2013年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=?P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为
(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i
2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{}
,=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
3、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21
(),=+
f x x x
则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为9
4
，
的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)
512π (B) 3π (C) 4π (D) 6
π 5、将函数sin(2)?=+y x 的图象沿x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为 (A)
34π (B) 4
π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，
--≥??
+-≥??+-≤?
x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM
的斜率的
最小值为
(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12
- 7、给定两个命题,.p q
若?p 是q 的必要不充分条件，则p 是?q 的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为
(A)
(B) (C) (D)
9、过点(3,1)作圆2
2
(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为
(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279
11、抛物线2
11:(0)2=
>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M
若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p
(A)
(B)
(C)
(D)
12、设正实数,,x y z 满足2
2
340.-+-=x xy y z 则当
xy
z
取得最大值时，212+-
的最大值为
(A) 0 (B) 1 (C) 9
4
(D) 3
第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13、执行右图所示的程序框图，若输入c 的值为0.25，
则输出的n 的值为 _______. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x ， 使得121++-≥x x 成立的概率为______. 15、已知向量AB 与AC 的夹角为0
120，
且3, 2.==AB AC 若λ=+AP AB AC ， 且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.
16、定义“正对数”：0,
01,ln ln ,
1.
+
<
≥?x x x x 现有四个命题：
①若0,0>>a b ，则ln ()ln +
+
=b
a b a ； ②若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +
+
+
=+ab a b ；
③若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++
≥-a a b b
；
④若0,0>>a b ，则ln ()ln ln ln 2+++
+≤++a b a b . 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17、（本小题满分12分）
设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且7
6,2,cos .9
+===a c b B . （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin()-A B 的值.
18、（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥-P ABQ 中，平面⊥PB ABQ ，
==BA BP BQ ，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP
的中点，2=AQ BD ，PD 与EQ 交于点G ，
PC 与FQ 交于点H ，连接GH .
（Ⅰ）求证：//AB GH ；
（Ⅱ）求二面角--D GH E 的余弦值。
19、（本小题满分12分）
甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是
1
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
2
3
。假设各局比赛结果相互独立。 （Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、
对方得1分。求乙队得分X 的分布列和数学期望。
20、（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,2 1.==+n n S S a a
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1
2λ++
=n n n
a T （λ为常数）
。令22,(*)=∈n n c b n N ，求数列{}n c 的前n 项和n R 。
21、（本小题满分13分） 设函数2()=
+x
x
f x c e （ 2.71828…=e 是自然对数的底数，∈c R ） （Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数。
22、（本小题满分13分）
椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b
的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴
的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF 。设12∠F PF 的角平分线PM 交C
的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。设直线12
,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0≠k ，试证明12
11+kk kk 为定值，并求出这个定值.
一、选择题
1．（5分）（2013?山东）复数z 满足（z ﹣3）（2﹣i ）=5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ． 2+i B ． 2﹣i C ． 5+i D ． 5﹣i
考点： 复数的基本概念． 专题： 计算题．
分析： 利用复数的运算法则求得z ，即可求得z 的共轭复数． 解答： 解：∵（z ﹣3）（2﹣i ）=5，
∴z﹣3==2+i
∴z=5+i，
∴=5﹣i ．
故选D ．
点评： 本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z 是关键，属于基础题． 2．（5分）（2013?山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ． 1 B ． 3 C ． 5 D ． 9
考点： 集合中元素个数的最值． 专题： 计算题．
分析： 依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案． 解答： 解：∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，
∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．
点评： 本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．
3．（5分）（2013?山东）已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，，则f （﹣1）=（ ） A ． ﹣2 B ． 0 C ． 1
D ． 2
考点： 函数的值．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
解答：
解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选A．
点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．
4．（5分）（2013?山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）
A．B．C．D．
考点：直线与平面所成的角．
专题：空间角．
分析：利用三棱柱ABC﹣A
B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为
1
∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．
解答：解：如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵==．
∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，
在Rt△AA1P中，，
∴．
故选B．
点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
5．（5分）（2013?山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的
一个可能的值为（）
A．B．C．0 D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），
∵f（x+）为偶函数，
∴+φ=kπ+，
∴φ=kπ+，k∈Z，
∴当k=0时，φ=．
故φ的一个可能的值为．
故选B．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
6．（5分）（2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM
斜率的最小值为（）
A．2 B．1 C．D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．
解答：
解：不等式组表示的区域如图，
当M取得点A（3，﹣1）时，
z直线OM斜率取得最小，最小值为
k==﹣．
故选C．
点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
7．（5分）（2013?山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：规律型．
分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
解答：解：∵?p是q的必要而不充分条件，
∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，
其逆否命题为p??q，但?q不能?p，
则p是?q的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是?p的充分不必要条件，是解答的关键．
8．（5分）（2013?山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可
求．
解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x=时，，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选D．
点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．
9．（5分）（2013?山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，
所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；
另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选A．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．
10．（5分）（2013?山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）
A．243 B．252 C．261 D．279
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：计算题．
分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个
位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．
故选B．
点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．
11．（5分）（2013?山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第
一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）
A．B．C．D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数
在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交
点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
解答：
解：由，得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（）．
由，得，．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知，得，代入M点得M（）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选D．
点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．（5分）（2013?山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3
考点：基本不等式．
专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：
依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．
解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，
∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），
∴=1，此时，x=2y．
∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，
∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．
∴的最大值为1．
故选B．
点评：
本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．
二、填空题
13．（4分）（2013?山东）执行右面的程序框图，若输入的?值为0.25，则输出的n值为 3 ．
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．解答：解：循环前，F
=1，F1=2，n=1，
第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，
第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，
此时，满足条件，退出循环，输出n=3，
故答案为：3．
点评：本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题
型，属于基础题．
14．（4分）（2013?山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．
考点：几何概型；绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用；概率与统计．
分析：本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．
解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得①，或②，
③．
解①可得x∈?，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P==．
故答案为：
点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
15．（4分）（2013?山东）已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=．
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
专题：计算题；压轴题；平面向量及应用．
分析：
利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
解答：
解：由题意可知：，
因为，
所以，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ=．
故答案为：．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．
16．（4分）（2013?山东）定义“正数对”：ln+x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2．
其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题；压轴题；新定义．
分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假
解答：解：对于①，由定义，当a≥1时，a b≥1，故ln+（a b）=ln（a b）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（a b）=bln+a；
当a＜1时，a b＜1，故ln+（a b）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（a b）=bln+a．由上判断知①正确；
对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b；由此知②错误；
对于③，当a≥b＞0时，≥1，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣
lnb=，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b＞0时，成立；当＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的
故答案为①③④
点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错
三、解答题
17．（12分）（2013?山东）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）利用余弦定理列出关于新，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c 的值联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵cosB=，B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵b=2，a=3，sinB=，
∴由正弦定理得：sinA===，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA==，
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）（2013?山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D ﹣GH﹣E的余弦值．
解答：（1）证明：如图，
∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．
则，
，．
设平面GCD的一个法向量为
由，得，取z1=1，得y1=2．
所以．
设平面EFG的一个法向量为
由，得，取z2=2，得y2=1．
所以．
所以=．
则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．
点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．
19．（12分）（2013?山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P1=（）3=；
②3：1，概率为P2=C（）2×（1﹣）×=；
③3：2，概率为P3=C（）2×（1﹣）2×=
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：．
（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P1+P2=；
P（X=1）=P3=；
P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；
P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；
则X的分布列为
X 3 2 1 0
P
E（X）=3×+2×+1×+0×=．
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．（12分）（2013?山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N※）求数列{c n}的前n项和R n．
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a
}
n 的通项公式；
（2）把{a n}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由c n=b2n得数列{c n}的通项公
式，最后利用错位相减法求其前n项和．
解答：解：（1）设等差数列{a
}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①
n
再由S4=4S2，得，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．
所以b1=T1=λ﹣1，
当n≥2时，=．
所以，．
R n=c1+c2+…+c n=③
④
③﹣④得：=
所以；
所以数列{c n}的前n项和．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．
21．（13分）（2013?山东）设函数．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．
考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
专题：压轴题；导数的综合应用．
分析：（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；
（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利
用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
解答：
解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．
故f（x）在x=取得最大值，且．
（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，
c==g（x），
则=．
令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c．
②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），
则=＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．
综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．
22．（13分）（2013?山东）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂
直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；
（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，
消去t得到，化为，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，
再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
解答：
解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．
又，联立得解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得，
又t+n=2a=4，消去t得到，化为，
∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．
∴m的取值范围；．
（3）证明：设P（x0，y0），
不妨设y0＞0，由椭圆方程，
取，则=，
∴k==．
∵，，
高考理科数学试题及答案2180
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2017年全国高考理科数学试卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
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2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷I) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2 －2x ＞0}，B ＝{x | x ，则( )． A ．A ∩ B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ?A D ．A ?B 2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )． A ．－4 B ．45- C ．4 D ．4 5 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出 的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ．500π3cm3 B ．866π 3cm3 C ．1372π3cm3 D ．2048π 3cm3 7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π
高考理科数学试卷及答案
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
2013年高考新课标理科数学试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z= 21i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为 （A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P4 4、设F1，F2是椭圆E: 2 2x a + 2 2 y b =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线3 2a x = 上 的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ） 12 （B ） 23 （C ） 34 （D ） 45 5、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=?a a ，则=+101a a （A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和 实数n a a a ?,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ?,,21和 （B ） 2 A B +为n a a a ?,,21的算式平均数
99全国高考理科数学试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()
(A)k 1
最新史上最难的全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
2013年高考数学全国卷1答案与解析
2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析 一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案：B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点 ：复数的运算 解析：由题知== = ，故z 的虚部为 . 答案：D 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 考点 ：抽样的方法 解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案：C 4.已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点 ：双曲线的性质
解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为. 答案：C 5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时， ，当 时， ， ∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点 ：球的体积的求法 解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = . 答案：A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点 ：等差数列
全国高考理科数学试题及答案全国
全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2
2018高考数学全国2卷理科试卷
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ）
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其
2019年高考理科数学试卷及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，BC u u u v =1，则AB BC ?u u u v u u u v = A . -3 B. -2 C. 2 D. 3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A. B. C. D. 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1
2013年高考真题理科数学试卷(新课标I卷)及答案(word版)
2013年高考理科数学试题（课标Ⅰ） 第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的一项 1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<< ，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A.4- B.45- C.4 D.45 3. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为 A.14y x =± B.13y x =± C.12 y x =± D.y x =± 5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A.35003cm π B. 38663cm π C. 313723cm π D. 320483 cm π 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 9.设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++ 展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10.已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )
2018年全国高考理科数学试题及答案-全国1
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
2013年高考数学全国卷(理科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分． 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式： 样本数据n x x x ,,21的标准差 n x x x x x x s n 2 2221)()()(-++-+-= 其中x 为样本平均数 球的面积公式 2 4R S π= 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数 i i ++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．2 1 C ．3 D ．1 2.已知R 是实数集，{} 11,12+-==? ?? ???<=x y y N x x M ，则=M C N R A ．)2,1( B ．[]2,0 C.? D ．[]2,1 3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则 =2 4 S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)6 2sin()(π -=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a 的值是 A ． 6π B ．3π C ．4π D ．2 π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥?=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β
2018年高考全国1卷理科数学试题详细解析
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ．1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C {|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -U ≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+
2016年全国高考理科数学试题及答案-全国1
2016年普通高等学校招生全统一考试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合{} 0342<+-=x x x A ，{} 032>-=x x B ，则=B A （A ）（3-，23- ） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（2 3 -，3） （2）设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 （4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的 时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ） 21 （C ）32 （D ）4 3 （5）已知方程132 2 2 2=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3） （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若 该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数x e x y -=2 2在[]22， -的图象大致为 （A ） （B ） （C ） （D ）
（8）若1>>b a ，10<