高中数学人教A版选修2-3课时同步作业(15)离散型随机变量的方差
人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.3-2.3.2离散型随机变量的方差
第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.2 离散型随机变量的方差A级基础巩固一、选择题1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.答案：D2．已知X的分布列为：X －10 1则D(X)等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.答案：B3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是()A.甲C．一样D．无法比较解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．答案：B4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4. 答案：B5．随机变量ξ的分布列如下表，且E (ξ)＝1.1，则D (ξ)＝( )A.0.36 C ．0.49D ．0.68解析：先由随机变量分布列的性质求得p ＝12.由E (ξ)＝0×15＋1×12＋310x ＝1.1，得x ＝2，所以D (ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.答案：C 二、填空题6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.答案：0.57．已知X 的分布列为：若η＝2X ＋2，则解析：E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝59，D (η)＝D (2X＋2)＝4D (X )＝209.答案：2098．随机变量X 的分布列如下表：其中x ，y ，z 成等差数列，若E (X )＝13，则D (X )的值是________．解析：E (X )＝0×x ＋1×y ＋2×z ＝y ＋2z ＝13，又x ＋y ＋z ＝1，且2y ＝x ＋z ，解得x ＝23，y ＝13，z ＝0，所以D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132×0＝29.答案：29三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为：若E (X )＝23.(1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D （Y ）的值． 解：由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝1527＝59.(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )． 所以D （Y ）＝9D （X ）＝3D （X ）＝ 5.10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E (ξ)与方差E (ξ)(保留3位有效数字)．解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P (ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P (ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P (ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P (ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布列为：E (ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.D (ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.B 级 能力提升1．若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝X 1)＝23，P (ξ＝X 2)＝13，且X 1＜X 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则X 1＋X 2的值为( )A.53 B.73 C ．3D.113解析：X 1，X 2满足⎩⎨⎧23X 1＋13X 2＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫X 1－432×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫X 2－432×13＝29，解得⎩⎨⎧X 1＝1，X 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧X 1＝53，X 2＝23.因为X 1＜X 2，所以X 1＝1，X 2＝2，所以X 1＋X 2＝3. 答案：C2．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________． 解析：因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，且P (ξ＝1)＝332，所以C 1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝332，即n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝664，解得n ＝6，所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32.答案：3 23．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2×13×13＝29；“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P(ξ＝4)＝13×13＝19.则ξ的分布列为：(2)E(ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
高中数学人教A版 选修2-3 2.3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课 课件 (共39张PPT)
2.3.2离散型随机变量的均值与方差 ---------习题课
温故知新
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
(1)均值
1 1 2 2 i i n n 称 E(X)＝_____________________________ 为随机变量 X 的均值
1 1 1 2 1 1 1 P3＝1－4－2×1－6－3＝ × ＝ ， 4 6 24
1 1 1 5 则两人所付费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝ ＋ ＋ ＝ . 24 3 24 12 (2)设甲、乙所付费用之和为 ξ，ξ 可能取值为 0，40，80，120， 1 1 1 160，则：P(ξ＝0)＝ × ＝ ； 4 6 24 1 2 1 1 1 P(ξ＝40)＝4×3＋2×6＝4；
跟踪训练
1.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
工期延误
X<300
0
300≤X<700
2
700≤X<900
1 1 1 2 1 1 5 P(ξ＝80)＝4×6＋2×3＋4×6＝12； 1 1 1 2 1 P(ξ＝120)＝2×6＋4×3＝4； 1 1 1 P(ξ＝160)＝4×6＝24.
ξ的分布列为
ξ P
0 1 24
40 1 4
80 5 12
120 1 4
160 1 24
1 1 5 1 1 E(ξ)＝0×24＋40×4＋80×12＋120×4＋160×24＝80. 1 1 5 2 2 D(ξ)＝(0－80) × ＋(40－80) × ＋(80－80) × ＋(120－ 24 4 12
高中数学选修2-3课件2.3离散型随机变量的方差(新人教A版)
典例讲评
例5 袋中有6个红球和4个白球， 从中任取一个球，记住颜色后再放回， 连续抽取4次，设取得白球的次数为X， 求随机变量X的期望和方差.
X～B(4，0.4)，EX＝4×0.4＝1.6， DX＝0.6×EX＝0.96.
布置作业
P69习题2.3A组：1，4.
如果仅从平均射击成绩比较，能否区分 甲、乙两人的射击水平？
新知探究
2、考察X1和X2的分布列图，甲、乙两 人的射击水平有何差异？
0.3 P
0.2
0.1
5 6 7 8 9 10 X1
0.4 P
乙的射击成绩
0.3 0.2
更集中于8环，
0.1
相对较稳定.
5 6 7 8 9 X2
新知探究
3、从分布列图观察随机变量相对于均值
课堂小结
1.EX只反映离散型随机变量的平均 取值，DX则刻画了随机变量的取值与 均值的偏离程度，DX越小，说明随机 变量的取值越集中于均值附近，标准 差σX也具有同等意义.
课堂小结
2.在实际应用中，EX和DX是比较 产品质量，水平高低，方案优劣等问 题的定量指标，在许多决策问题中起 着重要的作用.
（1）若X～B(n，p)，则 DX＝np(1－p)＝(1－p)EX.
（2）D(aX＋b)＝a2DX.
典例讲评
例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰 子，求向上一面的点数X的均值、方 差和标准差.
EX＝3.5 DX≈2.92 σ X≈1.71
典例讲评 例2 有甲、乙两个单位都愿意聘用
你，而你能获得如下信息：
课堂小结
3.随机变量的均值和方差与样本 数据的均值和方差有相近的含义和 作用，但应用背景不同，计算公式 不同，不可混为一谈.
高中人教A数学选修2-3学案：2.3.2 离散型随机变量的方差 含答案
2.3.2离散型随机变量的方差自主预习·探新知情景引入A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X1012 3P 0.70.20.060.04B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10试问：由E(X1)和E2工质量？新知导学1．随机变量的方差、标准差的定义：设离散型随机变量的分布列如下表.X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则__(x i－E(X))2__i D(X)＝∑i＝1n(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__.我们称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的__标准差__．2．离散型随机变量与样本相比较，随机变量的__数学期望__的含义相当于样本均值，随机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的__概率__相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重．3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于__均值__的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度__越小__．4．方差的性质若a 、b 为常数，则D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__． 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n由Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)知Y 也是离散型随机变量．Y 的分布列为Y ax 1＋b ax 2＋b … ax i ＋b … ax n ＋b Pp 1p 2…p i…p n由数学期望的线性性质得E (Y )＝aE (X )＋b ，于是 D (aX ＋b )＝D (Y )＝∑i ＝1n(ax i ＋b －E (Y ))2p i＝∑i ＝1n(ax i ＋b －aE (X )－b )2p i ＝∑i ＝1n(ax i －aE (X ))2p i ＝__a 2∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i __＝__a 2D (X )__．5．若X 服从两点分布B (1，p )，则D (X )＝__p (1－p )__．设随机变量X ～B (1，p )，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E (X )＝p ，于是D (X )＝(0－p )2(1－p )＋(1－p )2p ＝p (1－p )(p ＋1－p )＝p (1－p )．6．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝__np (1－p )__．预习自测1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( B )环数k 8 9 10 P (ξ＝k ) 0.3 0.2 0.5 P (η＝k )0.20.40.4A ．甲B ．乙C ．一样D ．无法比较[解析] E (ξ)＝9.2，E (η)＝9.2＝E (ξ)，D (ξ)＝0.76，D (η)＝0.56<D (ξ)，乙稳定． 2．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则D (X )的值为( C ) A ．43B ．83C ．89D ．19[解析] D (X )＝4×13×(1－13)＝89．3．(2020·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k，(k ＝0、1、2、3、4、5)，则D (3ξ)＝( A )A ．10B ．30C ．15D ．5[解析] 由ξ的分布列知ξ～B (5，13)，∴D (ξ)＝5×13×(1－13)＝109，∴D (3ξ)＝9D (ξ)＝10，故选A ．4．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝__13__．[解析] 依题意可得E (X )＝np ＝30且D (x )＝np (1－p )＝20，解得p ＝13．5．(2020·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( A ) A ．23B ．59C ．29D ．34[解析] ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴由随机变量ξ的分布列，得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b≤1≤c ≤1a ＋b ＋c ＝12b ＝a ＋c，解得b ＝13，a ＝13－d ，b ＝13＋d ，E (ξ)＝－1×(13－d )＋0×13＋1×(13＋d )＝2d ，D (ξ)＝(－1－2d )2×(13－d )＋(0－2d )2×13＋(1－2d )2×(13＋d )＝23－4d 2．∴当d ＝0时，D (ξ)取最大值为23.故选A ．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求离散型随机变量的方差典例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、均值和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．[思路分析] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)运用E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )，求a ，b ． [解析] (1)X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P1212011032015∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5．D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75．(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2．又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4.即为所求． 『规律总结』 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值↓写出X 取每个值的概率↓ 写出X 的分布列↓由均值的定义求出E (X )↓利用公式D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 求值2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．┃┃跟踪练习1__■(1)已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝158，则D (X )等于( B )A ．3364B ．5564C ．732D ．932[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又E (X )＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38，所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564． (2)(2020·柳州高二检测)已知X 的分布列如下：P12 14a①求X 2的分布列； ②计算X 的方差；③若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．[解析] ①由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434②方法一：由①知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116．方法二：由①知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝1116．③因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11． 命题方向❷两点分布、二项分布的方差典例2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的均值与方差． [解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且X ～B (6，13)，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×(1－13)＝43．(2)由已知得Y ＝30X ，∴E (Y )＝30E (X )＝60，D (Y )＝900D (X )＝1 200．『规律总结』 1.如果随机变量X 服从两点分布，那么其方差D (X )＝p (1－p )(p 为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，那么方差D (X )＝np (1－p )，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．┃┃跟踪练习2__■若随机变量X ～B (3，p )，D (X )＝23，则p ＝__13或23__．[解析] ∵X ～B (3，p )， ∴D (X )＝3p (1－p )， 由3p (1－p )＝23，得p ＝13或p ＝23．命题方向3方差的实际应用典例3 (2020·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ 1 2 3 Pa0.10.6η 1 2 3 P0.3b0.3(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况． [解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a ＋0.1＋0.6＝1， ∴a ＝0.3．同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4． (2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3 ＝0.6．由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．『规律总结』 1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．2．求分布列时的关注点要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质简化概率．┃┃跟踪练习3__■为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)[解析] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3．(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2． P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P162316故ξ的期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1．(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．学科核心素养用公式法求离散型随机变量的方差若能判断出离散型随机变量服从常见的分布，则常用公式法求离散型随机变量的方差．注意以下三种分布在解题中的应用：①当X 服从两点分布，即X ～B (1，p )时，D (X )＝p (1－p )；②当X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p )；③当X 服从超几何分布，即X ～H (N ，M ，n )时，D (X )＝nM N (1－M N )N －n N －1．典例4 (1)若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (ξ)的最大值为__14__．(2)一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于__0.196__．[解析] (1)随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而ξ～B (1，p )，故D (ξ)＝p (1－p )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.故填14．(2)因为随机变量ξ～B (10,0.02)，所以D (ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填0.196． ┃┃跟踪练习4__■在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图.甲地 乙地 83 4 6 8 1 2 4 7 8 8 9 0 2 4 5 620 0 1 2(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D (ξ)．[解析] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为710.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为810＝45．(2)ξ的所有可能值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 18·C 22C 310＝115，P (ξ＝2)＝C 28·C 12C 310＝715，P (ξ＝3)＝C 38·C 02C 310＝715，所以ξ的分布列为：ξ 1 2 3 P115715715所以ξ的方差D (ξ)＝8×310×(1－810)×10－310－1＝2875．易混易错警示要准确理解随机变量取值的含义典例5 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X 的均值和方差．[错解] 5把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为15，故试开次数X ～B (5，15)，由二项分布均值与方差的定义知E (X )＝5×15＝1，D (X )＝5×15×(1－15)＝45．[辨析] 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．其次X ＝k 的含义是前k －1把钥匙没有打开房门，而第k 把钥匙打开了房门． [正解] 设X 为打开此门所需的试开次数，则X 的可能取值为1、2、3、4、5． X ＝k 表示前k －1次没打开此门，第k 次才打开了此门． P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝C 14C 15·14＝15，P (X ＝3)＝C 24C 25·13＝15，P (X ＝4)＝C 34C 35·12＝15，P (X ＝5)＝C 44C 45·1＝15，故随机变量X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5 P1515151515E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3．D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2． [误区警示] (1)弄不清随机变量X 取值的含义是本题解题的易错点，X ＝k 表示前k －1把钥匙是从4把打不开房门的钥匙中取的，故P (X ＝k )＝C k －14C k －15·15－(k －1)．(2)本题求分布列时，可换一个思维角度思考，把5把钥匙排成一列，能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的，因此排在第k 个位置的概率为P (X ＝k )＝15(k ＝1,2,3,4,5)．课堂达标·固基础1．已知随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P131313设Y ＝2X ＋3，则D (Y )A ．83B ．53C ．23D ．13[解析] ∵E (X )＝0×13＋1×13＋2×13＝1，∴D (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×13＋(2－1)2×13＝23， ∴D (Y )＝D (2X ＋3)＝4D (X )＝83．2．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X ，则D (X )的值为( C )A ．43B ．83C ．34D ．116[解析] 由题意，次品件数X 服从二项分布，即X ～B (4，14)，故D (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝34． 3．已知ξ～B (n ，p )，且E (3ξ＋2)＝9.2，D (3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n ，p 的值为( B )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1[解析] 由E (3ξ＋2)＝3E (ξ)＋2，D (3ξ＋2)＝9D (ξ)，设ξ～B (n ，p )时，E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )可知⎩⎪⎨⎪⎧3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.故选B ．4．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X 表示所有被取到的球的编号之和，则X 的方差为__179__．[解析] X 的分布列为则E (X )＝1×13＋3×12＋5×16＝83．D (X )＝179．5．在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．[解析] (1)设事件A 1表示甲选22题，A 2表示甲选23题，A 3表示甲选24题，B 1表示乙选22题，B 2表示乙选23题，B 3表示乙选24题，依题意P (A i )＝P (B i )＝13，i ＝1,2,3，则甲、乙两人选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立，∴P (A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝(13×13)×3＝13．(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.且5名考生选做这三题中的任意一题的可能性均为13，∴P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k5·25－k35，k ＝0,1,2,3,4,5，∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝np ＝5×13＝53．D (ξ)＝np (1－p )＝5×13×(1－13)＝109．。
离散型随机变量的方差
2.3离散型随机变量 的方差
复习回顾 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
E (aX b) aEX b
3、特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p （2）若 X ~ B(n, p) ，则 （3）若X֘
1 1．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3， 3 A 则D(3ξ＋5)＝( ) A．6 B．9 C．3 D．4
2 ．设ξ ～B(n，p)，且Eξ ＝ 12， Dξ＝ 4 ，则n与p 的值分别 为( )C 1 2 A．18， B．12， 3 3 2 1 C．18， D．12， 3 3
1
5 ．已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 EX ＝0 ， DX＝1，则a＝________，b＝________.
X P
－1 a
0 b
1 c
2 1 12
11 1 解析：由题知 a＋b＋c＝ ，－a＋c＋ ＝0,12×a＋12× 12 6 1 5 1 2 c＋2 × ＝1，解得 a＝ ，b＝ . 12 12 4
甲单位不同职位月工资X1/元 1200
获得相应职位的概率P1
0.4
1400 0.3 1400 0.3
1600 0.2 1800 0.2
1800 0.1 2200 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000
获得相应职位的概率P2
0.4
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解： EX 1400 , DX2 112000 , EX 2 1400 DX1 40000 1 在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
人教版高中数学选修2-3《2.3.2离散型随机变量的方差》
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
1400 , E（X 2） 1400 解： E（X1）
D（X1） 40000 , D（X 2） 160000
因为 E( X1 ) E( X 2 ), D( X1 ) D( X 2 )， 所以两家单位的工资均值相 等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相 对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲 单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
布、二项分布的方差的求法． 难点：离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系．
回 顾
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
E （X） xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
2、均值的性质
E (aX b) aE （X） b
3、特殊分布的均值
（X） p （1）若随机变量X服从两点分布，则 E （X） np （2）若 X ~ B(n, p) ，则 E
2.3.2离散型 随机变量的方差
【学习目标 】 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的
概念和计算．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实
际问题． 3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的 求法，会利用公式求它们的方差．
【重点难点 】 难点：离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算及两点分
课堂练习
1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不 中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7， 那么他罚球一次得分的方差是多少？
X P
X P
0 0.3
1 0.7
探究：若X服从两点分布：
0 1 1-p p
人教A版数学选修2—3 2.3.2 离散型随机变量的方差(共19张ppt)
1 n
x1
x
2
x2
x
2
1 n
n i 1
xi
x
2
Байду номын сангаас
pi
.
xn
x
2
反映了样本数据与样本平均值的偏离
程度能. 否用一个与样本方差类似的量来
刻画随机变量的稳定性呢?
三、方差的定义
设离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
随机变量的方差是常数，而样本的 方差是随着样本的不同而变化的，因此 样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的 增加，样本方差越来越接近总体方差， 因此常用样本方差来估计总体方差.
引例回顾
第如一果名其同他学对击手中的目射标击靶成的绩环都数在X17的环分左布右列，：
应XP派1 哪0.50一3 名0.6选09手0参.720赛0？.831
获得相应职位的概率P 1
0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
D X1 (1200-1400) 2 0. 4 (1400-1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
D(X )：随机变量 X 的方差， D(X ) 标准差
X
X
三、方差的定义
几点说明： （1）随机变量的方差和标准差都反映 了随机变量取值偏离于均值的平均程度.
方差或标准差越小，则随机变量偏 离于均值的平均程度越小，越稳定。
三、方差的定义
几点说明： （2）随机变量的方差与样本的方差有何 联系与区别？
人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差
导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。
人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.3-2.3.2离散型随机变量的方差 Word版含解析
第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.2 离散型随机变量的方差A级基础巩固一、选择题1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.答案：D2．已知X的分布列为：则D(X)等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.答案：B3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是()A.甲C．一样D．无法比较解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．答案：B4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.答案：B5．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝()A.0.36C．0.49 D．0.68解析：先由随机变量分布列的性质求得p＝1 2.由E(ξ)＝0×15＋1×12＋310x＝1.1，得x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.答案：C二、填空题6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.57．已知X的分布列为：若η＝2X＋2，则解析：E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D(X)＝59，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝20 9.答案：20 98．随机变量X的分布列如下表：其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝13，则D(X)的值是________．解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝1 3，又x ＋y ＋z ＝1，且2y ＝x ＋z ，解得x ＝23，y ＝13，z ＝0，所以D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫0－132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132×0＝29. 答案：29三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为：若E (X )＝23.(1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D （Y ）的值． 解：由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝1527＝59.(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )． 所以D （Y ）＝9D （X ）＝3D （X ）＝ 5.10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E (ξ)与方差E (ξ)(保留3位有效数字)．解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P (ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P (ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P (ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P (ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布列为：E (ξ)＝1×0.7 1.417.D (ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.B 级 能力提升1．若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝X 1)＝23，P (ξ＝X 2)＝13，且X 1＜X 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则X 1＋X 2的值为( )A.53 B.73 C ．3D.113解析：X 1，X 2满足⎩⎨⎧23X 1＋13X 2＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫X 1－432×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫X 2－432×13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧X 1＝1，X 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧X 1＝53，X 2＝23.因为X 1＜X 2，所以X 1＝1，X 2＝2，所以X 1＋X 2＝3. 答案：C2．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________．解析：因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，且P (ξ＝1)＝332，所以C 1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝332，即n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝664，解得n ＝6，所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32.答案：323．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令ξ＝x ·y .求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P (ξ＝1)＝13×13＝19； “ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29；“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19.则ξ的分布列为：(2)E(ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D(ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
高中数学选修2-3课时作业8：2.3.2离散型随机变量的方差
2.3.2 离散型随机变量的方差一、基础过关1.下列说法中，正确的是( )A.离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值B.离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C.离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D.离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 [答案] C2.设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A.m B.2m (1－m ) C.m (m －1) D.m (1－m )[答案] D[解析] 随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m ). ∴故选D.3.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A.6B.9C.3D.4[答案] A[解析] E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4.已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A.100和0.08 B.20和0.4 C.10和0.2 D.10和0.8[答案] D[解析] 因随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ＝8， D (X )＝np ·(1－p )＝1.6， 所以n ＝10，p ＝0.8.5.若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. [答案] 1[解析] D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6.随机变量ξ的分布列如下：其中a 、b 、c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.[答案] 59[解析] 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59. 7.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中ξA ，ξB 120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度.(哪一种的稳定性较好)解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由此可见，E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，所以甲的稳定性好. 二、能力提升8.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56 C.3.2 D. 3.56[答案] D[解析] 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D (ξ)＝ 3.56.9.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0，1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A.8B.12C.29D.16[答案] A[解析] 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. 又D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.10.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.11.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ).解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12.为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射手进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a ，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.解(1)依据题意，知0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高.又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定.∴甲的射击技术好.三、探究与拓展13.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
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课时同步作业（十五） 离散型随机变量的方差 层级一 学业水平达标 1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X
甲)＝11，D(X乙)＝3．4．由此可以估计( ) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：选B ∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( ) A．3·2－2 B．2－4 C．3·2－10 D．2－8 解析：选C E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，
∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112×12×1211＝3·2－10． 3．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( ) A．0和1 B．p和p2 C．p和1－p D．p和(1－p)p 解析：选D 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)． 4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0．6)，则E(η)，D(η)分别是( ) A．6和2．4 B．2和2．4 C．2和5．6 D．6和5．6 解析：选B ∵X～B(10,0．6)，∴E(X)＝10×0．6＝6，D(X)＝10×0．6×(1－0．6)＝2．4， ∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2．4． 5．设10≤x1
为0．2，随机变量ξ2取值x1＋x22，x2＋x32，x3＋x42，x4＋x52，x5＋x12的概率也均为0．2，若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( ) A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 解析：选A 由题意可知E(ξ1)＝E(ξ2)，又由题意可知，ξ1的波动性较大，从而有D(ξ1)>D(ξ2)． 6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0．25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． 解析：事件在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0．25，解得p＝0．5． 答案：0．5 7已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
解析：由E(X)＝30，D(X)＝20，可得 np＝30，np1－p＝20， 解得p＝13． 答案：13 8．已知离散型随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 2
P a b c 112
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________． 解析：由题意
a＋b＋c＋112＝1，
－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×112＝1，
解得a＝512，b＝c＝14． 答案：512 14 9．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5% 10%
P 0．8 0．2
X2 2% 8% 12%
P 0．2 0．5 0．3 在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)． 解：由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 5 10
P 0．8 0．2
Y2 2 8 12
P 0．2 0．5 0．3
E(Y1)＝5×0．8＋10×0．2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0．8＋(10－6)2×0．2＝4； E(Y2)＝2×0．2＋8×0．5＋12×0．3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0．2＋(8－8)2×0．5＋(12－8)2×0．3＝12． 10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3．设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值和方差． 解：设事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”，事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C表示“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则A，B相互独立． (1)由题意知P(A)＝0．5，P(B)＝0．3，C＝A∪B， 则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0．8． (2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0．8＝0．2． 由题意知X～B(100,0．2)， 所以均值E(X)＝100×0．2＝20，方差D(X)＝100×0．2×0．8＝16． 层级二 应试能力达标 1．设二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2．4和1．44，则二项分布的参数n，p的值为( ) A．n＝4，p＝0．6 B．n＝6，p＝0．4 C．n＝8，p＝0．3 D．n＝24，p＝0．1 解析：选B 由题意得，np＝2．4，np(1－p)＝1．44， ∴1－p＝0．6，∴p＝0．4，n＝6． 2．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝23，P(ξ＝x2)＝13，且x1＝29，则x1＋x2的值为( ) A．53 B．73 C．3 D．113 解析：选C
x1，x2满足 23x1＋13x2＝43，x1－432×23＋x2－432×13＝29，
解得 x1＝1，x2＝2或 x1＝53，x2＝23.∵x13．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是( ) A．100,90 B．100,180 C．200,180 D．200,360 解析：选D 由题意可知播种了1 000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B(1 000,0．1)．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X＝2ξ，则E(X)＝2E(ξ)＝2×1 000×0．1＝200，故方差为D(X)＝D(2ξ)＝22·D(ξ)＝4×1 000×0．1×0．9＝360．
4．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于( ) A．0 B．1 C．4 D．2
解析：选A 由分布列的性质，得a＋13＝1，a＝23．
∵E(ξ)＝2，∴m3＋2n3＝2．∴m＝6－2n． ∴D(ξ)＝13×(m－2)2＋23×(n－2)2＝23×(n－2)2＋13×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2． ∴n＝2时，D(ξ)取最小值0．
5．随机变量ξ的取值为0,1,2．若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________． 解析：由题意设P(ξ＝1)＝p， 则ξ的分布列如下： ξ 0 1 2
P 15 p 45－p
由E(ξ)＝1，可得p＝35， 所以D(ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25． 答案：25 6．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0．1，D(X)＝0．89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________． 解析：由题意知，－p1＋p3＝0．1， 1．21p1＋0．01p2＋0．81p3＝0．89． 又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0．4，p2＝0．1，p3＝0．5． 答案：0．4 0．1 0．5 7．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
ξ 110 120 125 130 135
P 0．1 0．2 0．4 0．1 0．2
η 100 115 125 130 145
P 0．1 0．2 0．4 0．1 0．2
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 解：E(ξ)＝110×0．1＋120×0．2＋125×0．4＋130×0．1＋135×0．2＝125， E(η)＝100×0．1＋115×0．2＋125×0．4＋130×0．1＋145×0．2＝125， D(ξ)＝0．1×(110－125)2＋0．2×(120－125)2＋0．4×(125－125)2＋0．1×(130－125)2
＋0．2×(135－125)2＝50， D(η)＝0．1×(100－125)2＋0．2×(115－125)2＋0．4×(125－125)2＋0．1×(130－125)2
＋0．2×(145－125)2＝165， 由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)