程及其性质》，圆锥曲线对于高中生来说既是难点也是重点，根据本班学生一个月以来的学习情况及上课表现，现总结如下：（一）注意准确地把握教学要求从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求。

(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是数形结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点。

1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。

2．注意在解决问题的过程中，充分利用图形。

学生在解解折几何的题目时，往往在得到曲线的方程以后就把图形抛到一边去了，不再利用图形，忽视了图形直观对启发思路的作用。

例如，巳知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，求这两点的距离。

解这个题目如果单纯用代数方法，可以完全不用图形；可是借助图形可以便问题变得简单。

在解决解析几何的问题中，充分利用图形，有时不仅简单，而且能开阔思路。

所以本章的教材，比较强调画图，教学中也要注意强调图形的作用。

(三)注意与初中数学的衔接本章的教学离不开根式的化简和解二元二次方程组，由于义务教育初中数学中对这两部分内容降低了要求，所以学生这方面的基础较差。

高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第八章第8讲圆锥曲线中的热点问题

第八章平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题1. 定值问题如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值, 探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源2.最值问题圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶ 利用数形结合；（4）构造函数等.3.范围问题求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.產D -做一做•1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是1解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7, 0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .2 2解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.由正方形的对角线性质可得:b=c,又该正方形面积为4,,则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D所以疋喀便仟斗=—心=4要点整食r1.必明辨的2个易错点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切, 事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.2.常用的1个结论设斜率为冰H0）的直线/与圆锥曲线C相交于£ B两点, A(x p ji), Bg丿2)，贝!IAB = \Jl-{-k2lx 1—兀21=\/1+/ • yl(X1+X2)2—4X1X2=寸1+* • Wlpl=\J1+p ■<Ji+j2)2—4yjj2.產D；、绦二综［1.过点(0, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有 3 条.解析：设过点(0, 1),斜率为比的直线方程为y=kx+l.由得^x2+(2JI-4)x+1=0.(*) 当吃=0时，(*)式只有一个根;当&工0 时，4=（2氐_4）2_4疋=_16氐+16, 由/=0,即一16抵+16=0 得k=\.所以片0,或片1时，直线与抛物线只有一个公共点'又直线x=0和抛物线只有一个公共点•故所求直线有3条，2.以直线无±2y=0为渐近线，且截直线x-j-3=0所得弦只斤丘 2_丫长为竽的双曲线方程为解析：设双曲线方程为x 2-4y 2=^消去〃得3兀2—24兀+(36+2)=0・设直线被双曲线截得的弦为AB, MA(xx ，J O, B(X 2, J 2),联立方程组 X 2—4y 2=l,x —y —3 = 0,兀1+ X2"~A = (—24) 2—12 (36+2) >0・所以 AB=(1+A:2) [ (xj+x 2) 2-4XX X 2]0 解得2=4,故所求双曲线方程是^—y 2= l.那么, 36+2 V 兀1兀2=J ， 2_4X %+力 "J G 厂厂=8f(1 + 1)（2016•泰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中,缶+器=1（。

2019版一轮创新思维文数：第八章第八节直线与圆锥曲线的位置关系

率e＝ac＝ a2a－b2＝ 22.②设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝ x1＋2 x2＝a－2＋a2bc2＝－23c，y0＝x0＋c＝3c.由|PA|＝|PB|，得kPN＝－
1，即y0x＋0 1＝－1，得c＝3，从而a＝3 2，b＝3.故椭圆E的方程
为1x82 ＋y92＝1.
[答案] (1)D
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝
1k＋2＋2k12，由23≤λ≤34，得12≤k2≤1，
即k的取值范围是－1，－ 22∪ 22，1.
解析
考点一
考点二
考点三
(3)|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2 －2k22＋12，由12≤k2≤1，得 26≤|AB|≤43.设△OAB的AB边上的高为d，则S＝12|AB|d＝12|AB|，所以 46≤S≤23. 即△OAB的面积S的取值范围是 46，23.
考点一
考点二
考点三
(2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若Δ的表达式非常复杂，则可以采用列而不求，最后验证的策略．提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
b2＝a2－c2，
解得a＝2，b＝ 3 ，c＝1，所以
椭圆的方程为x42＋y32＝1. (2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
所以圆心到直线l的距离d＝2|m5|，由d<1得|m|<
5 2 .(*)
解析
考点一
考点二

圆锥曲线中的定点问题及解决方法

圆锥曲线中的定点问题及解决方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线可以说是数学中一个非常有趣且重要的概念，它是指在平面上的一条曲线，在解析几何中有着广泛的应用。

在圆锥曲线中，定点问题是一个非常常见的问题，它涉及到固定一个点或多个点，然后通过这些点来确定曲线的形状。

在本文中，我们将探讨圆锥曲线中的定点问题及其解决方法。

我们来介绍一下圆锥曲线中的常见曲线类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线都可以通过圆锥截面的方式来定义，它们在平面上的形状各有特点，而且在不同领域中都有着广泛的应用。

在解决圆锥曲线中的定点问题时，我们通常采用的方法是利用几何性质和数学公式来推导和计算。

下面我们以圆锥曲线中的圆和椭圆为例，来详细介绍一下定点问题的解决方法。

我们来看看圆的定点问题。

对于圆，我们知道它的定点是圆心，通过圆心我们可以确定圆的形状和大小。

如果要确定一个圆，我们只需要确定两个点即可，其中一个是圆心，另一个是圆上的一个点，通过这两个点我们就可以确定圆的位置和形状。

在解决圆锥曲线中的定点问题时，我们可以利用圆锥曲线的方程和性质来进行推导和计算，也可以通过几何分析和图形划分来解决问题。

我们还可以通过数学软件和计算工具来进行求解，提高求解的效率和准确性。

圆锥曲线中的定点问题是一个非常有趣和有挑战性的问题，通过研究和解决这些问题，我们可以进一步了解圆锥曲线的性质和特点，提高数学分析和推理的能力。

希望本文对大家对圆锥曲线中的定点问题有所启发和帮助，欢迎大家深入研究和探讨这一领域。

谢谢！第二篇示例：圆锥曲线是平面解析几何学中的重要内容，其中的定点问题一直是学习者们所关注的重点之一。

在圆锥曲线中，定点问题涉及到曲线上或者曲线的参数方程中的某一点，通常需要通过计算或者推导来确定这一点的具体位置或者性质。

在本文中，将讨论圆锥曲线中的定点问题及解决方法。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线以及抛物线四种类型，每种类型都有其特定的定点问题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第8章第7节一、选择题 1．(2010·聊城模考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A．5x2－45y2＝1 B.x25－y24＝1

C.y25－x24＝1 D．5x2－54y2＝1 [答案] D [解析] 抛物线y2＝4x焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，

又e＝ca＝5，∴a＝55，∴b2＝c2－a2＝1－15＝45， ∴双曲线方程为x215－y245＝1.

2．(2010·山东郓城)已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,5) C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5) [答案] C

[解析] 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x25＋y2m＝1上或共内部即可，从而m≥1. 又因为椭圆x25＋y2m＝1中m≠5，∴m∈[1,5)∪(5，＋∞)． [点评] 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位置． 3．图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是( ) A．e1C．e1[答案] B [解析] ∵C1、C2为椭圆，∴e∈(0,1) ∵C3、C4为双曲线，∴e∈(1，＋∞) 比较C1、C2 ∵a相等而C1比C2的短轴小， ∴C1的焦距比C2的焦距大，从而e1>e2 同理C4的虚轴长>C3的虚轴长，而实轴长相同 ∴C4的焦距>C3的焦距 ∴e4>e3 综上可得：e2[点评] 对于椭圆e＝ca＝1－ba2，e越大越扁，对于双曲线e＝ca＝1＋ba2，e越大开口越宽阔． 4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( ) A．32 B．26 C．27 D．42 [答案] C

[解析] 根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b>0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程得，

4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0， ∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b2＋4＝27，故选C. 5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若OA→·OB→＝0，则椭圆的离心率e等于( ) A.－1＋52 B.－1＋32 C.12 D.32 [答案] A [解析] 如图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆x2a2＋y2a2＝1得A(c，b2a)．

由OA→·OB→＝0结合图形分析得 |OF2|＝|AF2|，即c＝b2a⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac

⇒(ca)2＋ca－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝5－12. 6．(2010·重庆南开中学)双曲线x2n－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：|PF1|＋|PF2|＝2n＋2，则△PF1F2的面积是( ) A．1 B.12 C．2 D．4 [答案] A

[解析] 由条件知 |PF1|－|PF2|＝2n|PF1|＋|PF2|＝2n＋2， ∴|PF1|＝n＋2＋n，|PF2|＝n＋2－n 又∵|F1F2|＝2n＋1，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2| ＝12(n＋2＋n)(n＋2－n)＝1. 7．在同一坐标系中方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( ) [答案] D [解析] 方程a2x2＋b2y2＝1，即x21a2＋y21b2＝1，因为1a2<1b2，所以是焦点在y轴上的椭圆．方

程ax＋by2＝0化为y2＝－abx，为焦点在x轴的负半轴的抛物线． 8．(2010·长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为( )

A.12 B.22 C.32 D.62 [答案] B [解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点为x1＋x22，y1＋y22，mx12＋ny12＝1，mx2

＋ny22＝1，两式相减得y1＋y2x1＋x2＝－mn×x1－x2y1－y2，∴12＝－mn×(－1)，即mn＝12，离心率e＝1m－1n1m＝1－mn＝22，故选B.

9．(2010·福建福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A．5 B．8 C.17－1 D.5＋2 [答案] C [解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当P、Q、F、C四点共线时取最小值，故最小值为|FC|－1＝17－1.

10．(2010·北方四校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点Ap2，0的直线与抛物线C交于M、N两点，且MA→＝2AN→，过点M、N向直线x＝－p2作垂线，垂足分别为P、Q，△MAP、△NAQ的面积分别为记为S1与S2，那么( ) A．S1∶S2＝2∶1 B．S1∶S2＝5∶2 C．S1∶S2＝4∶1 D．S1∶S2＝7∶1 [答案] C

[解析] 依题意，点A为抛物线的焦点，直线x＝－p2为抛物线的准线，则|MP|＝|MA|，|NA|＝|NQ|，∠PMA＝π－∠QNA，故S1＝|MP||MA|sin∠PMA＝4|AN|2sin∠QNA＝4S2，故选C. 二、填空题 11．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________． [答案] (1，2)

[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即ba<1，∴c2－a2a2<1，∴c2a2<2，即e2<2，∵e>1，∴112．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．

[答案] x2－y28＝1(x>1) [解析] 设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|. 从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a＝1，c＝3， ∴b2＝8.故方程为x2－y28＝1(x>1)． 13．(2010·平顶山市调研)在下列命题中： ①方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成区域面积为2； ②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝±x； ③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆； ④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．正确的命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上) [答案] ①②④ [解析] 方程|x|＋|y|＝1与两轴交点A(－1,0)，B(0，－1)，C(1,0)，D(0,1)组成正方形的

面积S＝12|AC|·|BD|＝12×2×2＝2，故①真；设与两坐标轴距离相等的点为P(x，y)，则|x|＝|y|，∴y＝±x，故②真；∵两点E(－1,0)，F(1,0)的距离|EF|＝2>1， ∴到两点E、F距离之和等于1的点不存在，∴③错误；与两点E、F距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线正确． 14．(2010·安徽安庆联考)设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为2－1的点P的个数为________． [答案] 3 [解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，

代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，

∵直线y＝2x＋22与l距离d＝22－25， ∴欲使S△ABP＝12|AB|·h＝52h＝2－1，须使h＝22－25，∵d＝h，∴直线y＝2x＋22与椭圆切点，及y＝2x＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．三、解答题 15．(2010·新课标全国)设F1、F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1

斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． [解析] (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a. l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1. 消去y，整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2c2－b2a2＋b2. 因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[x1＋x22－4x1x2]，得43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22. (2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3. 由|PA|＝|PB|得kPN＝－1. 即y0＋1x0＝－1，