高考第一轮复习数学：复数(附答案)

素质能力检测（十五）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.如果复数2i1i2b（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于

A.2 B.32 C.－32 D.2
解析：2i1i2b =52i)-i)(12(b=5i)4(22bb
∴2－2b=b+4，b=－32.
答案：C
2.当32＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，

∵32＜m＜1，

∴0＜3m－2＜1，－31＜m－1＜0.
答案：D
3.在下列命题中，正确命题的个数为
①两个复数不能比较大小;
②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2+(z2－z3)2=0，则z1=z3;
③若(x2－1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1;

④z为虚数的一个充要条件是z+z∈R;
⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;
⑥复数z∈R的一个充要条件是z=z.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z1、z2、z3不全是实数时不
成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数
是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.
答案：B

4.设f(n)=(i1i1)n+(i1i1)n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n，
∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.
∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.
答案：C
5.已知复平面内的圆M：|z－2|=1，若11pp为纯虚数，则与复数p对应的点P
A.必在圆M上 B.必在圆M内
C.必在圆M外 D.不能确定

解析：∵11pp为纯虚数，设为ki(k∈R，k≠0)，
∴(1－ki)p=1+ki，取模得|p|=1且p≠1.
∴选C.
答案：C

6.已知复数(x－2)+yi(x、y∈R)的模为3，则xy的最大值是

A.23 B.33 C.21 D.3

解析：∵｜x－2+yi｜=3，
∴(x－2)2+y2=3.

x
y

O
C

∴(x，y)在以C(2，0)为圆心、以3为半径的圆上，如右图，由平面几何知识知3xy.
答案：D
二、填空题（每小题4分，共16分）
7.已知M={1，2，(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i}，N={－1，3}，M∩N={3}，实数a=_________.
解析：按题意(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i=3，

∴.313,06522aaaa解得a=－1.
答案：－1
8.复数z=2i)i)(13i)(2321(i)22i)(43(|－2i的模为_______________.

解析：由复数的模的性质可知
z=|i21||i3||i2321||i22||i43|－2i
=52125－2i=5－2i，∴|z|=3.
答案：3
9.若x、y∈R，且2x－1+i=y－(3－y)i，则x=__________，y=___________.
解析：根据复数相等的定义求得.

答案：25 4

10.复数z满足z·z+z+z=3，则z对应点的轨迹是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
三、解答题(本大题共4小题，共54分)

11.(12分)设复数z1、z2满足z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，2z－z1=2i，求z1和z2.

解：∵2z－z1=2i，∴2z=z1+2i.
∴z2=i21z，即z2=1z－2i.
又∵z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，
∴z1(1z－2i)+2iz1－2i(1z－2i)+1=0，

即|1z|2－2i1z－3=0.
令z1=a+bi(a、b∈R)，
得a2+b2－2b－3－2ai=0，

即.02,03222abba 解得.1,03,0baba或
∴z1=3i，z2=－5i或z1=－i，z2=－i.
12.(14分)设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－icosθ(θ∈R)，求z的值和|z－ω|的取值范围.

解：设z=a+bi(a、b∈R)，则z=a－bi，代入4z+2z=33+i，得
4(a+bi)+2(a－bi)=33+i，
即6a+2bi=33+i.

∴,21,23ba∴z=2123i.
|z－ω|=|23+21i－(sinθ－icosθ)|
=22)cos21()sin23(
=cossin32=)6πsin(2.
∵－1≤sin(θ－6π)≤1，∴0≤2－2sin(θ－6π)≤4.∴0≤|z－ω|≤2.
13.(14分)非零复数a、b、c满足ba=cb=ac，求cbacba的值.
解：设ba=cb=ac=k，则a=bk，b=ck，c=ak，即c=ak，b=ak·k=ak2，a=ak2·k=ak3，
∴k3=1.∴k=1或k=－21±23i.
则cbacba=akakaakaka22=kkkk2211.
若k=1，则原式=1;
若k=－21+23i，则原式=－21－23i;

若k=－21－23i，则原式=－21+23i.
综上，cbacba的值分别为1，－21－23i，－1+23i.
14.(14分)设复数z满足｜z｜=5，且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平
分线上，｜2z－m｜=52 (m∈R)，求z和m的值.
解：设出z的代数形式z=x+yi(x、y∈R).
∵｜z｜=5，∴x2+y2=25.
∵(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)
=(3x－4y)+(4x+3y)i，
又(3+4i)z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为
相反数，∴3x－4y+4x+3y=0.

化简得y=7x.将其代入x2+y2=25，得x=±22，y=±227.

∴z=±(22+227i).则当z=22+227i时，
｜2z－m｜=｜1+7i－m｜=52，
即(1－m)2+72=50.解得m=0或m=2.
当z=－(22+227i)时，同理可得m=0或m=－2.