生成树和连通分量的关系
DS_第七章图
1, 0,
如果 < i, j > E 或者 (i, j) E 否则
i，j表示存放在顶点表中第i个和第j个顶点。 无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵可能是不对称的。
13
在无向图的邻接矩阵中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。 在有向图的邻接矩阵中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度，统
计第 j 列 1 的个数可得顶点 j 的入度。
14
网的邻接矩阵
W (i, j),
A.Edge
[i][
j]
=
,
0,
如果 i ! j 且 < i, j E 或 (i, j) E 否则,但是 i != j 对角线 i == j
15
用邻接矩阵表示图时，除了存储用于表示顶点间相邻关
子图 设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若 V’ V 且 E’E, 则 称 图G’ 是图G 的子图。
5
路径 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从 顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应 是属于E的边。
5
6
19
7.2.2 邻接表 (Adjacency List)
无向图的邻接表：把同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中， 链表的每一个结点代表一条边，叫做边结点，边结点中保存有与该 边相关联的另一顶点的顶点下标 adjvex 和指向同一链表中下一个 边结点的指针 nextarc。
数据结构(Java版)图2(最小生成树)
最小生成树举例
A
50 60 52 65 50
C
45 42 30 50
A
C
45
B
40
D
G
B
40 50
D
42 30
G
E
70
F
E
F
(a) 无向带权连通图G
(b) 无向带权图G 的最小生成树T
从最小生成树的定义可知，构造n个顶点的无向带权连 通图的最小生成树，必须满足如下三个条件： ① 必须包含n个顶点。 ② 有且仅有n-1条边。 ③ 没有回路。
）
将ej边加入到tree中；
}
实践项目
设计一个程序实现Prim和Kruskal算法.
表5-1 lowcost[ ]数组数据变化情况 表5-2 closest[ ]数组数据变化情况
扫描次数
closest[0]
closest[1]
closest[2]
closest[3]
closest[4]
closest[5]
求最小生成树算法
普里姆算法（Prim） (从点着手)
适合于求边稠密的最小生成树 适合于求边稀疏的最小生成树
克鲁斯卡尔算法（Kruskal）（从边着手）
普里姆算法（Prim）思想
1.
2.
3.
4.
令集合U=｛u0｝（即从顶点u0开始构造最小生 成树），集合T=｛｝。 从所有顶点u∈U和顶点v∈V-U的边权中选择最 小权值的边(u,v)，将顶点v加入到集合U中，边 (u,v)加入到集合T中。 如此重复下去，直到U=V时则最小生成树构造完 毕。 此时集合U就是最小生成树的顶点集合，集合T 就是最小生成树的边集。
dfss案例
dfss案例DFS（深度优先搜索）是一种用于图遍历或搜索的算法，它以递归的方式遍历或搜索图中的节点。
在本文中，我们将以DFS案例为题，列举一些常见的应用场景和实例，来说明DFS算法的作用和用途。
1. 连通性检测：DFS可以用来检测图中的连通分量。
通过从一个起始节点开始，递归地访问所有相邻节点，可以判断图是否连通，以及得到图中的连通分量。
2. 深度优先生成树：DFS可以生成一棵深度优先生成树，该树用于表示图中的节点之间的关系。
通过递归地遍历图中的节点，可以建立起一棵树，其中每个节点的子节点都是其相邻节点。
3. 拓扑排序：DFS可以用于拓扑排序，即对有向无环图（DAG）中的节点进行排序。
通过从任意一个节点开始进行DFS遍历，并在递归返回时记录节点的顺序，可以得到一个拓扑排序序列。
4. 寻找图中的环：DFS可以用于寻找图中的环。
通过递归地遍历图中的节点，并记录访问过的节点，可以检测到是否存在环。
如果在遍历过程中遇到已经访问过的节点，则说明存在环。
5. 最短路径问题：DFS可以用于解决最短路径问题。
通过递归地遍历图中的节点，并记录路径长度，可以找到从起始节点到目标节点的最短路径。
6. 迷宫求解：DFS可以用于解决迷宫求解问题。
将迷宫表示为图的形式，通过递归地遍历图中的节点，可以找到从起点到终点的路径。
7. 数独求解：DFS可以用于解决数独问题。
通过递归地遍历数独中的格子，并尝试填入数字，可以找到数独的解。
8. 二叉树的遍历：DFS可以用于二叉树的遍历。
通过递归地遍历二叉树的左子树和右子树，可以得到前序遍历、中序遍历和后序遍历的结果。
9. 图的着色问题：DFS可以用于解决图的着色问题。
通过递归地遍历图中的节点，并给节点标记颜色，可以实现对图的着色。
10. 剪枝问题：DFS可以用于解决剪枝问题。
通过递归地遍历搜索树，并在搜索过程中进行剪枝操作，可以减少不必要的搜索。
以上是DFS算法的一些常见应用场景和实例。
第七章图状结构
图的应用非常广泛。
2
7.1 图的类型定义
7.2 图的存储表示
7.3 图的遍历
7.4 最小生成树 7.5 两点之间的最短路径问题 7.6 拓扑排序
7.7 关键路径
3
图的结构定义:
图是由一个顶点集 V 和一个弧集 R构 成的数据结构。 Graph = (V , R ) 其中，R＝{<v,w>| v,w∈V 且 P(v,w)} <v,w>表示从 v 到 w 的一条弧，并称 v 为弧尾，w 为弧头。
4
由于“弧”是有方向的，因此称由顶 点集和弧集构成的图为有向图。
例如: G1 = (V1, VR1)
A
B C D E
其中 V1={A, B, C, D, E} VR1={<A,B>, <A,E>,
<B,C>, <C,D>, <D,B>, <D,A>, <E,C> }
5
若<v, w>VR 且<w, v>VR, 则称 (v,w) 为顶点v 和顶点 w 之间存在一条边。 例如: G2=(V2,VR2) V2={A, B, C, D, E, F} VR2={(A,B), (A,E),
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
24
无向图邻接矩阵表示法特点：
1）无向图邻接矩阵是对称矩阵 2）顶点v的度 3）判断两顶点v、u是否为邻接点 4）顶点不变，在图中增加、删除边 5）适用于边稠密的图；
25
有向图的邻接矩阵 为非对称矩阵
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
数据结构复习与习题解析(2)
按路径长度递增次序产生最短路径
1、把 V 分成两组： (1) S：已求出最短路径的顶点的集合。 (2) V - S = T：尚未确定最短路径的顶点集合。
2、将 T 中顶点按最短路径递增的次序加入到 S 中，保证： (1) 从源点 v0 到 S 中各顶点的最短路径长度都不大于 从 v0 到 T 中任何顶点的最短路径长度。 (2) 每个顶点对应一个距离值： S中顶点：从 v0 到此顶点的最短路径长度。 T中顶点：从 v0 到此顶点的只包括 S 中顶点作中间顶点的 最短路径长度。
例题解析
例已知某网的邻接（出边）表，请画出该网络。
当邻接表的存储 结构形成后，图 便唯一确定！
图的遍历
❖广度优先搜索
从图的某一结点出发，首先依次访问该结点的所有邻接顶点 V1, V2, …, Vn 再按这些顶点被访问的先后次序依次访问与它们 相邻接的所有未被访问的顶点，重复此过程，直至所有顶点均 被访问为止。
7 10 3
a10 16 16 0 ✓
a11 14 14 0 ✓
v2
v7
v5
v9
v3
v8
v4 a6=2 v6
顶点 ve vl
v1
00
v2
66
v3
46
v4
58
v5
77
v6
7 10
v7 16 16
v8 14 14
v9 18 18
有向图的应用 应用
无向图的应用
Dijkstra算法 最短路径 Floyd算法
条件：边数不等于 n-1时 边 动作 连通分量 (0,2) 添加 {0,2},{1},{3},{4},{5} (3,5) 添加 {0,2},{3, 5},{1},{4} (1,4) 添加 {0,2},{3, 5},{1,4} (2,5) 添加 {0,2,3,5},{1,4} (0,3) 放弃 因构成回路 (2,3) 放弃 因构成回路 (1,2) 添加 {0,2,3,5,1,4}
图论导引参考答案
图论导引参考答案图论导引参考答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。
图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。
本文将介绍图论的基本概念和常见算法，并提供一些参考答案来帮助读者更好地理解和应用图论。
一、图的基本概念1.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系；而无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
1.2 路径和环路径是指图中一系列节点和边的连续序列，路径的长度为路径中边的数量。
如果路径的起点和终点相同，则称之为环。
1.3 连通图和连通分量在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为连通图。
连通图中的极大连通子图称为连通分量。
1.4 强连通图和强连通分量在有向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为强连通图。
强连通图中的极大强连通子图称为强连通分量。
二、图的存储方式2.1 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的存储方式，使用一个二维矩阵来表示图中节点之间的连接关系。
矩阵的行和列分别表示节点，矩阵中的元素表示节点之间是否存在边。
2.2 邻接表邻接表是另一种常见的图的存储方式，使用一个数组和链表的结构来表示图中节点之间的连接关系。
数组中的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。
三、常见图算法3.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历图的算法。
从图中的一个节点开始，沿着一条路径一直深入直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他路径。
DFS可以用于判断图的连通性、寻找路径等问题。
3.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历图的算法。
从图中的一个节点开始，先访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些节点的相邻节点，以此类推。
BFS可以用于计算最短路径、寻找连通分量等问题。
3.3 最小生成树算法最小生成树算法用于求解一个连通图的最小生成树，即包含图中所有节点且边的权重之和最小的子图。
北邮数据结构第六章答案详解 图(1)
1
5
1
54 3
42
5 66
图 6-8 图 G 答案：根据不同算法构造的最小生成树如图 6-9 所示的图(a)和(b)
2
④
⑤ 5
1
①
4 3
②
③
6
2
⑤
③ 5
1
①
4 3
④
②
6
(a) Prim 生成树
(b) Kruskal 生成树
图 6-9 最小生成树
5、算法设计
（1）以邻接表为存储结构，设计实现深度优先遍历的非递归算法。
int top = -1; cout<<v<<’\t’; bVisited[v] = true; stack[++top] = v;
//访问结点 v //设置访问标记 //结点 v 入栈
while (top!=-1)
{
v=stack[top];
ArcNode<T> *p = adjlist[v]. firstarc; ①
)
A.1
B. n/2
C.n-1
D.n
解析：若超过 n-1，则路径中必存在重复的顶点
答案：C
(5) 若一个图中包含有 k 个连通分量，若按照深度优先搜索的方法访问所有顶点，则必
须调用(
)次深度优先搜索遍历的算法。
A.k
B.1
C.k-1
D.k+1
解析：一次深度优先搜索可以访问一个连通分量中的所有结点，因此 k 个连通分量需要 调用 k 次深度优先遍历算法。
④
} if (p==NULL) top--;
⑤//若是找不到未访问的结点，出栈
考研数据结构图的必背算法及知识点
考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。
最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
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生成树和连通分量的关系
生成树和连通分量的关系
生成树和连通分量是图论中两个重要的概念。
生成树是一个无环连通
子图，包含了图中的所有顶点，并且只有足够的边以保持连通性。
而
连通分量指的是一个无向图中使得所有顶点弱连通的最大子图。
生成树和连通分量之间的关系是紧密相连的，它们都关注着图中顶点
之间的连通性。
下面将从不同的角度来探讨生成树和连通分量之间的
联系。
从定义来看，生成树是一个包含了所有顶点的连通子图，因此生成树
中的每个顶点都属于同一个连通分量。
也就是说，一个无向图的生成
树的边数等于该图的连通分量的数量减一。
这是因为生成树是无环的，而每个连通分量只需要一条边就能相互连接。
此外，生成树和连通分量之间的关系还可以从算法的角度来观察。
在
无向图中，常用的生成树算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
这两个算法都能够遍历图中的所有连通分量，并通过选择合适的边构造生成树。
深度优先搜索算法通过递归地进入图中的每个连通分量，并在遍历过
程中选择一条边加入生成树。
而广度优先搜索算法则是通过队列来实现，在每一步中选择与当前顶点相邻的未访问顶点，并加入生成树。
这两种算法都能够找到图中的连通分量，并将其作为生成树的一部分。
此外，生成树和连通分量之间的关系还可以从抽象模型的角度来考察。
无向图中的生成树可以看作是图的一种抽象模型，它保留了图的连接
关系和连通性，但去除了图中的环路。
而连通分量则是图的另一种抽
象模型，它将图中的顶点按照连通性划分为多个独立的部分。
从这个角度来看，生成树和连通分量都是为了更好地理解和描述图的
结构和性质而存在的。
生成树通过去除环路，突出了图的连通性。
而
连通分量则通过将图中的顶点划分为多个独立的部分，帮助我们理解
图的拓扑结构。
总结起来，生成树和连通分量之间的关系紧密相连。
生成树是一个无
环连通子图，其中的每个顶点都属于同一个连通分量。
通过生成树算法，我们可以找到图中的连通分量，并将其作为生成树的一部分。
同时，生成树和连通分量也是图论中的两个重要概念，通过抽象模型的
角度帮助我们理解图的结构和性质。
生成树和连通分量的关系将图论的核心思想和方法结合在一起，为我
们提供了一种全面理解图的工具。
通过深入研究生成树和连通分量的
关系，我们能够更进一步理解和应用图论的知识，从而更好地解决实
际问题。