1.3.2 极大值与极小值公开课
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高中数学教学课例《1.3.2函数的极值与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
识与方法的基础，起着承上启下的作用。
知识与技能：
①了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函
数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，
提升思维水平；
②掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值
教学目标 的一般方法；
③了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条
件。
过程与方法：
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和
规律的学习能力。
情感态度与价值观：
①体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有
效性；
②培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够
深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步
提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作 学生学习能
用。 力分析
通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应
学生展示：类比极大值，归纳出极小值，极小值点 的定义。
教师点拨：通过教师的点拨，帮助学生完善、深化 知识
典型例题：先让学生做，教师引导学生总结思路方 法技巧。
自主完成：分层设计练习题，让各层面学生都能学 有所获。
求,解方程=0,当=0 时:
（1）如果在 x0 附近的左边＞0,右边＜0,那么
f(x0)是极大值。 （2）如果在 x0 附近的左边＜0,右边＞0,那么
f(x0)是极小值。 通过典型例题巩固学生对新知识的理解。 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方
法，突出本节课的重点。培养学生规范的表达能力，形 成严谨的科学态度。
学生展示：极小值与极小值点
教学过程
典型例题： 例 1：右图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数
y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小
第1章 1.3.2 极大值与极小值
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【自主解答】
(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
2 令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－3为f′(x)＝0的解．
阶 段 一
阶 段 三
1.3.2
阶 段 二
极大值与极小值
学 业 分 层 测 评
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1．会求函数的极大值与极小值．(重点) 2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点) 3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)
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[基础· 初探] 教材整理1 函数极大(小)值的概念 阅读教材P30上半部分，完成下列问题．
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则． 2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点． 点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件： ①f′(x0)＝0； ②点x0两侧f′(x)的符号不同． (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝ x ，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0 的根，也可能是不可导点．
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函数f(x)的定义域为开区间
(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图132
所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．
【解析】
图132 由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左
边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0， 函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当x＝0时，函数取得极小值， 且y极小值＝0.
【自主解答】
(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
2 令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－3为f′(x)＝0的解．
阶 段 一
阶 段 三
1.3.2
阶 段 二
极大值与极小值
学 业 分 层 测 评
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1．会求函数的极大值与极小值．(重点) 2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点) 3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)
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[基础· 初探] 教材整理1 函数极大(小)值的概念 阅读教材P30上半部分，完成下列问题．
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则． 2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点． 点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件： ①f′(x0)＝0； ②点x0两侧f′(x)的符号不同． (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝ x ，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0 的根，也可能是不可导点．
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函数f(x)的定义域为开区间
(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图132
所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．
【解析】
图132 由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左
边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0， 函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当x＝0时，函数取得极小值， 且y极小值＝0.
江苏高中数学第一章导数及其应用132极大值与极小值课件苏教版选修2
(1)求 a； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)若直线 y＝b 与函数 y＝f(x)的图象有 3 个交点，求 b 的 取值范围． 解：(1)因为 f′(x)＝1＋a x＋2x－10， 所以 f′(3)＝a4＋6－10＝0，因此 a＝16.
(2)由(1)知， f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)． f′(x)＝2x2－1＋4xx＋3，当 x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时， f′(x)>0，当 x∈(1,3)时，f′(x)<0， 所以 f(x)的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调减 区间是(1,3)．
[必备知识]
1．极大值与导数之间的关系如下表：
x f′(x)
x1左侧
f′(x) ___>___0
x1
f′(x) _＝___0
f(x)
增
极大值f(x1)
2．极小值与导数之间的关系如下表：
x f′(x)
x2左侧
f′(x) __<__0
x2
f′(x) _＝___0
f(x)
减
极小值f(x2)
x1右侧
f′(x) __<__0
范围是( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
解析：选 C 由 y＝x3－3x2＋ax 可得 y′＝3x2－6x＋a.因
为函数 y＝x3－3x2＋ax 存在极值，所以 3x2－6x＋a＝0 有两个
不同的解，所以 Δ＝36－4×3×a＞0，解得 a＜3，即实数 a 的
取值范围是(－∞，3)，故选 C.
切线斜率为 0，即 f′(1)＝0，从而 a－12＋32＝0， 解得 a＝－1.
(2)由(1)知， f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)． f′(x)＝2x2－1＋4xx＋3，当 x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时， f′(x)>0，当 x∈(1,3)时，f′(x)<0， 所以 f(x)的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调减 区间是(1,3)．
[必备知识]
1．极大值与导数之间的关系如下表：
x f′(x)
x1左侧
f′(x) ___>___0
x1
f′(x) _＝___0
f(x)
增
极大值f(x1)
2．极小值与导数之间的关系如下表：
x f′(x)
x2左侧
f′(x) __<__0
x2
f′(x) _＝___0
f(x)
减
极小值f(x2)
x1右侧
f′(x) __<__0
范围是( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
解析：选 C 由 y＝x3－3x2＋ax 可得 y′＝3x2－6x＋a.因
为函数 y＝x3－3x2＋ax 存在极值，所以 3x2－6x＋a＝0 有两个
不同的解，所以 Δ＝36－4×3×a＞0，解得 a＜3，即实数 a 的
取值范围是(－∞，3)，故选 C.
切线斜率为 0，即 f′(1)＝0，从而 a－12＋32＝0， 解得 a＝－1.
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀课件
极大值与极小值同称为极值.
函数极值的定义
〔1〕极值是某一点附近的小区间而言的,是函数 的局部性质,不是整体的最值; 〔2〕函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内 可能有多个极大值和极小值； 〔3〕极大值与极小值没有必然关系，极大值可 能比极小值还小.
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
函数值有什么关系？
2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 3 这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0), 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记 作y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
函数的极值与导数〔一〕
观察以下图中P点附近图像从左到右的变化
趋势、P点的函数值以及点P位置的特点
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
S(x ,f(x ))
4
4
Q(x2,f(x2))
o
a x1 x2
x3 x4 b x
1 函数y=f(x)在 x1, x2, x3, x4 等点的函数值与这些点附近的
A、导数y/由负变正,那么函数y由减变为增,且有极大 值 B、导数y/由负变正,那么函数y由增变为减,且有极大 值 C、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极小
求函数f(x) 1 x3 4x 4的极值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
函数极值的定义
〔1〕极值是某一点附近的小区间而言的,是函数 的局部性质,不是整体的最值; 〔2〕函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内 可能有多个极大值和极小值； 〔3〕极大值与极小值没有必然关系，极大值可 能比极小值还小.
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
函数值有什么关系？
2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 3 这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0), 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记 作y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
函数的极值与导数〔一〕
观察以下图中P点附近图像从左到右的变化
趋势、P点的函数值以及点P位置的特点
y
R(x ,f(x ))
3
3
y=f(x)
P(x1,f(x1))
S(x ,f(x ))
4
4
Q(x2,f(x2))
o
a x1 x2
x3 x4 b x
1 函数y=f(x)在 x1, x2, x3, x4 等点的函数值与这些点附近的
A、导数y/由负变正,那么函数y由减变为增,且有极大 值 B、导数y/由负变正,那么函数y由增变为减,且有极大 值 C、导数y/由正变负,那么函数y由增变为减,且有极小
求函数f(x) 1 x3 4x 4的极值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
函数的极值-最大值与最小值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导 且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导 且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀课件
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本课结束
答案
(1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.那么把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都 大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.那么把点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值极.大值点 、
极小值点 统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
答案
知识点二 求函数y＝f(x)极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x) > 0，右侧f′(x) < 0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x) < 0，右侧f′(x) > 0，那么f(x0)是极小值.
解析答案
类型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2.
因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)；
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
函数的极值与导数
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
本课结束
答案
(1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.那么把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都 大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.那么把点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值极.大值点 、
极小值点 统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
答案
知识点二 求函数y＝f(x)极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x) > 0，右侧f′(x) < 0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x) < 0，右侧f′(x) > 0，那么f(x0)是极小值.
解析答案
类型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2.
因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)；
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
函数的极值与导数
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的 关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
第1章 1.3.2 极大值与极小值
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∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1. 当x＝－23时，f(x)有极大值为f－23＝4297； 当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.
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已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求 解后必须验证根的合理性．
如图所示．
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Δ＝m＋32－4m＋6>0， 所以f′1＝1－m＋3＋m＋6>0，
m＋2 3>1， 解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
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函数极值的综合应用
[探究共研型]
探究1 导数为0的点都是极值点吗？ 【提示】 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所 以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符 号是否相反．
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[再练一题]
1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________.
【解析】 ∵f′(x)＝2x－2x，
【导学号：01580013】
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
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判断正误： (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( ) (3)函数f(x)＝1x有极值．( )
高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2
对于可导函数，极值点的导数必为0.
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
1.3.2极大值与极小值
2.基本上出现在综合性的大题当中，一般 难度较大。
极小值点、极大值点统称为极值点, 极小值、极大值统称为极值.
y
o
abc d e f
gh x
想一想：极大值一定大于极小值吗？ 不一定
极值反映的是函数的局部性质，而不是整体性质.
注意：极值点不是点，而是数，是局部最高点或最低 点的横坐标，极值是局部最高点或最低点的纵坐标.
解：f x的 定义域为 0,
f
x
1
(ln x x2
1)
ln x x2
令f ( x) 0，0 x 1
令f ( x) 0， x 1
x 0,1 1 1,
f(x) +
0
-
f(x)
极大值1
故 f x的 极大值为1，无极小值。
综上所述： 当a 时0，f(x)无极值， 当 a 时0 ，f(x)的极小值为 极大值
1、理解极值与极值点的概念； 2、利用导数求函数的极值.
考纲要求
1.会用导数求函数的极大值和极小值（其 中多项式函数一般不超过三次）。
2.明确利用导数求函数的极值和最值的方 法步骤。
高考动向
1.利用导数解决与极值最值有关的问题： 2018年全国卷（Ⅰ）21题 2016年全国卷（Ⅰ）21题 属于高考中的高频考点
值范围.
（-1,k+4）
解：2个零点，
k 4=0或k 4=0即k= 4或k=4 （1,k-4）
3个零点，
k 4 0 k 4即 4 k 4
课堂总结
1、极值与极值点的概念； 2、求函数极值的步骤:
(1)确定定义域；
极小值点、极大值点统称为极值点, 极小值、极大值统称为极值.
y
o
abc d e f
gh x
想一想：极大值一定大于极小值吗？ 不一定
极值反映的是函数的局部性质，而不是整体性质.
注意：极值点不是点，而是数，是局部最高点或最低 点的横坐标，极值是局部最高点或最低点的纵坐标.
解：f x的 定义域为 0,
f
x
1
(ln x x2
1)
ln x x2
令f ( x) 0，0 x 1
令f ( x) 0， x 1
x 0,1 1 1,
f(x) +
0
-
f(x)
极大值1
故 f x的 极大值为1，无极小值。
综上所述： 当a 时0，f(x)无极值， 当 a 时0 ，f(x)的极小值为 极大值
1、理解极值与极值点的概念； 2、利用导数求函数的极值.
考纲要求
1.会用导数求函数的极大值和极小值（其 中多项式函数一般不超过三次）。
2.明确利用导数求函数的极值和最值的方 法步骤。
高考动向
1.利用导数解决与极值最值有关的问题： 2018年全国卷（Ⅰ）21题 2016年全国卷（Ⅰ）21题 属于高考中的高频考点
值范围.
（-1,k+4）
解：2个零点，
k 4=0或k 4=0即k= 4或k=4 （1,k-4）
3个零点，
k 4 0 k 4即 4 k 4
课堂总结
1、极值与极值点的概念； 2、求函数极值的步骤:
(1)确定定义域；