材料力学习题解答弯曲应力
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
bh02 8
（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。
（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
材料力学-弯曲应力
t,max
2.5103 88103 7.64106
28.8106 Pa 28.8MPa t
33
目录
§5-3 矩形截面梁的切应力
矩形截面梁的切应力（推导略） 在推导矩形截面梁的切应力公式时，作如下两点假设：
①假设矩形截面上剪应力 的方向和剪力Fs的方向相同。
②假设截面上剪应力 沿宽度b是均匀分布的。
44
例题5-6
一简支梁由两个槽钢组成，受四个集中荷载作用，如图示。
已知：
P1 120KN , P2 30KN , P3 40KN , P4 12KN .
容许应力 170MPa, 100MPa。试选择槽钢的型号。
Iz
80 203 12
80 20 422
201203 20120 282 12
7.64106 m4
y
31
目录
§5-2 正应力公式的推广 强度条件
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2.5kN.m 4kN.m
t,max
4103 52103 7.64106
27.2106 Pa 27.2MPa t
c,max
4103 88103 7.64106
46 .1106 Pa 46 .1MPa c
32
目录
§5-2 正应力公式的推广 强度条件
（3）作弯矩图
2.5kN.m 4kN.m
（4）B截面校核
t,max 27.2MPa t c,max 46.1MPa c
（5）C截面要不要校核？
b—需求切应力处横截面宽度。
37
例题5-5
F
悬臂梁由三块木板粘接
50 而成。跨度为1m。胶合面
z50 的许可切应力为0.34MPa，
材料力学第七章弯曲剪应力
对于标准工字钢梁：
t max
*
F SS zmax Izb
FS
b
Iz
/
S* Z max
在翼板上：
FN I
A* sⅠdA
My dA
I A* z
FN
M Iz
ydA
A*
M Iz
Sz*
FN II
A* (s Ⅱ)dA
(M dM )
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS
h2 (
y2)
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
解：叠梁承载时，每
F
梁都有自己的中性层
L
FS
F
-FL
M
h 2
1.梁的最大正应力：
h 2
b
s max
1 2
M
max
W
其中：
W
b( h )2 2
bh2
6 24
s max
M max 2W
12FL bh2
材料力学作业6(弯曲应力)
第六章 弯曲应力一、是非题1 梁在纯弯曲时，横截面上各点只有正应力。
（ ）2 对于等截面梁，弯矩绝对值最大的截面，就是危险截面。
（ ）3 抗弯截面系数是反映梁横截面抵抗弯曲变形的一个几何量，它的大小与梁的材料有关。
（ ）4 钢梁和木梁的截面形状和尺寸相同，在受同样大的弯矩时，木梁的应力一定大于钢梁的应力。
（ ）5 对于矩形截面梁，无论平放还是立放，其抗弯强度相同。
（ ） 二、选择或填空1 材料弯曲变形后（ ）长度不变。
A ．外层B ．中性层C ．内层 2 梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ ）。
A.中性轴上B.对称轴上C.离中性轴最远处的边缘上3 若矩形截面梁的高度h 和宽度b 分别增大一倍，其抗弯截面系数将增大 （ ）。
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍4一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正应力是原来的________倍。
A ：81B ：8C ：2D ：21 5 图示悬臂梁，在外力偶矩M 的作用下，N-N 截面应力分布图正确的是（ ）A B C D 6 图示横截面上的应力分布图，其中属于直梁弯曲的是图（ ），属于圆轴扭转的是图（ ）。
7 等强度梁各横截面上 数值近似相等。
A ．最大正应力B ．弯矩C ．面积D ．抗弯截面系数8 图示，用T 形截面形状的铸铁材料作悬臂梁，从提高梁的弯曲强度考虑，图（ ）的方案是合理的。
A B三计算题1 图示悬臂梁，梁长L =1m ，集中载荷F =10k N ,梁截面为工字形，已知其Z W ＝102 cm3 试求出该悬臂梁上最大正应力。
2 长度mm 250=l 、截面宽度mm 25=b 、高度mm 8.0=h 的薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为 60的圆弧。
已知钢的弹性模量GPa 210=E ，试求钢尺横截面上的最大正应力。
3 图示矩形截面简支梁。
试求1-1截面上a 、b 两点的正应力。
8kN4图示木梁受移动载荷kN 40=F 作用。
材料力学弯曲应力总结
纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁 的变形称为纯弯曲。
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
几个重要方程 几何方程：
物理关系：
x
y
......
(1)
MZ 静力学关系： EIz
s x E x
1
Ey
...... (2)
(3) EI z 杆的抗弯刚度。
1、剪力及剪力图 2、弯矩及弯矩图
建 工 一 班
3、应力强度分析 4、梁的合理设计
周 秋 风
学号3120130601225
内力
剪力FS
切应力t
弯矩M
正应力s
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。
2、正应力强度条件：
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： M max ● 强度校核: s max [s ] Wz
M max s max s Wz
Wz [s ] M max
M max [s ]Wz
M max [s ] ● 截面设计:s max Wz M max [s ] ● 载荷设计: s max Wz
5.98103 3 WZ 23 cm 2 130106 查表，应选 8号槽钢两根。
四、矩形截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法：分离体平衡。
QS z 2、剪应力的计算公式亦为： t 1 bI z
五、剪应力强度条件
1、危险面与危险点分析
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应 力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可 能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）
弯曲应力练习题
弯曲应力练习题弯曲应力是工程力学中的重要概念，涉及到物体在受到弯曲力作用时的应力分布和变化。
掌握弯曲应力的计算方法对于力学领域的学习至关重要。
在本文中，我们将介绍一些常见的弯曲应力练习题，旨在帮助读者加深对弯曲应力的理解和运用。
1. 长方形截面材料的弯曲应力考虑一块长度为L、宽度为b、高度为h的长方形截面材料，在其最大弯曲力矩为M的作用下，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * y) / (I * c)其中，y表示距离截面中性轴的距离，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
2. 悬臂梁的最大弯曲应力考虑一个长度为L、所受力矩为M的悬臂梁，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
对于悬臂梁而言，最大弯曲应力出现在悬臂梁固定端。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * L) / (I * c)其中，M是所受力矩，L是悬臂梁的长度，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
3. 圆柱体的弯曲应力考虑一个半径为r、所受力矩为M的圆柱体，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * r) / (I * c)其中，M是所受力矩，r是圆柱体的半径，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
以上是三个常见的弯曲应力计算问题的解决方法。
在实际的工程应用中，我们需要根据具体情况选择合适的公式并进行计算。
同时，为了准确评估材料的弯曲性能，我们还需要了解材料的力学性质，如弹性模量、截面惯性矩等。
通过练习和实践，我们可以逐渐提高对弯曲应力问题的解决能力。
总结：本文简要介绍了弯曲应力的概念和计算方法，并提供了三个常见的弯曲应力练习题。
这些题目涉及到了不同结构的材料，如长方形截面材料、悬臂梁和圆柱体。
通过解决这些练习题，读者可以深入理解弯曲应力的计算过程，进一步掌握工程力学的基础知识。
材料力学习题册答案-第6章弯曲变形
材料力学习题册答案-第6章弯曲变形(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第六章弯曲变形一、是非判断题1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。
（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。
（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。
（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、选择题1. 梁的挠度是（D）A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B 横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D 横截面形心的位移2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。
A 梁的变形属于小变形B 材料服从胡克定律C 挠曲线在xoy平面内D 同时满足A、B、C4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。
A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。
A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度 D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。
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6.1.矩形截而悬臂梁如图所示，已知 Mm, b/h=2/3, q=10kN/m. [a]=10MPa,试 确宦此梁横截而的尺寸。
⑶强度计算 ql1 一％ _ 2 w £
h、IM2 _ /9X10X103X42
_ V 2xl0xl06
b > 277mm
6.2. 20a I字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[a]=160 MPa,试求许可载荷。
解:(1)画梁的弯矩图 由弯矩图知:
⑵计算抗弯截而系数 P No20a
=416mm 2m 2m 2m 6.1.矩形截而悬臂梁如图所示，已知 Mm, b/h=2/3, q=10kN/m. [a]=10MPa,试 w.上海理匸大学力学教研室 9 .pw 3W[b] _ 3x237x10" x 160x106 • 一 2 2 取许可载荷
[P] = 57*N
6.3.图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 4 5kN
rC 嗣/J
3kN ，3kN|
山
1 ---- — 占甲
5 ■丄」1
400 800 Soo 丁
300「|
解:(1)画梁的弯矩图
=坐=哄=32xl.34x&"32唤 Wc 兀d： n x 0.06?
0.9 xio3 s …n q 4 _ ~ — = 62.1 MPa
冗DR、 an 兀 x0.06 八 0.0451
(3) 轴内的最大正应力值
(2) 査表得抗弯截而系数 (3)强度计算 bmax
W=237X10^/H5
max 3W ・
P5[b]
= 56・88kN
max 6 max
M max
3
由弯矩图知：可能危险截而是C和B截而 (2)计算危险截而上的最大正应力值 C截而： 上海理匸大学力学教研室 9
6.5.把直径d=1 m的钢丝绕在直径为2 m的卷筒上，设E=200 GPa,试汁算钢丝中产生的 最大正应力。
解:(1)由钢丝的曲率半径知
1 M E M
7= — •—=— EI p I
(2)钢丝中产生的最大正应力 MR ER 200X109X0.5X10"3
b = -------------------- = TOO
mj p 1
6•&压板的尺寸和载荷如图所示。材料为45钢，6=380 MPa,取安全系数n=1.5o试校核 圧板的强度。
Pi=15.4kN 解:(1)画梁的弯矩图
由弯矩图知：危险截面是A截而，截而弯矩是 MA = 308N/W
⑵计算抗弯截而系数
(3)强度计算 许用应力 [bl—6 - 380 -253iWP« n 1.5
强度校核 308 inA1/rn r [
b叭=—-= ------------ —=\96MPa Y b max W 1.568x10^
压板强度足够。
W晋(诗)=十(音“X" 123 上海理匸大学力学教研室 9
6・12・图示横截而为丄形的铸铁承受纯弯曲，材料的拉伸和压缩许用应力之比为 kt]/[^]=i/4a
求水平翼缘的合理宽度b°
由弯矩图知：可能危险截而是△和C截而 (2) 强度计算 A截而的最大压应力
解:(1)梁截而上的最大拉应力和最大压应力 _ _M(400-y) ^Tf.max — Z
bf.max 400-卩 匕］1 bf.nm Ji 0」4 Ji = 320 nun (2) 由截而形心位置 工 A% _ 30 x (400 - 60) x 170 + 〃 x 60 x 370 _ °“ y 厂=-7~= ■ ■ =32() 工 4 30x(400-60) + 〃 x 60
= 510 mm
6・13・丄形截而铸铁梁如图所示。若铸铁的许用拉应力为[创二40 MPa,许用压应力为 [oj二160 MPa,截面对形心N的惯性矩/zc=10180 cm4, hi=96.4 mm.试求梁的许用
yc t 上海理匸大学力学教研室 9 取许用载荷值 [P] = 44.2^V
6.14.铸铁梁的载荷及截而尺寸如图所示。许用拉应力[q]=40 MPa,许用压应力[ot]=160 MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将丁形截而倒巻成为丄形, 是否合理？何故？
由弯矩图知：可能危险截而是B和C截而 (2)计算截面几何性质 形心位程和形心惯性矩
/ zC=jAy2dA = 30x200x215 + 200x30x100c = ------------------------------------- =157.5 mm 30x200 + 200x30
『42.5 . />72.5 . 」
=J * x30xt/y? + £ x 200xt/y = 60.125x10 in
M ” 0.8肌 c [
IZC
々•[%•]_ lOlSOxlO^xlbOxlO6 O.87J2 0.8(250-96.4)x IO-3
he 少嘗g] IOISOXIO^X^XIO6 "0.8/1, 0.8 x 96.4 xlO~3
_ Mch2 Izc 0・6Ph门] =z -gl
10180xl0'sx40xl06
:p< = \32・6kN A截而的最大拉应力
max = 52&N C截而的最大拉应力 max
O.6/1.
b(；max 0.6(250-96.4)x10-3 ~ 上海理匸大学力学教研室 9 (3) 强度计算
B截面的最大压应力
= 52AMPa^[ac]
B截面的最大拉应力 M〃(0・23 — %) _ 20xl0‘(0・23 —0.1575) 60.125x10^ = 24・12MP“ Y[b」
C截而的最大拉应力 10xl0\0・1575 60.125x10" = 26・2MP“Y[b」
梁的强度足够。 (4) 讨论：当梁的截而倒置时，梁内的最大拉应力发生在B截而上。 M沙c _20X10\0・1575
"7^ 60.125x10" = 52AMPa^[crl]
梁的强度不够。 6・19・试汁算图示工字形截而梁内的最大正应力和最大剪应力。
Nol6 解:(1)画梁的剪力图和弯矩图 15kN
(+)
(-) TOR
N
5kN
最大剪力和最大弯矩值是 。唤=15他 Mnm = 20 kNm
(2)査表得截而几何性质 W =141c 加' =13&〃 2 b = 6mm
(3) 计算应力 最大剪应力
20X103X0,1575 60.125x10^ 上海理匸大学力学教研室 9 6・22・起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q=50kN,起重SP=10kNo许用应力 [护160 MPa, [r]=100 MPa.若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选泄工字钢 型号，然后再按剪应力强度条件进行校核。
解:(1)分析起重机的受力 由平衡方程求得C和D的约束反力 Rc=\0kN RD = 50kN
(2)分析梁的受力
由平衡方程求得△和B的约朿反力 R =50 -6x RH =\0 + 6x (3)确左梁内发生最大弯矩时，起重机的位置及最大弯矩值 C截而： Mc(x) = (50 _ 6x)x
^^^ = 50-12x=0 dx x =4.17/n
10kN Ci |50kN
ID
8 X I
L 4
10m \ RA RB
最大正应力 r _ Onux max max blz
0.0^x(1138 =18-™
max 2()xl()=141 “ W 141x10^