无限循环小数化分数
教学设计：无限循环小数化分数
设 ，由 可知： ，
∴ ，解方程，得： .于是，得 .
根据小明的做法，请进一步思考，回答下面的问题：
（1）如何把 化为分数形式？动手试一试.
（2）如何把 化为分数形式？动手试一试.
（3）如何把 化为分数形式？动手试一试.
活动二：小组合作探究
我们已经知道，对于一个无限纯循环小数（循环节是从小数点后第一位开始的，例如： ， …），可以化为分数.那么对于一个无限混循环小数（循环节不是从小数点后第一位开始的，例如： ， ， …），我们能否总结出类似的方法呢？
（1）如何把 化为分数形式？动手试一试.
（2）如何把 化为分数形式？动手试一试.
（3）如何把 化为分数形式？动手试一试.
活动三：应用所学
无限循环小数与分数的互化
ɺ ɺ 化成分数. 例3： 将 0.1503 化成分数.
ɺ 练习： 练习： 分别将 0.65 、 ɺ 0.34 、 ɺ ɺ 、0.678 、 ɺ 0.334 ɺɺ 0.076
化成分数. 化成分数. 思考：混循环小数化成分数有何规律？ 思考：混循环小数化成分数有何规律？
归纳： 归纳：
对于混循环小数，循环节有几位，就在 对于混循环小数，循环节有几位， 分母上先添几个9 分母上先添几个9，小数部分不循环的小 数有几位，就在9后面添几个0 数有几位，就在9后面添几个0，分子用 所有的小数部分减去非循环节的小数部 分.
练习： 练习： 把下列分数化成循环小数： 1、 把下列分数化成循环小数：
1 （1 ） = 9 1 （2 ） = 99 1 （3 ） = 999
5 ， = 9 17 ， = 99 38 ， = 999
8 ， = 9 34 ， = 99 125 ， = 999
.
. .
（2 ） 将
ɺ ɺ 化成分数. 0.85 化成分数.
ɺ ɺ ɺ 化成分数. （3） 将 0.792 化成分数.
思考：将纯循环小数化成分数有何规律？ 思考：将纯循环小数化成分数有何规律？
归纳： 归纳：
对于纯循环小数，循环节有几位就在分 对于纯循环小数，循环节有几位就在分 纯循环小数 就在 上添几个 几个9 并将循环节添在分子 循环节添在分子上 母上添几个9，并将循环节添在分子上。
2.7（ 2.7（3） 分数与小数的互化
无限循环小数与分数的互化
例1 ： 将 练习： 练习：
ɺ 化成分数. 0.5 化成分数. ɺ 化成分数. 0.7 化成分数.
ɺ 化成分数. 1、 把 0.2 化成分数.0.53 化成分数.
把循环小数化成分数的方法
把循环小数化成分数的方法循环小数是指小数部分有无限循环的数字。
例如，0.3333...就是一个循环小数，因为小数部分永远都是3无限循环。
循环小数有时候会给我们带来麻烦，特别是在数学中。
但是，将循环小数转换成分数是一个简单而有效的方法，可以让我们更方便地进行计算和理解。
本文将介绍如何将循环小数转换成分数的方法，包括使用长除法和使用公式的两种方法。
这些方法都是非常简单易懂的，无需高深的数学知识，只需要一些基本的算术技巧和耐心。
使用长除法转换循环小数成分数长除法是一种基本的算术技巧，可以帮助我们将循环小数转换成分数。
下面是一个例子，演示了如何使用长除法将循环小数转换成分数：例如，将0.6666...转换成分数。
首先，让分数x等于0.6666...，然后将x乘以10，这样小数点右移一位，得到6.6666...。
接下来，将6.6666...减去0.6666...，得到6。
然后将6除以10，得到0.6。
现在，让分数x等于0.6。
将x乘以10，得到6，将6减去0.6，得到5.4。
将5.4除以10，得到0.54。
现在，让分数x等于0.54，将x乘以10，得到5.4，将5.4减去0.54，得到4.86。
将4.86除以10，得到0.486。
现在，让分数x等于0.486，将x乘以10，得到4.86，将4.86减去0.486，得到4.374。
将4.374除以10，得到0.4374。
以此类推，我们可以一直进行下去，直到我们得到一个分数为止。
在这个例子中，我们不断地将x乘以10，然后从中减去之前的结果，直到得到一个不再循环的小数。
这个不再循环的小数就是我们想要的分数。
在这个例子中，我们得到的分数是2/3。
使用公式转换循环小数成分数除了长除法外，我们还可以使用公式来将循环小数转换成分数。
这个公式是：x = a + b/(c-1)其中，a是循环小数的整数部分，b是循环小数的非循环部分，c 是循环节的长度。
下面是一个例子，演示了如何使用公式将循环小数转换成分数：例如，将0.3333...转换成分数。
无限循环小数化分数
无限循环小数的分数表示一、学情分析：学生已经学过了纯循环小数与混循环小数的概念、小数与分数的互化、分数比较大小、小数与分数的混合运算等知识。
这堂课实际上是把之前学过的相关知识进行复习与整合，运用之前所学知识经验生成新知识、形成新思想的过程。
这个课题乍一看似乎有一定的难度，尤其是问题刚一抛出时预计学生会无法动笔。
但只要学生掌握了之前分数与小数的相关知识，那么随着教师环环相扣、层层深入的引导，我相信对于绝大多数学生来说掌握这个知识点应该没有任何困难，关键是要使养成自主探究、自我反思的习惯，提高学生的合情推理能力，发展学生的思辨意识。
因此教师在整堂课中数学思想的渗透和对于学生正面的、中肯的评价很重要。
二、内容和内容解析：1.内容：无限循环小数化分数。
2.内容解析：在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。
该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的学习却有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。
新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
故而在教学中我安排了部分时间，采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。
教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。
教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法三、目标和目标解析：1.引导学生通过大胆猜想、合理排除、实践验证、归纳总结的过程探究纯循环小数化分数的方法，解决相应问题。
2.渗透类比、极限思想。
3.培养学生化繁为简、灵活变通的学习思路、独立思考的能力和乐于探究的精神。
四、教学支持条件分析：学会利用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。
小升初数学循环小数化分数概念
必备小升初数学循环小数化分数概念数学的学习是必要的，为了帮助大家更好的学习数学，本文推荐的是小升初数学循环小数无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n(n为小数点后非循环位数)，所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。
方法1.无限循环小数，先找其循环节(即循环的那几位数字)，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时(0.1)^(n)=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
方法2：设0.3333……，三的循环为x，10x=3.3333……10x-x=3.3333……-0.3333……(注意：循环节被抵消了)9x=33x=1x=1/3第二种：如，将3.305030503050……(3050为循环节)化为分数。
解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a 10000a-a=30509999a=3050a=3050/9999算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。
再把整数部分乘分母加进去就是(3×9999+3050)/9999=33047/9999还有混循环小数转分数如0.1555……循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0分子为非循环节+循环节(连接)-非循环节+15-1=1414/90约分后为7/45家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
各种无限小数化成分数的方法归纳
各种无限小数化成分数的方法归纳
无限小数是指小数部分无限循环或无限不循环的小数表示方式。
将无限小数化成分数有多种方法，下面将对常见的几种方法进行归
纳和介绍。
1. 除法法：
该方法是将无限小数表示为一个整数除以一个整数的形式。
具
体步骤如下：
- 将无限小数的循环部分用字母（如a）表示。
- 设无限小数为x，则可以表示为x = 整数部分 + a / 99...9（循
环位数与a的循环长度相同）。
- 通过除法运算，将a除以99...9，得到一个无限循环小数。
- 对这个新的无限循环小数，继续使用除法法求其分数表示。
- 将得到的分数与整数部分相加，即可得到最终的分数表示。
2. 连分数法：
连分数是一种无限循环的分数表示方式。
具体步骤如下：
- 假设无限小数为x，则可以表示为x = 整数部分 + 1 / (无限循
环小数部分)。
- 将无限循环小数部分用字母（如a）表示。
- 则x = 整数部分 + 1 / (a + 1 / (a + 1 / (a + ...)))。
- 将这个连分数展开，并求值，得到最终的分数表示。
3. 近似法：
如果无限小数的循环部分位数较多，或者不方便使用其他方法，可以使用近似法来快速估算出一个接近的分数表示。
- 将无限小数的循环部分截断，取前几位数。
- 将截断后的数与一个适当的分数相比较，选取最接近的分数
作为近似的分数表示。
这几种方法可以帮助将无限小数转化为分数形式。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，以便得到准确的结果。
数学人教版七年级上册无限循环小数化分数(教学设计)
陈荣华
本课时简要说明
这节课的内容是：无限循环小数化为分数
学习目标：
知识与技能：
1、了解无限循环小数都可以化为分数形式； 2、会将一个无限循环小数化为分数。 过程与方法： 1、由分数化小数入手，体会分数可以化为小数，为本节课的学习作准备 2、通过观察、猜测、计算、推理、验证的过程体会无限小数化分数的方法 情感态度价值观： 1、在数学活动中欣赏数学的结构美，简洁美，培养学生主动探究意识。 2、培养学生积极探索、勇于尝试的学习态度 数学活动经验： 在探究无限循环小数化分数过程中渗透转化思想， 体会方程的作用，领悟探究式学习的方法及策略。
1 2 3 4 1 0 .1 2 3 9 9 9 3 3 3
分 子 分 母
循环节中的数字所 组成的数
n个9，其中n等于循环 节所含的数字个数
1234 0.1234 9999
注意：结果要化为最简分数
…
整理反思——一个良好的习惯 1、所有的小数都可以化为分数吗？ 2、无限循环小数化为分数有一般的规律吗？ 3、从本节课我学到探究一个问题的策略是＿＿＿ 4、许多想说的疑问：……
谢谢大家，下课！
0 .9
辩论：
0.9 1
0.9 1
到底谁对呢？
探究无限循环小数化分数 的方法
怎样将无限循环部分消去？
思考：请找出 7 . 7 与 0 . 7 的关系？
7 .77 .7 7 7 7 ... 0 .70 .7 7 7 7 ...
方程的方法
解：设 0.7 x ①
无限循环小数
纯循环小数 混循环小数
人教版初一数学上册无限循环小数化分数
练习： 将 0.2， 0.7 化为分数形式。
自主探究
1.用分数形式表示0.73 2.用分数形式表示0.236
思考： 将纯循环小数化成分数有何规律？
归纳： 对于纯循环小数，循环节有几位就在分 母上添几个9，并将循环节添在分子上。
例2 ：将0.128化为分数形式。
合作交流
1.用分数形式表示 0.234
实验与探究
无限循环小数化分数
福田河中心学校 黄治安Βιβλιοθήκη 驶向胜利 的彼岸小数的分类：
有限小数
小
数
无限循环
无限小数 小数
无限不循 环小数
纯循环小数 0.3 ，0.27 混循环小数 0.315 ，0.269
我来回答
1. 3.3是0.3的 11 倍 2 . 3.3是0.3的 10 倍
例1：用分数形式表示0.3
0.18 = 17/90
0.125 = 113/900
0.201 = 181/900 0.326 = 323/990
0.1234 = 1222/9900 0.0027 = 25/9000
练习：
1、 把下列分数化成循环小数：
1
5
8
（1） = ， = ， = .
9
9
9
1 （2）9 9 =
1
（3） =
999
化为分数形式。
下课了!
17
34
， 9 9 = ，9 9 = .
38
125
，=，=.
999
999
小试牛刀 1.试比较0.9与1的大小关系
2. 将 323/990 化为分数
小结与作业：
小结： 1、所有的小数都可以化为分数吗？ 2、无限循环小数化为分数的规律。
无限循环小数化为分数教案
教案：《无限循环小数与分数的互化》风华初级中学 吴晓闽【教学目标】1、知道无限循环小数都可以化成分数形式，会将一个无限循环小数化成分数．2、在探究过程中体会猜想、验证的方法和方程、转化的思想，激发学生主动探究的意识．【教学重点】会将无限循环小数化成分数．【教学难点】探究将无限循环小数化成分数的方法．【教学过程】（一）问题引入将下列分数化成小数：110= ；23= ；56= ． （复习有限小数，并介绍纯循环小数、混循环小数的相关概念）分数都可以化成小数，一般化小数的方法是分子除以分母，除得尽的是有限小数，除不尽的是无限循环小数；反之，有限小数和无限循环小数也可以化成分数．我们已经学会了把有限小数化成分数，那么，无限循环小数如何化成分数呢？（由此引出课题）（二）探究新知问题1：将0.1g化成分数． 提问：10.110=g 有可能吗？（预设学生回答：因为1011.0=，而0.10.1>g ，所以10.110>g ） 追问：那么0.1g 等于比0.1即110略大一点的哪个分数呢？（预设学生会猜测10.19=g ） 通过猜想、验证的方法我们发现0.1g 可以化成19，请顺着这种思路完成以下各题： 0.2=g ；0.3=g ；0.4=g ；0.5=g ； 0.6=g ；0.7=g ；0.8=g ；0.9=g． （对于0.91=g ，学生可能会感到意外，可引导学生从多个角度进行思考．）继续提问：将0.1g 化成分数，除了猜想、验证之外，还有其他解决办法吗？若学生没有思路，则采用问题组的方式进行引导：无限循环小数化为分数消去了循环节，用什么方法可以消去循环节（消去一个数或式子）？利用加减法构造生成另一个数，这个数需要满足什么条件（①含有相同的循环节，②加减后的结果是0.111…的倍数）？用什么方法构造满足条件的这个数？构造生成的数是0.111…的多少倍才能满足条件（即含有的循环节不变）呢？（预设学生可能会说10倍，追问一句，100倍可以吗？1000倍呢？）问题解决：解：设0.1x =g ，那么10 1.1x =g ．而1.10.11-=g g ，即101x x -=．解得：19x =．所以，10.19=g ．问题2：将0.01g g 化成分数．（预设大多数学生会采用猜想、验证的方法得到10.0199=g g ） 追问：那0.53g g呢？如果用列方程求解的方法你会解决这个问题吗？问题3：对于循环节是三位数字的纯循环小数，你会把它化成分数吗？请任举一例并转化． （问题比较开放，放手让学生探究）探究一：将纯循环小数化成分数有什么规律？10.19=g 530.5399=g g 4870.487999=g g 归纳：对于纯循环小数，循环节有几位，就在分母上添几个9，并将循环节添在分子上．同学们已经会把纯循环小数化为分数，下面继续研究怎样将其他类型的循环小数化为分数． 问题4：将2.7g化成分数．提问：想一想2.7g 与0.7g 有什么数量关系？（预设学生回答：2.720.7=+g g ）追问：根据这种数量关系能否将2.7g 化成分数？（若有学生列方程解决也应给予充分肯定）在解决这个问题的过程中使用了转化思想，将2.7g 拆成整数2与纯循环小数0.7g 的和，从而把新的问题转化为可利用旧知解决的问题．问题5：请尝试用转化思想将0.65g 化为分数．（引导学生自主探究，充分肯定各种方法）问题6：请把以下两个混循环小数化成分数．（男、女生分组完成）（男）0.334g g ；（女）0.678g．探究二：将混循环小数化成分数有什么规律？656590.659090-==g 33433310.334990990-==g g 678676110.678900900-==g 归纳：对于混循环小数，循环节有几位，就在分母上先添几个9，小数部分不循环的小数有几位，就在9后面添几个0，分子用写成循环节的所有小数部分减去非循环节的小数部分．（三）课堂小结1、循环小数化分数对于纯循环小数，循环节有几位，就在分母上添几个9，并将循环节添在分子上．对于混循环小数，循环节有几位，就在分母上先添几个9，小数部分不循环的小数有几位，就在9后面添几个0，分子用写成循环节的所有小数部分减去非循环节的小数部分．2、思想方法：猜想、验证；方程、转化．（四）布置作业1、类比可化成有限小数的分数特点，思考怎样的分数可化为纯（或混）循环小数．2、整理今天课堂所学，制作一张数学小报．【教学反思】_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
把无限循环小数化为分数形式的一般方法
把无限循环小数化为分数形式的一般方法说实话把无限循环小数化为分数形式这事，我一开始也是瞎摸索。
我记得我最开始尝试的时候，就直接把这个小数写成分数形式，但根本不知道分母和分子该怎么定，这当然是失败的。
后来我发现对于纯循环小数，比如说……这种的，其实有一个比较简单的方法可以试试。
你就把这个循环节拿出来做分子，循环节就一个3嘛，然后分母就看循环节是几位数字，1位数字就写个9。
所以……就可以化为3/9，当然还可以再约分，就是1/3。
但是像……这种循环节是两位数字的纯循环小数呢。
还是把循环节12拿出来做分子，分母就是99，因为循环节是两位数嘛，那就得到12/99，约分一下就是4/33。
再说到混循环小数就更复杂一点了。
比如……这种，我当时就困惑了好久。
我试过先把不循环的部分和循环部分分开看。
不循环的部分是，先把它写成23/100。
然后对于循环节4 ，因为这是个混循环小数，循环节只有1位数字，分母就用900 。
为啥是900呢？这个我也不是特别肯定，我理解是因为前面有两位不循环的，就相当于是100乘上对循环节对应的9，分子就是循环节的数字，也就是4，这个部分就是4/900 。
最后把这两部分加起来，23/100加上4/900，通分得到207/900加上4/900，结果就是211/900。
我还试过用方程的方法来做，设这个无限循环小数为x。
就拿……来说，设x = ……，那么10x = ……，然后用10x - x ，就得到9x = 3，那x就等于3/9也就是1/3。
这个方法对于有些复杂一点的混循环小数也适用，但是计算起来可能会麻烦一点。
不过总的来说如果你掌握了这些方法，以后再遇到把无限循环小数化为分数的问题，就不会那么发愁啦。
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人教版初中数学七年级上册实验与探究（第95页）
无限循环小数化分数
武汉市黄陂区前川街第三中学刘光华【教学目标】
知识技能:了解无限循环小数可以化为分数形式,会列一元一次方程, 将无限循环小数化为分数。
数学思考：在探究无限循环小数化分数的过程中渗透转化的思想，体会方程在解决这一问题中的作用。
解决问题：通过观察、动手实践、合作探究，提高学生利用方程思想解决问题的能力。
情感态度：体会数学的理性美，培养学生主动探究意识。
【教学重点】列方程将一位循环节的纯无限小数化为分数。
【教学难点】探究将循环小数化为分数的方法。
【教学过程】
一、情景导入
每天的日落日出，永不停息；一年四季的春夏秋冬，周而复始，这是大自然赋予的神奇的循环；艺术家也用循环创作出美妙的音乐和绚丽的图案。
在数学世界里也有这样神奇的数---无限循环小数，同学们知道，在除法运算中，因无法除尽而产生无限循环小数，例如：=0.333…反过来，一个无限循环小数能否化为分数？怎样转化1÷3=1
3
呢？（出示课题：无限循环小数化分数）
二、 导学共探
1、 想一想
下列循环小数你能将哪些化为分数？要探究这些循环小数
化分数，你会选择怎样的顺序？
0.3·2· ， 0.3· ， 0.3·16· ， 2.07· ， 0.7· ， 1.3· ，0.13·
【设计意图】让学生初步体会从特殊到一般的数学探究思想
2、 探究0.7·的分数的化法
分析：设0.777…＝x ①
两边同时乘10，得：
7. 777…＝10x ②
②-①得9x ＝7，
即x ＝79
.
练习：分别把0.1· 、0.2·化为分数，你有什么发现？（学生独立完成） 想一想
0.9·≈1和0.9·＝1哪一个正确，请用所学知识说明。
3、合作探究（一）（纯循环小数化分数）:
怎样把怎样把0.3·2· ，0.3·16·化成分数，你有什么发现？ 归纳：纯循环小数化分数。
分子是循环节所表示的数；分母的各位数
字都是9，9的个数和一个循环节的数字的个数相同。
【设计意图】通过学生分组讨论并归纳发现纯循环小数化分数的基本规律，让学生体会合作学习的快乐。
练习：
下列循环小数你能直接说出它的分数形式吗？
0.5· ，0.7· ，0.2·1· ，0.2·53·，
思考：
如何将1.6· ，2.1·3·化为分数？和前面相比较，你有什么发现？ 分析：先将1.6·看成1加0.6·，先化出0.6·，在加上1即可。
【设计意图】运用发现的规律解决实际问题
4、合作探究（二）：（纯循环小数化分数）
怎样把0.07· ，0.13·化为分数？对比前面的规律，你有什么发现？ 分析：先将看成0.07·扩大10倍，即为0.7·，再将所得结果缩小10倍。
三、归纳总结
（1）所有小数都能化成分数吗？
（2）从本节课你发现的探究问题的策略是
四、课堂作业：
1、直接写出下列循环小数的分数形式。
0.5·2· ， 0.4·，0.0·7· ， 0.1·26· ；
2、将下列循环小数的分数形式。
0.03· ， 0.52· ， 0.1·26· ；。