人教版数学七年级下册-无限循环小数可以化成分数
无限循环小数化为分数的方法
无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。
把无限循环小数化成分数的方法
把无限循环小数化成分数的方法如何将无限循环小数化成分数无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。
例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。
将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。
下面将介绍几种方法来实现这个转换。
方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。
例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。
然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。
接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。
解这个方程，得到x = 1/3。
方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。
例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。
然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。
接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。
解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。
方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
把循环小数化成分数的方法
把循环小数化成分数的方法循环小数是指小数部分有无限循环的数字。
例如，0.3333...就是一个循环小数，因为小数部分永远都是3无限循环。
循环小数有时候会给我们带来麻烦，特别是在数学中。
但是，将循环小数转换成分数是一个简单而有效的方法，可以让我们更方便地进行计算和理解。
本文将介绍如何将循环小数转换成分数的方法，包括使用长除法和使用公式的两种方法。
这些方法都是非常简单易懂的，无需高深的数学知识，只需要一些基本的算术技巧和耐心。
使用长除法转换循环小数成分数长除法是一种基本的算术技巧，可以帮助我们将循环小数转换成分数。
下面是一个例子，演示了如何使用长除法将循环小数转换成分数：例如，将0.6666...转换成分数。
首先，让分数x等于0.6666...，然后将x乘以10，这样小数点右移一位，得到6.6666...。
接下来，将6.6666...减去0.6666...，得到6。
然后将6除以10，得到0.6。
现在，让分数x等于0.6。
将x乘以10，得到6，将6减去0.6，得到5.4。
将5.4除以10，得到0.54。
现在，让分数x等于0.54，将x乘以10，得到5.4，将5.4减去0.54，得到4.86。
将4.86除以10，得到0.486。
现在，让分数x等于0.486，将x乘以10，得到4.86，将4.86减去0.486，得到4.374。
将4.374除以10，得到0.4374。
以此类推，我们可以一直进行下去，直到我们得到一个分数为止。
在这个例子中，我们不断地将x乘以10，然后从中减去之前的结果，直到得到一个不再循环的小数。
这个不再循环的小数就是我们想要的分数。
在这个例子中，我们得到的分数是2/3。
使用公式转换循环小数成分数除了长除法外，我们还可以使用公式来将循环小数转换成分数。
这个公式是：x = a + b/(c-1)其中，a是循环小数的整数部分，b是循环小数的非循环部分，c 是循环节的长度。
下面是一个例子，演示了如何使用公式将循环小数转换成分数：例如，将0.3333...转换成分数。
《无限循环小数化分数》教学案例
《无限循环小数化分数》教学案例XXXXXX1.案例背景在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。
该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的研究却有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。
新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
故而在教学中我安排了部分时间，采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。
2.教学片断在新内容开始前我先带着学生回顾了之前研究的关于有理数的部分知识，并作为新课的引入。
[师]：我们之前在研究有理数时曾经提到过所有的有理数都可以写成什么形式啊？[生]：都可以写成分数的形式。
[师]：很好。
那我问大家，我们之前研究过的，无限循环小数是不是有理数啊？可不可以化为分数形式啊？[生]：无限轮回小数是有理数，可以化为分数形式。
[师]：那我举个例子，比如说0.3，它的分数形式应该怎么表示呢？[师]：很好，这是大家很早就认识的一个分数了，对它也比较了解。
那任意一个无限循环小数又如何去表示成分数呢？（学生们开始沉思）这就需要大家自己参照我们的课本好好探究了。
在教学中，我安排学生自主阅读教材探究这样一个问题，学生们带着问题去读书，注意力集中，兴趣也提高了。
在看到学生基本上通读过教材内容之后，我对于教材提出了相应的问题，布·置了简单的两个练，学生也很快按照课本上的方法做出了回覆。
练：将0.11和0.1写成分数的形式。
在这两个练的命题上我有自己的处理安排，而学生也很快有了自己的问题：[生]：0.11原本就是0.1，为什么教师要写两个轮回节标记呢？[师]：这位同学的问题很好，也确实如此，写成两个循环节符号是没有必要的。
混循环小数化成分数的方法高分指南
混循环小数化成分数的方法高分指南一、混循环小数的定义与特点混循环小数是指小数部分为无限循环小数的分数。
3.5454...，这样的小数就是混循环小数。
由于混循环小数具有无限循环的特点，因此化成分数的方法相对复杂，需要我们根据具体情况采取不同的策略。
二、混循环小数化成分数的一般步骤1.观察小数部分的循环节，找出循环节的长度。
2.假设循环节的长度为n，则将小数部分乘以10^n，得到10^n*x。
3.假设10^n*x = a.bbb...，其中a为整数部分，bbb为非循环节部分。
4.设10^n*x = a + 0.bbb...，则将10^n*x - x = a，得到(10^n -1)*x = a。
5.解出x = a / (10^n - 1)，即为混循环小数化成分数的结果。
三、具体实例分析例1：将0.3(无限循环)化成分数。
1.观察小数部分的循环节，发现只有一位循环节。
2.将0.3乘以10，得到3。
3.将10*0.3 = 3，得到3 = 3 + 0，即a=3，bbb=0。
4.由于循环节只有一位，令n=1，即10^1 - 1 = 9，a = 3。
5.根据公式x = a / (10^n - 1)，代入a=3，n=1得到x=3/9=1/3。
6.0.3(无限循环)化成分数的结果为1/3。
例2：将0.36(无限循环)化成分数。
1.观察小数部分的循环节，发现只有两位循环节。
2.将0.36乘以100，得到36。
3.将100*0.36 = 36，得到36 = 36 + 0，即a=36，bbb=0。
4.由于循环节有两位，令n=2，即10^2 - 1 = 99，a = 36。
5.根据公式x = a / (10^n - 1)，代入a=36，n=2得到x=36/99=4/11。
6.0.36(无限循环)化成分数的结果为4/11。
四、混循环小数化成分数的注意事项1.观察小数部分的循环节，根据循环节长度的不同采取相应的方法。
2.化简分数部分，得到最简分数形式。
无限循环小数化分数
•
把 0.3 化成分数
• 分析：
• 3.3333…与0.3333… 的关系： ① 3.3333…是 0.3333…的（）倍 的（）倍 是 0.3 即 3.3 大（） 3.3 ② 比 0.3
练
• 把下列无限循环小 数化为分数：
•
习
通过练习， 你能发现有 什么规律吗？
0.2
2 9
• • •
0.4
0.6 0.9
4 9
2 6 = 3 9
9 =1 9
0.a 0.a
=？
=
a 9
自主探索
• 你能把 0.13 化成分
数吗？
把下列无限循环 小数化为分数：
练
习Hale Waihona Puke 通过练习，你发现有 什么规律吗？ 0.ab =？
ab 0.ab = 99
0.14
14 99
0.21
•
说出下列无限循环小 数化成分数的结果
0.7 0 . 5 0.22 • （1） （2） （3） 0.531 0.2465 • （4） 0.34 （5） （6）
课堂小结
• 1. 无限循环小数化为分数的 基本思路是什么？
• 2. 无限循环小数化为分数有 一般的规律吗？要注意什么 问题？
拓展提高
•
= 0.14
14 99
化成分数吗？ • 你能将 0.014 14 • 0.014 = 990
化成分数吗？ • 你能将 1.114
•
= 1.114
113 1 990
无限循环小数化分数
双凤中学 刘登雪
•
我们知道分数可化为有限小数 或无限循环小数，有限小数可 化为分数，那么无限循环小数 能化为分数吗？
无限循环小数化成分数的方法
无限循环小数化成分数的方法无限循环小数，顾名思义就是小数部分无限循环重复的数字。
在数学中，我们经常会遇到无限循环小数，那么如何将无限循环小数化成分数呢？接下来，我们将介绍几种方法来解决这个问题。
首先，我们来看一个简单的例子，0.3333...，这个小数无限循环重复的数字是3。
我们可以将它表示为0.3（3）的形式，其中括号内的数字表示循环的部分。
这样，我们就将无限循环小数化成了分数，即1/3。
接下来，我们来介绍一种常见的方法，设x=0.3333...，则10x=3.3333...。
接着，我们将两个式子相减，得到9x=3，从而得出x=1/3。
这就是将无限循环小数化成分数的一种常用方法。
通过这个例子，我们可以看到，将无限循环小数化成分数的关键在于找到一个适当的变换，使得原来的无限循环小数可以表示为一个分数。
除了上述方法外，还有一种更直观的方法来将无限循环小数化成分数，那就是利用无限循环小数的性质。
我们知道，无限循环小数可以表示为一个有限小数加上一个无限不循环小数的和。
比如0.272727...可以表示为0.27+0.0027+0.000027+...，这样我们就可以将无限循环小数化成一个分数的形式。
此外，我们还可以利用数学定理来将无限循环小数化成分数。
比如，对于形如0.abcabc...的无限循环小数，我们可以利用“无穷等比数列求和公式”来将其化成分数的形式。
这种方法需要一定的数学知识作为基础，但是一旦掌握，就可以轻松地将无限循环小数化成分数。
总的来说，将无限循环小数化成分数并不是一件困难的事情，只要我们掌握了一定的方法和技巧，就可以轻松地解决这个问题。
通过本文的介绍，相信读者们已经对这个问题有了更深入的理解，希望可以对大家有所帮助。
人教版 数学七年级下册课时练 第六章 实数 6.3 第1课时 实数的概念
人教版 数学七年级下册 第六章 实数6.3 实数第1课时 实数的概念1．(教材P57，习题6.3，T1改编)下列说法正确的是( C )A ．带根号的数一定是无理数B ．无限小数一定是无理数C ．无理数一定是无限小数D ．无理数是开平方或开立方开不尽的数2．(2019·湖南邵阳中考)下列各数中，属于无理数的是( C ) A.13 B ．1.414 C. 2 D. 43．(2018·湖北咸宁中考)写出一个比2大比3小的无理数(用含根号的式子表示)__5(答案不唯一)__．4．下列说法中，正确的是( C )A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．正实数包括正有理数和正无理数D ．实数可以分为正实数和负实数两类5．把下列各数填在相应的大括号内：0，8，－3827，16，－27，－2，3，227，π4，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)．自然数集合：{0，16，…}；有理数集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－3827，16，－2，227，…；正数集合：{8，16，3，227，π4，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…}；整数集合：{}0，16，－2，…；非负整数集合：{}0，16，…；无理数集合：{8，－27，3，π4，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…}．6．(2019·湖北宜昌中考)如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是( D)A．点A B．点BC．点C D．点D7．如图，O是原点，实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列结论错误的是( B)A．a－b＞0 B．ab＜0C．a＋b＜0 D．b(a－c)＞08.(2019·安徽合肥蜀山区期末)如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B，则点A表示的数为__1－3__.易错点对无理数的概念理解不清而致错9．(2019·湖北黄冈期末)在实数：3.141 59，364，0.4.6.，1.010 010 001…(每两个1之间依次多1个0)，π，227中，无理数有( B)A．1个B．2个C ．3个D ．4个10．已知点A 为数轴上表示实数2－1的点，将点A 沿数轴平移3个单位得到点B ，则点B 表示的实数为__2－4或__2＋2__. 11．(2019·福建泉州惠安一模)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．我们以无限循环小数0.5·为例说明如下：设0.5·＝x ，由0.5·＝0.555…可知，10x ＝5.555…，所以10x －x ＝5，解方程得x ＝59，于是，0.5·＝59.请你把0.2·7·写成分数的形式：__311__.12．先阅读材料，再回答问题．因为12＋1＝2，且1<2<2，所以12＋1的整数部分为1； 因为22＋2＝6，且2<6<3，所以22＋2的整数部分为2； 因为32＋3＝12，且3<12<4，所以32＋3的整数部分为3.(1)20的整数部分是__4__，小数部分是__20－4__；(2)以此类推，n 2＋n (n 为正整数)的整数部分是__n __，请说明理由．解：(2)n ，理由如下：因为n 2<n 2＋n <（n ＋1）2，即n <n 2＋n <n ＋1，所以n 2＋n 的整数部分为n .。
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无限循环小数可以化成分数
我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：
探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数．
分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……①
上面的方程两边都乘以100得
100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……②
②-①得
100x-x=32
99x=32
x= 32 99
所以0323232……= 32 99
用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5
9，0.3
·
02·=
302
999．
我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字．
探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数
分析：把小数乘以10得
0.4777……×10=4.777……①
再把小数乘以100得
0.4777……×100=47.77……②
②-①得
0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4
0.4777……×90=43
0.4777……= 43 90
所以 0.4777……=4390
再分析第二个数0.325656……化成分数．
把小数乘以100得
0.325656……×100=32.5656…… ①
把小数×10000得
0.325656……×10000=3256.56…… ②
②-①得
0.325656……×（10000-100）=3256-32
0.325656……×9900=3224
∴0.325656……=32249900
同样的方法，我们可化0.172·5·
=17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5·化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．。