浙江省台州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
浙江省温州中学2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件3．在等比数列{a n}中，a1=9，a5=a3a42，则a4=（）A．B． C．D．4．已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减5．设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．36．在平面上∠AOB=60°，||=||=1．动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线7．设F1，F2为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈[，]．则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A． B．C．（1，4]D．8．函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，f n（x）=f（f n（x）），已知函数g（x）=f m（x）+1﹣x有8个零点，则m的值为（）A．8 B．4 C．3 D．2二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．设函数，则该函数的最小正周期为，f（x）在的最小值为．10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为．该正四面体的体积为．11．若点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为若双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，则双物线的渐近线方程为．12．已知平面向量，（≠）满足=2，且与﹣的夹角为120°，t∈R，则|（1﹣t）+t|的最小值是．已知•=0，向量满足（﹣）（﹣）=0，|﹣|=5，|﹣|=3，则•的最大值为．13．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前10项+2和为．14．如果M是函数y=f（x）图象上的点，N是函数y=g（x）图象上的点，且M，N两点之间的距离|MN|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f（x）=和g（x）=之间的距离是．15．各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE∥平面ABD，若•=1，则||=．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC面积最大值．17．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b为任意常数．（I）若b=，f（x）=|x﹣|在x∈[0，1]有两个不同的解，求实数a的范围．（II）当|f（0）|≤2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB=，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．（1）求证：AA1⊥平面BEF；（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其中b=a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）过P点作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．=a n+（n∈N*）．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．2016-2017学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．【解答】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．2．若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若θ=+2kπ，则y=cos（ωx+θ）=cos（ωx++2kπ）=﹣sinωx为奇函数，即充分性成立，若y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则θ=+kπ，k∈Z，则θ=+2kπ，k∈Z不一定成立，即p是q的充分不必要条件，故选：B3．在等比数列{a n}中，a1=9，a5=a3a42，则a4=（）A．B． C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=9，a5=a3a42，∴q=92×q5，解得q=±．则a4=9×=．故选：D．4．已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．5．设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】利用换元法将条件转化为直线斜率，结合线性规划的知识进行求解即可得到结论．【解答】解：z==+，设k=，则z=k+，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即C（5，2），由得．即A（3，4），则OC的斜率k=，OA的斜率k=，则≤k≤，∵z=k+，在≤k≤1上递减，在1≤k≤上递增，∴当k=时，z=+=，当k=时，z=+=＜，故z的最大值为，故选：B6．在平面上∠AOB=60°，||=||=1．动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线【考点】轨迹方程．【分析】设O（0，0），B（1，0），A（），C（x，y），则由=λ+μ可得x=+μ，y=，根据λ2+λμ+μ2=1，可得点C的轨迹．【解答】解：设O（0，0），B（1，0），A（），C（x，y），则∵=λ+μ即（x，y）=λ（）+μ（1，0）∴x=+μ，y=，∴x2+y2=λ2+λμ+μ2=1，点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．故选：B．7．设F1，F2为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈[，]．则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A． B．C．（1，4]D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设双曲线的标准方程：=1，离心率．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出．【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程：=1，离心率．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，∴﹣2=，∵e∈[，]，∴∈，∴∈．∴e1∈．故选：A．8．函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，f n（x）=f（f n（x）），已知函数g（x）=f m（x）+1﹣x有8个零点，则m的值为（）A．8 B．4 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知条件对x的取值范围分类，求出f m（x），由此能求出使函数g（x）=f m（x）﹣x有8个零点的实数m的值．【解答】解：（1）当x∈（﹣∞，]时，f2（x）=f（f1（x））=|2x﹣1|=1﹣2x，①当x∈（﹣∞，]时，f3（x）=|1﹣4x|=1﹣4x，当x∈（﹣∞，]时，f4（x）=|1﹣8x|=1﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=1﹣9x，有零点x1=．当x∈（，]时，f4（x）=|1﹣8x|=8x﹣1，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣1，有零点．②当x∈（，]时，f3（x）=|1﹣4x|=4x﹣1，当x∈[，]时，f4（x）=|8x﹣3|=3﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=3﹣9x，有零点．当x∈[，]时，f4（x）=|8x﹣3|=8x﹣3，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣3，有零点；（2）当x∈（，+∞）时，f2（x）=|2x﹣1|=2x﹣1，③当x∈（，]时，f3（x）=|4x﹣3|=3﹣4x，当x∈（，]时，f4（x）=|5﹣8x|=5﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=5﹣9x，有零点x5=．当x∈（，]时，f4（x）=|5﹣8x|=8x﹣5，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣5，有零点x6=．④当x∈（，+∞）时，f3（x）=|4x﹣3|=4x﹣3，当x∈（，]时，f4（x）=|8x﹣7|=7﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7﹣9x，有零点x7=．当x ∈（，+∞）时，f 4（x ）=|8x ﹣7|=8x ﹣7，此时，g （x ）=f 4（x ）﹣x=7x ﹣7，有零点x 8=1．综上所述，若函数g （x ）=f m （x ）﹣x 有8个零点．则m=4． 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．设函数，则该函数的最小正周期为 π ，f （x ）在的最小值为 ﹣ ．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法． 【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的最小值．【解答】解：根据函数，可得则该函数的最小正周期为=π，当x ∈[0，]时，2x ﹣∈[﹣，]，故当2x ﹣=﹣时，f （x ）取得最小值为﹣，故答案为：π，．10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 6 ．该正四面体的体积为 18 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得正三棱锥的高为2，底面正三角形的边长为6，即可得出结论．【解答】解：由三视图知：正视图的高明显不对，应该是2，底面正三角形的边长为6，对应图形的面积为=6，正四面体的体积为=18．故答案为：6；18．11．若点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为（2，0）若双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，则双物线的渐近线方程为y=．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线方程，即可求解抛物线的焦点坐标；利用焦点坐标相同，推出双曲线a、b关系，求出a，b即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，可得：16=4p，解得p=4，则抛物线焦点坐标为（2，0）．双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，可得，可得a2=12﹣8，b2=8，=．双曲线的渐近线方程为：y=．故答案为：（2，0）；y=．12．已知平面向量，（≠）满足=2，且与﹣的夹角为120°，t∈R，则|（1﹣t）+t|的最小值是．已知•=0，向量满足（﹣）（﹣）=0，|﹣|=5，|﹣|=3，则•的最大值为18．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①根据与的夹角为120°，结合向量加法的三角形法则，及连接直线上的点与直线外一点的线段中，垂线段最短得到当t|﹣|=时，|（1﹣t）+t|取最小值；②由•=0得出⊥，建立直角坐标系，设=（m，0），=（0，n），=（x，y），根据|﹣|=5得m2+n2=25，记此圆为⊙M；根据向量满足（﹣）（﹣）=0，说明点C在⊙M上；由||=|﹣|=3，||=|﹣|=4，过点C分别作CD⊥y轴，设∠CBD=θ，可得x=4sinθ=m﹣3cosθ，•=mx=10sin（2θ﹣φ）+8，从而求得结论．【解答】解：①∵平面向量满足||=2，且与﹣的夹角为120°，故当t（﹣）满足t|﹣|=时，|（1﹣t）+t|（t∈R）取最小值，此时由向量加法的三角形法则可得|（1﹣t）+|（t∈R）的最小值是；②由•=0，建立如图所示的直角坐标系；可设=（m，0），=（0，n），=（x，y），∵|﹣|=5，∴m2+n2=25，记此圆为⊙M；∵向量满足（﹣）•（﹣）=0，∴x 2+y 2﹣mx ﹣ny=0， 化为+=，说明点C 在⊙M 上； ∴||=|﹣|=3， ∴||=|﹣|=4，过点C 分别作CD ⊥y 轴，CE ⊥x 轴，垂足分别为D ，E ； 设∠CBD=θ，则∠OAC=θ， 则x=4sin θ=m ﹣3cos θ，∵•=mx=4sin θ（4sin θ+3cos θ） =16sin 2θ+12sin θcos θ =8（1﹣cos2θ）+6sin2θ =10sin （2θ﹣φ）+8≤18；∴•的最大值为18．故答案为：，18．13．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n +2=（1+cos 2）a n +sin 2，则该数列的前10项和为 ．【考点】数列与三角函数的综合；数列的求和． 【分析】根据数列递推式，可得数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k ﹣1=k ，数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k ，从而可求数列的前10项的和．【解答】解：因为a 1=1，a 2=2，所以a 3=（1+cos 2）a 1+sin 2=a 1+1=2，a 4=（1+cos 2π）a 2+sin 2π=2a 2=4．一般地，当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1=[1+cos 2]a 2k ﹣1+sin 2=a 2k ﹣1+1，即a 2k +1﹣a 2k ﹣1=1．所以数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k ﹣1=k ．当n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2=（1+cos 2）a 2k +sin 2=2a 2k ．所以数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k ． 该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故答案为：7714．如果M是函数y=f（x）图象上的点，N是函数y=g（x）图象上的点，且M，N两点之间的距离|MN|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f（x）=和g（x）=之间的距离是．【考点】两点间的距离公式．【分析】依题意，可将g（x）=变形，得到其轨迹是以（2，0）为圆心，1为半径的上半圆，从而可求得函数f（x）=和g（x）=之间的距离．【解答】解：∵y=g（x）=，∴y2+（x﹣2）2=1（y≥0），设圆心P（2，0），M（x，y）为f（x）=上任意一点，则|MP|2=（x﹣2）2+y2=（x﹣2）2+x=+≥，∴|MP|min=，∴f（x）=和g（x）=之间的距离是|MN|=﹣1．故答案为：﹣1．15．各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE∥平面ABD，若•=1，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连接CE，并延长交AD于F，连接BF，运用线面平行的性质定理可得EG∥BF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，再由向量的中点的向量表示，结合向量的数量积的性质，解得t=1，再由向量的模的公式，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CE，并延长交AD于F，连接BF，由EG∥平面ABD，EG⊂平面BCF，平面BCF∩平面ABD=BF，可得EG∥BF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，则=（+）=（+），在四面体ABCD中，•=•=•=4×4×=8，•=（+）•（﹣）=（•﹣•+2﹣•）=（8﹣8+•16﹣•8）=1，解得t=1，即=（+），可得||2=（2+2+•）=×（16+×16+×8）=，可得||=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC面积最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosC，结合sinA≠0，可得，即可得解C的值．（2）利用已知及余弦定理，基本不等式可得ab≤4，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=．∴，∴sinBcosC﹣2sinAcosC=﹣cosBsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴，∴．（2）∵，可得：ab≤4，∴，即：△ABC面积的最大值为，但且仅当△ABC为等边三角形时成立．17．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b为任意常数．（I）若b=，f（x）=|x﹣|在x∈[0，1]有两个不同的解，求实数a的范围．（II）当|f（0）|≤2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，关于a的不等式，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出|f（x）|的最大值．【解答】解：（I）﹣﹣﹣﹣①当时，则，即3ax2﹣2ax=0，解得x=0﹣﹣﹣﹣②当时，则，即3ax2﹣2（a+1）x+1=0令t（x）=3ax2﹣2（a+1）x+1，因为，只要t（1）=a﹣1≥0即可﹣﹣﹣﹣所以a≥1﹣﹣﹣﹣（II）设|f（x）|的最大值为M①当，函数f（x）在[0，1]递减函数，M=|f（0）|≤2﹣﹣﹣﹣②当，函数f（x）在[0，1]递增函数，M=|f（1）|≤2﹣﹣﹣﹣③当时，即﹣a＜b＜2a时，（ⅰ）当时，即则，则f（1）﹣=＞0 所以M≤2﹣﹣﹣﹣（ⅱ）当时，即时，可得，即则f（0）﹣＞0所以M≤2﹣﹣﹣﹣综上M=2，当a=2，b=2，f（x）=12x2﹣12x+2，M=2．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB=，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．（1）求证：AA1⊥平面BEF；（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BE⊥AA1，BE⊥BB1，从而BE⊥平面BB1C1C，由此能证明AA1⊥平面BEF．（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1），∠A1AB=45°，AE=1，故BE⊥AA1．又AA1∥BB1，故BE⊥BB1，又侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C故BE⊥平面BB1C1C．EF∥AC，AC⊥AA1，EF⊥AA1，故AA1⊥平面BEF．解：（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系．则E（0，1，0），B1（0，0，﹣2），平面BEB1的法向量为（1，0，0），=（0，﹣1，﹣2），=（，﹣1，﹣1），设平面EB1C1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=，设二面角B﹣EB1﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值为．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其中b=a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）过P点作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：c=1，又b=a，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，BD：y=k2（x﹣1）+1，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）∵F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．∴c=1，又b=a，a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=．∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，与椭圆联立，得，∴，，同理，．故，∴k1+k2=0．=a n+（n∈N*）．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤1．利用数学归纳法即可证明．=a n+=a n（2）先证明右边：由（1）可得：0＜a n≤1．通过放缩：a n+1≤a n（）a n，（2n≤2n）．可得：a n≤．证明左边：利用数学归纳法证明即可得出．【解答】（1）解：最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤1．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1成立；②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有0＜a k≤1．则n=k+1时，易知k＜2k，=+＜≤＜=1，∴0＜a k+1因此当n=k+1时假设成立，综上可得：最小的正实数M=1，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）证明：先证明右边：由（1）可得：0＜a n≤1．=a n+=a n≤a n（）≤a n（）≤a n（）∴a n+1=a n，（2n≤2n）．∴a n≤≤=，因此右边成立．证明左边：下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1=，成立；②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有a k≥．≥，则n=k+1时，要证明：a k+1=+，又a k+1∴只要证明： +≥，化为：k（5×2k+4）+2k a k﹣18•2k≥0，解出：a k≥≥=．因此当n=k+1时也成立，综上①②可得：左边成立．因此：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．2016年12月10日。
。2017-2018学年浙江省绍兴市诸暨中学普通班高二(上)期中数学试卷
【分析】 根据题意， ∠PAB=30°为定值， 可得点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆锥
侧面与平面 α的交线，则答案可求．
【解答】 解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；
把平面渐渐倾斜，得到椭圆；
当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中斜线 AB 与平面 α所成角为 30°，动直线 AP 与 AB 所成角为 30°，
直线 AP 与平面 α的交点的轨迹为（
）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
7．（4 分）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将
其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（
）
A． B． C． D．
8．（4 分）已知 f （x）定义域为（ 0， +∞），f ′（x）为 f（ x）的导函数，且满足 f
①则 a1+a2+…+a6=
，② a4=
．
15．（6 分）古埃及数学中有一个独特现象： 除 用一个单独的符号表示以外，其
他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如 = + ，可以这样来理解：假
定有两个面包，要平均分给 5 个人，每人 不够，每人 余 ，再将这 分成 5
份，每人得 ，这样每人分得 + ．形如 （n=5， 7，9，11，…）的分数的分
3．（4 分） 3 名男生和 4 名女生排在一起做操，要求男生不相邻，则不同的排法
有（ ）
A．A B．A A C． A A D． A A
4．（4 分）随机变量 ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
5
P C （ ）C （ ）C （ ） C （ ） C （ ） C （ ）
浙江省温州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
侧视图正视图2017-2018学年高二数学期中考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．“若29x<，则33x-<<”的逆否是（）A．若29x≥，则3x≥或3x≤-B．若33x-<<，则29x<C．若3x>或3x<-，则29x>D．若3x≥或3x≤-，则29x≥2．在平面直角坐标系内，曲线C：2y xy=表示的点的轨迹为（）A．原点B．一条直线C．一点和一条直线D．两条相交直线3．已知a R∈，则“1a<”是“2a a<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设m，n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列中正确的是（）A．若//,m nαβ⊥且αβ⊥，则m n⊥B．若,m nαβ⊥⊥且m n⊥，则αβ⊥C．若,//m nαβ⊥且nβ⊥，则//mαD．若,m nαβ⊂⊂且//m n，则//αβ5）A B D6．已知异面直线,a b成60角，A为空间中一点，则过A与,a b都成45角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个7．如图，在长方体1111DCBAABCD-中，1,21===AABCAB，则1BC与平面DDBB11所成角的正弦值为（）A．3B．552C．515D．510（第7题图）D1C1A BB1CDA18．已知正四面体ABCD 的棱长为2，若动点P 从底面BCD ∆的BC 中点．．出发，沿着正四面体的侧面运动到D 点停止，则动点P 经过的最短路径长为（ ）A ．3 BC． D9．已知球O 夹在一个锐二面角l αβ--之间，与两个半平面分别相切于点A ，B．若AB =O 到二面角棱l 的距离为2，则球O 的体积为（ ）A． B． C ．4π D ．43π10．如图，在Rt △ABC 中，AC =1，BC =x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是（ ） A．B．2]C．D ．（2，4]二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若p ：“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”为真，则实数a 的取值范围是 ．12．某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是 ． 13．已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,都在半径为1的球面上，若PC PB PA ,,两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．14．已知圆22:4O x y +=，圆内有定点(1,1)P ，圆周上有两个动点A ，B ，使PA PB ⊥，则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为 ．三、解答题：本大题共4小题，共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在直三棱柱中，12,1AA AB BC AC ====，D 是AC 中点． （Ⅰ）求证：1B C //平面BD A 1； （Ⅱ）求点1B 到平面BD A 1的距离．（第15题图）11（第10题图）C16．已知m R ∈，p :关于实数x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根；q :关于实数x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根．（Ⅰ）写出一个能使p 成立的充分不必要条件；（Ⅱ）当p 与q 中恰有一个为真时，求m 的取值范围． 17．如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形， AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2 DE ＝2．(Ⅰ) 求异面直线EF 与BC 所成角的大小； (Ⅱ) 若二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为13，求AB 的长．(第17题图)18．已知四边形ABCD 是矩形，)(R k kAB BC ∈=，将A B C ∆沿着对角线AC 翻折，得到1AB C ∆，设顶点1B 在平面ABCD 上的投影为O ．（I ）若点O 恰好落在边AD 上， （i ）求证：11AB B CD ⊥平面；（ii ）若.1,11＞AB O B =当BC 取到最小值时，求k 的值． （II ）当3=k 时，若点O 恰好落在△ACD 的内部（不包括边界），求二面角D AC B --1的余弦值的取值范围．（第18题图）高二数学期中考试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11.2a ≤13.1314.226x y +=三、解答题：本大题共4小题，共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）略；（2）方法1：转化为C 到平面BD A 1的距离，作1CH A D ⊥，CH=方法2：等积法得。
台州中学数学高二上期中阶段测试(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s >< D ．270,75x s <>3．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 4．(0分)[ID ：12987]已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.85．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4556．(0分)[ID ：12958]已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．57．(0分)[ID ：12947]将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7108．(0分)[ID ：12945]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．1129．(0分)[ID ：12940]在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（ ）A ．127B ．128C ．128.5D ．12910．(0分)[ID ：12938]某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③11．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn12．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥13．(0分)[ID ：13013]已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1414．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15815．(0分)[ID ：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．14二、填空题16．(0分)[ID ：13128]在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________. 17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13101]变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．19．(0分)[ID ：13097]执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．20．(0分)[ID：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．21．(0分)[ID：13084]一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则(4)P X=的值为___________.22．(0分)[ID：13079]下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为na mbm n+；④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交．其中真命题的序号是__________．23．(0分)[ID：13072]高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．24．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
浙江省台州市联谊五校2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班浙江省台州市联谊五校2018-2019 学年高二数学上学期期中试题（含分析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
3．非选择题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。
写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为A． B ．C．D．2．过点且斜率为的直线方程为A．B． C ．D．3．设,是两个不一样的平面，l是一条直线，以下命题正确的选项是A．若l,，则 l B．若 l / /, / /，则 lC．若l,/ / ，则 l D．若 l / /,，则 l4．以下直线中，与直线垂直的是A．B． C ．D．5．点（ 0，0）到直线x+y–1=0的距离是A．B．C．1D．6．在长方体中，，与所成角的余弦值为A．B．C．D．7．对随意的实数，直线恒过定点A．B．C．D．8．已知直线过点且与以、线的斜率的取值范围为A．B．C．D．9．如图，设梯形所在平面与矩形所在平面订交，，则以下二面角的平面角大小为定值A． B ． C ．二、填空题10．直线的倾斜角为 _______；在轴上的截距为11．已知，，则线段的中_________.12．某四周体的三视图如下图，则该四周体的体积为_______；该的是 ________.17．如图，在三棱锥中，，，，.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)求直线与面所成角的正弦值.13．已知直线与，则直线与的交点坐标为 _________；过直线与的交点且与直线平行的直线方程为______________.14．已知直线在两坐标轴上的截距相等. 则实数的值为 ________.15．设，是直角梯形两腰的中点，于，如下图，现将沿折起，使二面角为，此时点在面内的18．如图，四边形为正方形，、分别为、的射影恰为点，则，的连线与所成角的大小为__________.为折痕把折起，使点抵达点的地点，且.(Ⅰ)证明:面面；(Ⅱ)求二面角的大小.16．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是 __________ ．三、解答题2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二上学期期中考试数学试题数学答案参照答案1． D【分析】【剖析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由于直线的倾斜角为，因此的斜率是，应选 D.【点睛】此题主要考察直线的斜率与倾斜角的关系，意在考察对基础知识的掌握状况，属于简单题. 2． B【分析】【剖析】直接利用直线的点斜式方程写出所求直线方程，再化为一般式即可.【详解】直线过点且斜率为,则直线的方程为，即，应选 B.【点睛】此题考察直线的点斜式方程的应用，意在考察对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 3． C．【分析】关于A、 B、 D 均可能出现l //，而关于 C 是正确的．4． C【分析】【剖析】求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线即可得结果 .【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为 2 ,的斜率为，的斜率为,的斜率为，可得直线的斜率与的斜率之与直线垂直的是，应选【点睛】此题考察了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考率间的关系，是基础题.5． A【分析】【剖析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线的距离，应【点睛】此题考察了点到直线的距离公式，意在考察利用所学知识解答问题的能力，属于6． B【分析】【剖析】以为原点，为轴、为轴、为轴，成立空间直角坐标系，求出与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，成立空间直角坐标系，在长方体中，，，，设异面直线与所成角的为，则，异面直线与所成角的余弦值为，应选 B.【点睛】此题主要考察异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，依据几何体的特别性质成立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7． A【分析】【剖析】由时 , 总有即可得结果.【详解】为随意实数时 ,若时,总有因此直线恒过定点,即定点,应选 A.【点睛】判断直线过定点主要方程形式有：（ 1）斜截式，，直线过定点点斜式直线过定点.8． D【分析】【剖析】先由的坐标求得直线和斜率,再依据直线的倾斜角加以议论，将直线绕点旋转并察看倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，到直线斜率的范围，进而可得结果.【详解】点、、直线的斜率，可得直线的斜率，直线与线段交于点，当直线的倾斜角为锐角时，跟着从向挪动的过程中，的的斜率也变大，直到平行轴时的斜率不存在，此时；当直线的倾斜角为钝角时，跟着的倾斜角变大，的斜率从负无量增大到斜率，此时的斜率，综上所述，可得直线的取值范围为或，应选 D.【点睛】此题经过经过定点的直线与线段有公共点，求的斜率取值范围，侧重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，以及数形联合思想、转变思想的应用，属于中档题.9． D【分析】【剖析】在等腰梯形中,过作于，作于,连结, 可得为二面角的平面角，为二面角的平面角，由平面平面，可得二面角的平面角为，进一步求得得结果 .【详解】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连结,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，，，，即二面角为，应选 D.【点睛】此题主要考察二面角的求解法，意在考察数形联合思想、转变思想以及空题 . 求二面角的方法往常有两个思路：一是利用空间向量，成立坐标系，这种方方法明确，可是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解面角，或许利用“互补法”、“切割法”、“公式法”求解.10．【分析】【剖析】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，由，进而可得结果.【详解】由斜截式方程可知，直线的斜率为1，设倾斜角为，则，由可得；令，因此，直线在轴上的截距为，故答案为，.【点睛】此题主要考察直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的截距，意在考察对基础知识掌握的娴熟程度，属于简单题 .11．【分析】【剖析】直接利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值 .【详解】设线段的中点坐标为，由中点坐标公式可得，即线段的中点坐标为，可得，故答案为，.【点睛】此题主要考察中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考察灵巧应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.12．【分析】【剖析】由三视图复原几何体，利用三视图中数据，依据锥体的体积公式可得其体积，依据三视图的图形特点，判断四周体每一个面的形状，分别求出四周体四个面的面积，进而可得结果.【详解】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图,该棱锥的底面是直角三角形，面积为，高为 4，可得体积为；四个面都是直角三角形，由三角形面积公式可得，四个面的面积分别为，面积的最大值10，故答案为8， 10.【点睛】此题利用空间几何体的三视图要点考察学生的空间想象能力和抽象思想能力，属问题是考察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热门 . 察看三视图并将其“翻译”成题的要点，不只要注意三视图的三因素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚及同样图形的不一样地点对几何体直观图的影响.13．【分析】【剖析】联立直线和的方程构成方程组，直接求解交点坐标；求出与直线平行的直线的斜率，利用点斜式方程求出过直线与的交点且与直线行的直线方程.【详解】由，解得交点坐标为，所求直线与直线平行，则所求直线方程的斜率为由点斜式方程可得，整理得，直线方程为，故答案为，.【点睛】此题主要考察直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题.对直线地点关系的考察是热门命题方向之一，这种问题以简单题为主，主要考察两直线垂直与两直线平行两种特别关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这种问题只管简单却简单犯错，特别是简单忘记斜率不存在的状况，这一点必定不可以不以为然.14．【分析】【剖析】议论直线过原点和直线可是原点两种状况，分别利用截距相等求出的值即可 .【详解】当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距均为0 ,；当直线可是原点时, 由截距相等且均不为0，求得直线轴上的截距为，直线轴上的截距为，由可得，故答案为 2 或 0.【点睛】此题考査了直线的截距与直线方程，意在考察分类议论思想的应用以及对基础知识掌握的娴熟程度，是一道基础题. 求解相关直线截距的问题时，必定要注意议论截距能否为零，这是易错点.15．【分析】【剖析】先取的中点, 可证明四边形为平行四边形，就是异面直线与所成的角,可证明三角形用等腰直角三角形的性质可得结果.【详解】如图，取的中点,连结，，且，四边形为平行四边形，则，就是所求角可得三角形是等腰直角三角形，因此，即的连线与所成的角大小等于，故答案为【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面利用直角三角形的性质及余弦定理求解，假如利用余弦定理求余弦，由于异面直或锐角，因此最后结果必定要取绝对值.16．【分析】当位于的中点，点与中点重合随点到点，由，，得平面，则．又，，则．由于，，因此，故．浙江省台州市联谊五校2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)综上，的取值范围为．点睛 : 立体几何中折叠问题, 要侧重折叠前后垂直关系的变化, 不变的垂直关系是解决问题的关键条件 .17．（ 1）将分析；（ 2）.【分析】【剖析】（ 1）由，可证明平面进而可得结果；（2）设的中点为, 由等边三角形的性质可得，由（1）可得平面可得，由此可得平面,就是直线与面所成角，在中利用直角三角形的性质可得结果.【详解】【点睛】求线面角的方法：（1）传统法：依据图形正确作出线面角是解决问题的要点，但这要修业生必须拥有较强的空间想象能力，同时还应写出必需的作、证、算过程；（2）关于特别的几何体，如长方体、正方体等当比较简单成立空间直角坐标系时，也可采纳向量法求解.18．（ 1）看法析；（ 2）.【分析】【剖析】( Ⅰ ) 翻折后联合可得平面垂直的判断定理可得结论；可得平面，可得平面，进而可得平面，则就是二面角角，利用直角三角形的性质可得结果.。
优质金卷：浙江省台州中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
1．B【解析】分析：通过解不等式求得集合A，然后再求．详解：由题意得，∴.点睛：本题考查二次不等式的解法和集合的交集运算，考查学生的运算能力，属容易题．2．B【解析】分析：根据空间中点线面间的关系对四个选项逐一分析可得结论．详解：对选项A，若直线，直线，则或．故A不正确．对选项B，由线面垂直的定义可得若，则垂直平面内的所有直线．故B正确．对选项C，当时，则在平面内有无数条直线与平行．故C不正确．对选项D，由异面直线所成角的定义可得，当直线不垂直于时，在内仍有与垂直的直线．故D不正确．故选B．点睛：解决点、线、面位置关系问题的基本思路：①对给出的命题逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论或寻找反例否定错误的结论；②结合长方体模型或实际空间位置作出判断，但要注意考虑问题要全面．点睛：判断直线和圆的位置关系时，可根据圆心到直线的距离和半径的大小关系来判断．在本题中由于直线过的定点为圆的圆心，故可得直线与圆相交．4．C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，将变形为，平移直线并结合图形得到最优解，然后可得所求最值．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，∴点A的坐标为（2,1）．∴．故选C．点睛：根据线性规划求最值实际上是数形结合的运用，解题的关键是正确理解目标函数中z的几何意义，变形可得，故当时，z与直线的纵截距成正比，当时，z与直线的纵截距成反比，然后根据直线在y轴上的截距情况得到最优解，从而得到z的最值．点睛：研究形如的函数的性质时，首项要把函数化为的形式，然后再结合所求及正弦函数的相关性质求解．6．D【解析】分析：先求出“”的等价条件，再根据题意作出判断．详解：由得，∴，∴，解得或．∴“”等价于或．故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．点睛：等比数列的单调性除了和公比有关外，还与数列的首项有关．当或时，数列为递增数列；当或时，数列为递减数列．7．D【解析】分析：先判断函数的奇偶性，然后再根据函数在所给区间上的零点的个数进行排除即可得到结论．点睛：根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，首先根据函数的定义域、奇偶性、单调性等进行排除，然后再根据函数的变化趋势、特殊值等进行排除，由此可逐步地得到结论．8．A【解析】分析：设圆的半径分别为，动圆C的半径为．若圆与圆外切，与圆内切，则有，∴；若圆与圆内切，与圆外切，则有，∴．∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线．故选A．点睛：用定义判断双曲线时要分清得到的是整条双曲线还是双曲线的一支．双曲线的定义有两种用途，一是判断动点的轨迹是双曲线；二是当点在双曲线上时，可得该点到双曲线两焦点的距离差的绝对值为常数．9．A【解析】分析：根据定义域为R先排除不合题意，然后分两种情况画出函数的图象，结合图象并根据方程有两个不等实根进行判断可得结论．详解：（1）若，则函数的定义域不是R，不合题意．（2）若，则，定义域为R，显然方程有两个不等实根．符合题意．综上可得．故实数的取值范围是．故选A．点睛：（1）本题考查函数与方程的知识，已知方程解的个数（或函数零点的个数）求参数的取值范围时，一般方法是画出函数的图象，利用数形结合求解．解题时可根据函数图象的位置关系、特殊点的坐标等得到关于参数的不等式（组），然后通过解不等式（组）可得所求．（2）解答本题时容易忽视定义域为R这一条件．10．D【解析】分析：建立空间直角坐标系，对动点O选取一个特殊位置，然后求出三个侧面的法向量，根据向量夹角的余弦值求得三个二面角的余弦值，比较后可得二面角的大小．详解：建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则．同理可得平面和平面的法向量分别为．结合图形可得：，，∴，又，∴．故选D．点睛：本题考查用平面的法向量求二面角的余弦值，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，体现了向量法在解立体几何问题中的作用，当然解题中还要注意向量的夹角与二面角的平面角不一定是相等的，这点要通过观察图形后才能得到结论．11．【解析】分析：由椭圆的方程得到的值，然后根据要求解题即可．详解：由椭圆的标准方程可得，∴，，∴椭圆的焦点坐标为，离心率为．点睛：本题考查椭圆中基本量的关系及运算，解题的关键是根据椭圆的标准方程正确得到的值．12．【解析】分析：根据题意求出等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的通项公式和前n项和公式求解．点睛：本题考查等差数列的基本量的计算，解题时求出等差数列的首项和公差是解题的关键和基础，然后根据相应公式求解可得结论．13．20【解析】分析：根据三视图得到四棱锥的直观图，然后根据题目要求逐项求解．详解：由三视图可得该四棱锥为下图中的四棱锥，其中，，．所以四棱锥的体积为．其中最长的棱为，其长度为．故该四棱锥的体积为，最长棱的长度为．点睛：本题考查三视图还原几何体和锥体体积、棱长的求法，考查学生的空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图正确得到几何体的直观图．14．【解析】分析：建立平面直角坐标系，利用数形结合将问题转化为数的运算来处理．详解：设，建立如图所示的平面直角坐标系，则点A,B的坐标分别为．∴点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆．∴．∵表示圆上的点到原点的距离，∴的最小值为．又，表示圆上的点的横坐标，结合图形可得的最大值为．故答案为，．点睛：数量积的运算有两种方式，一是用定义运算，二是用坐标运算．向量的坐标运算实质上就是数的运算，同时借助数形结合使运算变得简单、直观形象，这点要通过建立平面直角坐标系来实现．15．【解析】分析：在中由余弦定理可得，令，则．然后在和中分别由余弦定理的推论得到和，由可求得．进而可得，于是得到．由题意得，∴，∴，解得．∴，又，∴．点睛：本题考查余弦定理的应用，由于题中的三角形较多，故在应用余弦定理解题时要分清用到的三角形是哪一个．另外结论是解答本题的关键，由此可得的长，进而可得所求．16．1【解析】分析：即为，令，则为奇函数，由题意得，根据奇函数的性质可得，由此可得的值．详解：∵，∴．令，则为奇函数，且在区间上为增函数．由题意得，∴，∴，故，∴．点睛：本题考查构造法解题，由题中的条件构造函数是解题的关键，然后根据题意得到，再由函数的单调性和奇偶性得到，然后可求出结果．17．【解析】分析：利用，然后再根据重要不等式求解即可得到结果．详解：∵，∴，当且仅当且，即且时等号成立．∴．∴的最大值为．点睛：在运用重要不等式时，若题目中满足了使用的条件，则可直接利用不等式求解即可．对于不适合直接运用不等式的情形，解题时要通过“拆”、“拼”、“凑”等方法进行变形，使其满足应用不等式的形式，然后再进行求解．18．（1）；（2）3【解析】分析：（1）函数解析式可化为，然后将看作一个整体并结合正弦函数的增区间可得所求．（2）由条件可得，故可得，所以的最大值为，然后由条件得到．（2）因为，所以，所以，故,所以的最大值为，由题意得，解得．所以实数的值为3.点睛：本题考查三角变换和三角函数的性质及其应用，解答此类问题的关键是将所给的函数化为或的形式，将作为一个整体并结合正（余）弦函数的相关性质求解，解题时特别注意的符号对结果的影响．19．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由题意得是等边三角形，故得，于是，从而得，所以，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由平面可得，于是平面．又，所以直线与平面所成角即直线与平面所成角，从而得到即为所求角，然后根据解三角形可得所求．所以．又，所以是等边三角形，所以，所以，又因为，所以，所以．又平面平面，所以平面．故即为所求的角．在中，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．点睛：（1）证明空间中的位置关系时要注意解题的规范性和严密性，运用定理证明时要体现出定理中的关键性词语．（2）用几何法求空间角时可分为三步，即“一找、二证、三计算”，即首先根据所求角的定义作出所求的角，并给出证明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函数值）．20．（1）；（2）【解析】分析：（1）求出导数，然后根据函数的单调性可求出最值．（2）由题意得，当时，在上单调递增，不合题意．当时，得，然后讨论此最大值与零的关系，可得当0，即时满足条件，从而得所求．详解：（1）当时，，，所以，故当时，单调递减，当时，单调递增．所以．故当时，的最小值为.所以，（ⅰ）若，恒成立，所以在上单调递减，故只有一个单调区间，不合题意．（ⅱ）若，则，所以存在，使得且，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以有三个不同的单调区间，满足题意．综上可得.所以实数的取值范围为．点睛：由函数单调性求参数取值范围是高考的热点，解决此类问题关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，常用的方法是参数讨论法和参数分离法．21．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）设，则由导数的几何意义可得，于是可设直线的方程为，代入抛物线方程得到关于x的一元二次方程，然后根据斜率公式和根与系数的关系证得，即证得直线与直线的倾斜角互补．（2）由可得，由斜率公式可得，然后由弦长公式得，，再根据的面积为16得，，从而可得直线的方程．详解：（1）设，则．因为，所以直线与直线的倾斜角互补．（2）因为，所以，即，．所以，则，，所以，解得，所以，故，解得．所以当时，直线的方程为．点睛：（1）对于抛物线的切线问题，可借助导数的几何意义求解，可减少运算量提高解题的效率．（2）由于圆锥曲线问题的解答过程中涉及到大量的计算，故在解题时除了对提高运算能力的训练外，还要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少运算量．22．（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由条件可得，又时，即，所以得，于是得所证结论成立，然后可得数列的通项公式．（2）由（1）可知，故．一方面，由求和后可得．另一方面，由求和后可得，于是可得所证结论．所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以，即．（2）由（1）可知，故．①因为，所以，故．点睛：（1）对于等比数列的证明，除了证得从第二项起后一项比前一项等于同一常数外，还要证明数列的首项不等于0．（2）数列中不等式的证明常涉及到放缩法的运用，用放缩法证明不等式时要做到放缩适度，不要放得过大，也不要缩的过小，解题时要以符合题目要求为标准．。
2017-2018年浙江省嘉兴一中高二(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年浙江省嘉兴一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=82．（3分）若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．α⊥β，n∥α，m⊥β⇒n⊥mC．m∥n，m⊥α⇒n⊥α D．m∥n，m∥α⇒n∥α3．（3分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2 C．±2D．±44．（3分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（3分）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z6．（3分）已知m，n是两条异面直线，点P是直线m，n外的任一点，有下面四个结论：①过点P一定存在一个与直线m，n都平行的平面．②过点P一定存在一条与直线m，n都相交的直线．③过点P一定存在一条与直线m，n都垂直的直线．④过点P一定存在一个与直线m，n都垂直的平面．则四个结论中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．（3分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A．，B．，C．，D．，9．（3分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的范围是（）A．（4，6） B．（4，6]C．[4，6） D．[4，6]10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分. 11．（6分）已知圆M：x2+y2+2x+2y﹣5=0，则圆心坐标为；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则=；又若d=2，则数列{b n}的前n项的和S n=．13．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（4分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．15．（4分）设函数，其中a为实数，如果当x ∈（﹣∞，1]时f（x）有意义，则a的取值范围是．16．（4分）如图所示，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作条．17．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC'=2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是．三、解答题：本大题共4小题，共36分.其中第18、19小题每题8分；第20、21小题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．19．（8分）已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2）．圆C的圆心在l1上，且与直线l2相切于点P．（1）求圆C的方程；（2）求过点（0，1），被圆C截得弦长为的直线l的方程．20．（10分）如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD 向上翻折，使D与A重合．（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成的角．21．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程有2个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．2017-2018学年浙江省嘉兴一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=8【解答】解：∵线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）两个端点为（0，2）、（2，0），∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），半径为=．故选：B．2．（3分）若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．α⊥β，n∥α，m⊥β⇒n⊥mC．m∥n，m⊥α⇒n⊥α D．m∥n，m∥α⇒n∥α【解答】解：根据面面平行的性质，m，n是第三平面与α、β的交线时，m∥n，故A不正确；根据面面垂直的性质，可知m∥α或m⊂α，∵n∥α，∴m，n不一定垂直，故B 不正确；根据线面垂直的性质，两条平行线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C正确；m∥n，m∥α，若n⊄α，则n∥α，故D不正确，故选：C．3．（3分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2 C．±2D．±4【解答】解：设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，圆心（0，0）到直线的距离等于半径，∴，∴a的值为±2，故选：B．4．（3分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．5．（3分）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选：C．6．（3分）已知m，n是两条异面直线，点P是直线m，n外的任一点，有下面四个结论：①过点P一定存在一个与直线m，n都平行的平面．②过点P一定存在一条与直线m，n都相交的直线．③过点P一定存在一条与直线m，n都垂直的直线．④过点P一定存在一个与直线m，n都垂直的平面．则四个结论中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①错．因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论．②错．因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论．③对，将直线m和n平移到一起，确定一个平面，过点P作平面的垂线即可；④错．若结论成立，则有m∥n，而m与n不一定平行；故选：A．7．（3分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵∴，可得||=||由此可得△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形又∵，可得∴结合，得•=0由此可得BC所在直线与AM所在直线互相垂直，∵AM与等腰△BMC的底边中线ME在一条直线上，∴AM是BC的垂直平分线，可得AB=AC，得△ABC是等腰三角形又∵，∴△ABC不是等边三角形故选：B．8．（3分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：A．9．（3分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的范围是（）A．（4，6） B．（4，6]C．[4，6） D．[4，6]【解答】解：由圆的标准方程得圆心坐标（3，﹣5），则圆心到直线4x﹣3y=2的距离等于==5，若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则满足|5﹣r|＜1，解得4＜r＜6，故选：A．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：在折叠前的矩形中连接BD交EC于O，∵BC=4，CD=2，CD=2，DE=1，∴，即△BCD∽△CDE，∴∠DBC=∠ECD，∴∠DBC=∠ECD，∴∠ECD+∠ODC=90°，即BD⊥CE，折起后，∵BO⊥CE，DO⊥CE，∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角，在△BOD中，OD=，OB=BD﹣OD=2﹣=，BD==2，由余弦定理得cos∠BOD==，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分.11．（6分）已知圆M：x2+y2+2x+2y﹣5=0，则圆心坐标为（﹣1，﹣）；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为x+y=0．【解答】解：∵圆M：x2+y2+2x+2y﹣5=0，∴圆心M的坐标为M（﹣1，﹣）．∵k OM==，∴此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线的斜率k=﹣，∴该弦所在的直线方程为y=﹣x，即x+y=0．故答案为：（﹣1，﹣），x+y=0．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则=；又若d=2，则数列{b n}的前n项的和S n=3n﹣1．【解答】解：由题意a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，∴a32=a1a9，∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），∴a1=d，∴a n=nd，∴==；当d=2时，a1=2，a3=6，a9=18，∴等比数列{b n}的首项为2，公比为3，∴数列{b n}的前n项的和S n==3n﹣1故答案为：；3n﹣113．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．14．（4分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即y﹣3=﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．15．（4分）设函数，其中a为实数，如果当x ∈（﹣∞，1]时f（x）有意义，则a的取值范围是[﹣4.5，+∞）．【解答】解：由x∈（﹣∞，1）时f（x）有意义，可知对于任意的x∈（﹣∞，1），＞0恒成立，即a•10x+…+2x+1＞0恒成立，也就是a＞﹣（）x﹣（）x﹣…﹣，∵函数g（x）=﹣（）x﹣（）x﹣…﹣在x∈（﹣∞，1）上为增函数，∴a≥﹣（）1﹣（）1…﹣=﹣4.5．故答案为：[﹣4.5，+∞）．16．（4分）如图所示，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作4条．【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故答案为：4．17．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC'=2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是8．【解答】解：设直角三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ=x，CP=y，根据直角三棱锥的性质可知：，∵直线CC’与平面C’P Q成的角为30°，∴h=2=，∴=，，∴xy≥8，再由体积可知：=，得，，∴△PQC'的面积的最小值是8．故答案为：8．三、解答题：本大题共4小题，共36分.其中第18、19小题每题8分；第20、21小题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）∵AC=BC=2，点D是AB的中点．∴CD⊥AB．由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥CD，又AB∩AA1=A，∴CD⊥平面平面ABB1A1．（2）∵点O为矩形CBB1C1的对角线交点，∴C1O=OB，又AD=DB，∴AC1∥OD，又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1．∴AC1∥平面CDB1．19．（8分）已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2）．圆C的圆心在l1上，且与直线l2相切于点P．（1）求圆C的方程；（2）求过点（0，1），被圆C截得弦长为的直线l的方程．【解答】解：（1）设圆心为C（a，b），半径为r，依题意，b=﹣4a．设直线l2的斜率为k2，过P，C两点的直线斜率为k PC，则k2=﹣1，因PC⊥l2，故k PC•k2=﹣1，∴k PC==1，由此可解得a=1，b=﹣4，r=|PC|==2，故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8；（2）由（1）得圆C：（x﹣1）2+（y+4）2=8，则圆心坐标为（1，4），半径r=2，当过点（0，1）的直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，则圆心到直线的距离d=，∵过点（0，1），被圆C截得弦长为的，∴d==1，∴=1，解得k=﹣，当直线l的斜率不存在时，此时直线为x=0，则d=1，此时弦长的一半为=，则被圆C截得弦长为，满足题意，综上所述所求直线方程为x=0，或y=﹣x+120．（10分）如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD 向上翻折，使D与A重合．（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成的角．【解答】（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC∴CQ⊥面ABC∴CQ⊥AB（5分）（Ⅱ）解：取BC的中点O，BD的中点E，如图以OB所在直线为x轴，以OE所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（6分）不妨设BC=2，则A（0，0，1），D（﹣1，2，0），P（x，1﹣x，0），（8分）由|AP|=|DP|即x2+（1﹣x）2+1=（x+1）2+（x+1）2，解得x=0，所以P（0，1，0），（10分）故=（0，1，﹣1）设=（x，y，z）为平面ACQ的一个法向量，因为=（﹣1，0，﹣1），==λ（0，1，0）由即所以=（1，0，﹣1）（12分）设直线AP与平面ACQ所成的角为α则Sinα=|cos＜AP，n＞|=所以α=即直线AP与平面ACQ所成的角为V（14分）21．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程有2个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．【解答】解：（1）因为f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0且c＜0，∵f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一个根为，∴＜0，又a＞b＞c，b=﹣a﹣c，∴可得﹣2＜＜﹣，假设存在，由题意，则a（m﹣）（m﹣1）=﹣a＜0，∴＜m＜1，∴m+3＞+3＞﹣2+3=1．∵f（x）在（1，+∞）单调递增，∴f（m+3）＞f（1）=0，即存在这样的m使f（m+3）＞0．证明（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x）是二次函数，∵g（x1）•g（x2）={f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]}•{f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]}=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2≤0．又∵f（x1）≠f（x2），g（x1）•g（x2）＜0，∴g（x）=0有两个不等实根，且方程g（x）=0 的根必有一个属于（x1，x2）．。
浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省嘉兴市第一中学高二上学期期中考试数学二一、选择题：共12题1．在下列命题中，不正确的是A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】本题考查点线面之间的位置关系.垂直于同一条直线的两条直线平行或异面或相交.即A不正确.选A.2．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查分式不等式.当时,,即,解得;当时,,即,解得;所以不等式的解集为.选C.3．设，则下列各不等式中恒成立的是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查不等关系与不等式.令,,排除A;,排除B;,排除D;选C.4．对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线【答案】C【解析】本题考查点线面之间的位置关系.若直线在平面内,则与平行或相交(包括垂直),排除A;若直线与平面相交,则与异面或相交(包括垂直),排除B;若直线与平面平行,则与平行或异面(包括垂直),排除D;选C.5．已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查空间几何体的体积.由题意得,所以,所以.选C.6．若正实数满足，则的最大值为A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】本题考查基本不等式.因为,所以;所以==,即,解得,当且仅当时,取得最大值4.选C.7．某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形如图(2)，其中，，则该几何体的侧面积为A.48B.64C.96D.128【答案】C【解析】本题考查三视图与直观图.由题意得:,可得平面图(俯视图)的面积(俯视图为边长为6的菱形);而棱柱的高为4,所以该几何体的侧面积.选C.8．如图是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是A.三点共线B.不共面C.不共面D.共面【答案】A【解析】本题考查点线面之间的位置关系.连接,,则,即四点共面,即在面内；而在上,所以在面内；而在面内,所以在面与面的交线上;同理可得:在面与面的交线上;所以三点共线.选A.9．在空间四边形中，，且异面直线和成的角，分别是边和的中点，则异面直线和所成角等于A. B. C. D.或【答案】D【解析】本题考查异面直线的夹角.如图,取的中点,连接而的中点,的中点,所以,，所以异面直线和所成角为;而,所以;而异面直线和成的角，即;在等腰三角形中,或.即异面直线和所成角等于或.选D.10．正四棱柱中，，长为1的线段在棱上移动，长为3的线段在棱上移动，点在棱上移动，则四棱锥的体积是A.6B.10C.12 C.不确定【答案】A【解析】本题考查空间几何体的体积.由题意得=,四棱锥底面的高;所以四棱锥的体积=6.选A.11．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查异面直线所成角,空间向量的应用.以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.选D.12．若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查绝对值不等式.当,则，对任意的实数恒成立，满足题意,排除B,C;当,则，对任意的实数恒成立，满足题意,排除A;选D.二、填空题：共7题13．半径为4的球的表面积为________.【答案】64【解析】本题考查球的表面积.由题意得球的表面积.14．关于的不等式的解集为______________.【答案】【解析】本题考查绝对值不等式.等价于或,解得或;即不等式的解集为.15．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其下底面积的_____倍.【答案】【解析】本题考查空间几何体的表面积.令底面圆的半径为,它们的高为;而圆锥的侧面积是其底面积的2倍，即,得,所以=，即,;所以,即圆柱的侧面积是其下底面积的倍.16．如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，①与平行.②与为异面直线.③与成角.④与成角.以上四个命题中正确的是__________.【答案】②③④【解析】本题考查异面直线.还原出空间几何体,如图所示,顶点在底面的射影为;分别为的中点，所以，而与异面,所以与不平行,①错误;与为异面直线,②正确;三角形为等边三角形,即与成角,③正确;,,所以AGF,所以;而,所以,即与成角.④正确;所以四个命题中正确的是②③④.17．若正数满足，则的最小值为__________.【答案】6【解析】本题考查基本不等式.正数满足，所以，即;同理;所以==(当且仅当时等号成立).即的最小值为6.18．长方体的8个顶点都在球的球面上，为的中点，，异面直线与所成角的余弦值为，且四边形为正方形，则球的直径为 .【答案】4或【解析】本题考查空间几何体的结构特征,余弦定理.画出图形,如图所示.令,而为的中点，所以,求得,;因为,异面直线与所成角的余弦值为，所以;在三角形中,由余弦定理得,即,解得;当时,,,,此时球的直径为;当时,,,,此时球的直径为;即球的直径为4或.19．关于x不等式ax2-|x+1|+3a≥0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是.【答案】[,+∞)【解析】本题主要考查了函数的应用,基本不等式等相关知识,意在考查等价转化思想以及考生灵活运用基本公式的能力.因为不等式ax2-|x+1|+3a≥0的解集为(-∞,+∞),即ax2-|x+1|+3a≥0在R上恒成立,将参数a分离得a≥==,所以|x+1|+-最小应为|x+1|+-2,又|x+1|+-2≥2,所以≤,所以a∈[,+∞).三、解答题：共5题20．已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集.【答案】关于的不等式的解集为，所以为方程的两根,且;所以，可得；所以转化为,解得.即所求不等式的解集为【解析】本题考查一元二次不等式.由题意得为的两根,由根与系数的关系得,所以不等式化为,解得.21．在体积为的直三棱柱中，.(1)求角的大小；(2)若该三棱柱的六个顶点都在球的球面上，求球的体积. 【答案】(1)在三角形中,=;而，得；所以.(2)三棱柱为直三棱柱,且,所以的外心恰好为的中点;为的中点,则为三棱柱外接球的球心;中,,,所以=;所以球的体积=.【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积,三角形的面积公式.(1)=;而，得，解得.(2)如图,为三棱柱外接球的球心,=,所以=.22．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)=;若,则或或，解得；所以不等式的解集=.(2)当时,,即恒成立,求得;当时,,即恒成立,求得;当时,,即恒成立;所以.【解析】本题考查绝对值不等式.(1)=,分段求解得=.(2)分段求解得.23．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，，点在棱上运动.(1)若三棱锥的体积为时，求异面直线与所成的角(2)求异面直线与所成的角.【答案】(1)直四棱柱中，底面是边长为的正方形，，,；而,即；而,所以;以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,,,;所以,;而=,即=；所以异面直线与所成的角为.(2)以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,,,;所以,;而,即，即;所以异面直线与所成的角为.【解析】本题考查异面直线的夹角,空间向量的应用.(1)；而,求得，;建立恰当的空间直角坐标系,,;而=,即=,所以异面直线与所成的角为.(2)建立恰当的空间直角坐标系,,;,即，异面直线与所成的角为.24．设为实数，函数(1)若，求的取值范围.(2)求的最小值.(3)设函数，求不等式的解集.【答案】(1)若，则(2)当时，,当时，,综上(3)时，得，当时，；当时，△>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.【解析】本题考查绝对值不等式.(1)若，则；(2)分类讨论求得；(3)分类讨论得不等式的解集.。
2017-2018年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b22．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（）A．B． C． D．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，则S5=（）A．81 B．80 C．121 D．1206．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2 D．27．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．68．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）9．（4分）设点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，若i（a i+b i）=c i（i=1，2），且+c2的值（）恒成立，则cA．2 B．4 C．6 D．810．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=；若l1⊥l2，则实数m=．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=，数列{a n}的前n项和S n的最小值是．13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围．15．（6分）m∈R，动直线l 1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是．17．（6分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．22．（15分）已知数列{a n}，{b n}，．（Ⅰ）记P n=b1•b2•…•b n，求P n的取值范围；（Ⅱ）记S n=b1+b2+…+b n，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴a＜a﹣b＜0，∴．因此B不正确．故选：B．2．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG=G，∴CD⊥平面ABG，∵AB⊂平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO=．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（）A．B． C． D．【解答】解：tanα==tan，α∈[0，π），可得α=．故选：C．5．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，则S5=（）A．81 B．80 C．121 D．120【解答】解：∵，﹣S n=2S n，即S n+1=3S n．∴S n+1∴数列{S n}是等比数列，公比为3，首项为1．则S5=1×34=81．故选：A．6．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：联立，解得x=1，y=2．把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．∴m=﹣5﹣2n．∴点（m，n）到原点的距离d===，当n=﹣2，m=﹣1时，取等号．∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．故选：A．7．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．6【解答】解：∵正实数a，b满足+=3，∴3=+≥2，当且仅当a=，b=取等号，∴≥，∴ab≥，∵+=3，∴2a+b=3ab，∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=，∴（a+1）（b+2）的最小值是，故选：B．8．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1，若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则|x﹣1|﹣|x﹣2|＜a2+a﹣1恒成立，即a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣，2）∪（1，+∞），故选：D．9．（4分）设点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，若i（a i+b i）=c i（i=1，2），且+c2的值（）恒成立，则cA．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵点P i（x i，y i）在直线l i：a i x+b i y=c i上，a i+b i=ic i（i=1，2），∴l1过定点M（1，1），l2过定点N（2，2），又|P1P2|≥恒成立，∴l1∥l2，∵|MN|==，∴MN⊥l i（i=1，2）．又k MN=1．∴直线l1，l2的方程分别为：x+y=2，x+y=4，∴c1+c2=6，故选：C．10．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．6πD．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，所以，OD=，所以BO===OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=﹣3；若l1⊥l2，则实数m=﹣．【解答】解：当l1∥l2时m（m+2）﹣3×1=0，解得m=﹣3或m=1，当m=1时，两直线重合，故l1∥l2，则实数m=﹣3，当l1⊥l2，则m+3（2+m）=0，解得m=﹣，故答案为：．12．（6分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6，数列{a n}的前n项和S n的最小值是﹣20．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，即有（a1+2d）2=a1（a1+3d），化为a1d=﹣4d2，解得a1=﹣8，a2=﹣8+2=﹣6；数列{a n}的前n项和S n=na1+n（n﹣1）d=﹣8n+n（n﹣1）=n2﹣9n=（n﹣）2﹣，当n=4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为30+6【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中：侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，AD=2，DC=3，CB=4，PD=4．则该几何体的体积V==．表面积S=×3+×=30+6．故答案为：，30+6．14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围3．【解答】解：作出不等式表示的平面区域如图，联立方程组解得：A（﹣1，﹣2），B（，﹣），C（0，1），则|AB|=，C到直线x﹣y﹣1=0的距离d=，∴；化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z，∵z=ax+y在点处取到最大值，∴a≤﹣3，即a≥3．故答案为：．15．（6分）m∈R，动直线l 1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【解答】解：直线l1：x+my﹣1=0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+=0即m（x﹣2）=y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）=0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤=2，当且仅当|PA|=|PB|=时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是2．【解答】解：设H，I分别为CC1、C1D1边上的中点，∵则平面A1BE∥平面B1HI又∵B1F∥面A1BE，∴F落在线段HI上，且∠B1FC1即为B1F与平面CDD1C1所成角，当F与H或I重合时，B1F与平面CDD1C1所成角的正切值有最小值2；故答案为：217．（6分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，∴a n+4﹣a n+2≤2n+2，∴5×2n≤a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴a n+4﹣a n=5×2n，∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：法一、取AE的中点H，连接HG，DH，∵G是线段BE的中点，∴HG∥AB，且HG=，∵四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点，∴DF∥AB，且DF=，∴HG∥DF且HG=DF，∴四边形DFGH是平行四边形，得GF∥DH，∵GF⊄平面ADE，DH⊂平面ADE，∴GF∥平面ADE；解法二、取CE的中点H，连接FH，GH，∵G是线段BE的中点，∴GH∥BC，∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，则GH∥AD，∵GH⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴GH∥平面ADE，又∵F是线段CD上的中点，∴HF∥DE，∵HF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴HG∥平面ADE，∵GH∩/HF=H，∴平面FHG∥平面ADE，∵FG⊂平面FHG，∴GF∥平面ADE；（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∵CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴CD∥平面ABE，∴点F到平面ABE的距离=点C到平面ABE的距离，∴V F=V C﹣ABE=V A﹣BCE=．﹣ABE19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．【解答】解：（Ⅰ）若直线l的纵、横截距为0，可得k=，直线l的方程为y=x；若截距不为0，由题意设直线方程是：+=1，代入P（6，4）得：+=1，解得：a=8，故l为：2x+y﹣16=0，则直线l的方程为2x﹣3y=0或2x+y﹣16=0；（Ⅱ）k=﹣1时，l的方程是：y﹣4=﹣（x﹣6），即x+y﹣10=0，M（6，0）关于y轴的对称点M''为（﹣6，0），M关于直线x+y=10的对称点为M'（a，b），由解得a=10，b=4，即有M'（10，4），由如图可得光线所经过的路程为MK+KN+NM=M'K+KN+NM''=M'M''==4．20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x|x﹣1|﹣1=，当x≥1时，x2﹣x﹣1＜x﹣1，解得：1≤x＜2；当x＜1时，﹣x2+x﹣1＜x﹣1，解得x＜1且x≠0．∴不等式f（x）＜x﹣1的解集是{x|x＜0或0＜x＜2}．（II）由恒成立得：恒成立，∵x∈（0，1]，∴恒成立，即在x∈（0，1]恒成立．又当x=1时，x﹣取得最大值﹣，≥2=，当且仅当即x=时取等号，∴．21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．【解答】解：（1）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，∠BCD=90°⇒CF⊥BC，⇒FC⊥面ABC，⇒AB⊥CF…（5分）（2）设，设BE=t，则ED=EA=2﹣t，取BC的中点H，连接HE，AH，又…（7分）又AH⊥面BCD，AE2=AH2+EH2，∴（2﹣t）2=+t2﹣t+，∴，∴点E是BD的中点，…（10分）HE∥BC，∴HE⊥面ABC，∠BEA为所求角的线面角…（12分）…（14分）∴所以直线AE与平面ABC所成角为…（15分）．22．（15分）已知数列{a n}，{b n}，．（Ⅰ）记P n=b1•b2•…•b n，求P n的取值范围；（Ⅱ）记S n=b1+b2+…+b n，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．【解答】解：（I）∵，∴，∵，∴{a n}单调递增趋向正无穷，∴．（II），∴，∴==，为定值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
均值不等式一种类型题的总结
2 b 1 a 1 1 1 a 2b a 1 2 b 1 3 a 1 2 b 1 3 1 2 3 a 1 b 1 a 1 b 1
x y
1 1 2 1 4 x y x 2y x y 2 x 2y 3 3 3 x y x 2 y
2 x 2y 4 x y 1 2 x 2y 4 x y 1 94 2 = ，当且仅当 ，即 x 4, y 1 时 9 9 2 8 3 x y x 2y 3 3 x y x 2y
㹗 㹗
B. 8
졠
ʡ ✁
的最小值为 (
)
【来源】 【全国百强校】湖北省宜昌市葛洲坝中学 2018 届高三 9 月月考数学（文）试题
1
【答案】B 【解析】
㹗 㹗
等号成立，即
졠 ʡ ✁=
㹗졠ʡ ✁t ✁
㹗
解引题：若实数 x, y 满足 x y 0 ，且
43 2 3 65 2 3
鲸 岰ʡ 鲸 。选 B. ✁ ✁
练习 1．已知实数 a 0 ， b 0 ， A. 3 2 B. 2 2 C. 3
）
D. 2
【来源】 【全国校级联考】浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）2017-2018 学年度上学期高 三9 1 联考数学试题
1 1 1 a 1 b 1
【答案】B 【解析】∵ a 0 ， b 0 ，
1 1 4 所以把条件构造为 x y x y 2 x 2 y ，从而解决问题。 3 x y x 2 y
通过观察，该方法关键是能够构造成相乘相消的均值不等式类型，如果构造不成，就需要进行拼 凑和拆分。
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台州中学2017-2018学年第一学期期中试题
高二 数学
第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.大小是为实常数）的倾斜角的直线mmyx(03（ ）
A.30 60.B C.120 D.150
2．平行的和直线是直线7)1(30323ayaxayaxa（ ）
A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
3．点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，
C
1
的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图、左视图、
俯视图依次为（ ）
A．①③④ B．②④③ C．①②③ D．②③④
4．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C
所成的角为α，则sinα=（ ）
(A)23 (B)22
(C)410 (D)46
5. 设是空间中的一个平面，,,lmn是三条不同的直线，则下列中正确的是（ ）
A．若//,,lmmn，则//;ln； B．若,,,//mnlnlm则；
C．若,,,,mnlmlnl则 D．若,,//;lmlnnm则
6．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使得点（2,0）与点（-2,4）
A
B
C
C
1
B
1
A
1
D
A
B
重合。若点（7,3）与点（m,n）重合，则m+n=( )
A．4 .B -4 C. 10 D. -10
7．已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，
使得90APB，则m的最大值为（ ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻
折过程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：（本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．）
9.
allayaxlyaxl则若，已知直线,.01)1(:062:
21221
__________，的距离为与则若2121,//llll ．
10. 过原点且倾斜角为60的直线与圆2240xyy相交，则圆的半径为___________。直
线被圆截得的弦长为______________
,100:.1122MyxCcbyaxl截得的弦的中点为：被圆已知直线
20,abcO若
为坐标原点，则点M的轨迹方程为______________，
|OM|的最大值为 ．
12．如图，在四棱锥CD中，D平面CD，//CD，
DCD，DDDC2
，则异面直线C与所
成角的大小为 ；直线与平面DC所成角的正弦值
为 ．
13．如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，
AB与l所成的角为30°.则AB
与平面所成的角的正弦值是 .
外一点，：为圆，已知点)0(022)20(.1422aayaxyxMA
45MATTM使得上存在点圆
，则实数a的取值范围是 ．
15.正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构
成的图形面积的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
l
16.（本题满分15分）等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线x+2y-4=0上，顶
点A的坐标是(1，-1)，（1）求顶点B的坐标， （2）求AB所在直线方程.
17. （本题满分15分）
如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的
中点，(1）求圆锥SO的表面积； （2）求异面直线SC与PD所成角的余弦值。
18. （本题满分15分） 已知以点Ct，2t(t∈R，t≠0)为圆心的圆经过原点O，且分别交x
轴、y轴于点A、B.点A、B与点O不重合．
(1) 求证：△OAB的面积为定值；
(2) 设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，且OM＝ON，求圆C的方程．
19.（本小题满分15分）如图，已知正方形ABCD和矩形
ACEF所在的平面互相垂直，2,1ABAF，M
为线段
EF
的中点。
（Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角ADFB的平面角的大小．
20. （本题满分14分）棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面
SAB为等边三角形,
AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB
2）求AB与平面SBC所成角的余弦值.
D
A
C
B
E
F
M