(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 第一单元 集合与常用逻辑用语学案 文
第一单元集合与常用逻辑用语
第1
课集__合
[过双基]
1．集合的含义及表示
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为?.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合
B的元素
x∈A?x∈B A?B或B?A 真子集
集合A是集合B的子集，
且集合B中至少有一个
元素不属于A
A?B，且?x0∈B，
x0?A
A B或
B A
相等
集合A，B的元素完全相
同
A?B，
B?A
A＝B
空集
不含任何元素的集
合．空集是任何集合A
的子集
?x，x??，
??A
?
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言符号语言图形语言记法
交集 属于集合A 且属于集合B 的
元素组成的集合 {x |x ∈A ，且x ∈B }
A ∩B
并集 属于集合A 或属于集合B 的
元素组成的集合 {x |x ∈A ，或x ∈B }
A ∪B
补集 全集U 中不属于集合A 的元
素组成的集合
{x |x ∈U ，且x ?A }
?U A
(1)集合A 是其本身的子集，即A ?A ； (2)子集关系的传递性，即A ?B ，B ?C ?A ?C ；
(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪?＝A ，A ∩?＝?，?U U ＝?，?U ?＝U . [小题速通]
1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,8}，B ＝{k |k ∈R ，k 2
－2∈A ，k －2?
A }，则集合
B 中所有的元素之和为( )
A ．2
B ．－2
C ．0
D. 2
解析：选B 若k 2
－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2
－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2
－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2
－2＝8，则k ＝±10，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.
2．(2018·河北武邑中学期中)集合A ＝{x |x 2
－7x <0，x ∈N *
}，则B ＝??????
??
?
?y ??
?
6
y
∈N *
，y ∈A 中元素的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选 D A ＝{x |x 2
－7x <0，x ∈N *
}＝{x |0 }＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝ ? ????? ??? ?y ??? 6y ∈N * ，y ∈A ＝{1,2,3,6}，则B 中元素的个数为4个． 3．(2017·黄冈三模)设集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N|x 2 －5x ＋4<0}，则?U A 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,4} D ．{1,3,4} 解析：选B 因为集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N|x 2 －5x ＋4<0}＝{x ∈N|1 ?U A＝{1,4}． 4．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝( ) A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5} 解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．5．(2017·衡水押题卷)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}，则A∩B为( ) A．(0,1) B．[0,1] C．(1,2) D．[1,2] 解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}． [清易错] 1．在写集合的子集时，易忽视空集． 2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． 3．在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，易忽略A＝?的情况． 1．(2018·西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x?M}的子集的个数为( ) A．8 B．4 C．3 D．2 解析：选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B. 2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，?U A＝{a＋3}，则实数a的值为________． 解析：∵?U A＝{a＋3}， ∴a＋3≠2且a＋3≠|a＋1|且a＋3∈U， 由题意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3， 解得a＝0或a＝2或a＝－3， 又∵|a＋1|≠2且A U，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2. 答案：2 3．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________． 解析：由题意知A ＝{2,3}，又A ∩B ＝B ，所以B ?A . 当m ＝0时，B ＝?，显然成立； 当m ≠0时，B ＝??????1m ?{2,3}，所以1m ＝2或1m ＝3，即m ＝12或1 3. 故m 组成的集合是?????? 0，12，13. 答案：? ????? 0，12，13 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 集合的基本概念 5年2考 集合的表示、集合元素的性质 集合间的基本关系 未考查 集合的基本运算 5年11考 交、并、补运算，多与不等式相结合 集合的基本概念 [典例] (1)∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2)(2018·厦门模拟)已知P ＝{x |2 [解析] (1)∵a ∈A ，b ∈B ，∴x ＝a ＋b 为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素． (2)因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． [即时演练] 1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2 ＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ?A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选C A ＝{x ∈N|(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N|－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22 ＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C. 2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2 ＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2 ＋m ＝3， 故m ＝－3 2 . 答案：－3 2 集合间的基本关系 [典例] (1)则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，0]∪[3，＋∞) C ．[0,2] D ．[0,3] (2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a [解析] (1)∵C ?A ，∴??? ?? a ≥0， a ＋1≤3， 解得0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]． (2)因为B ?(A ∩B )，所以B ?A . ①当B ＝?时，满足B ?A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－3 2 ； ②当B ≠?时，要使B ?A ，则???? ? －a a ＋3<5， 解得－3 2 由①②可知，实数a的取值范围为(－∞，－1]． [答案] (1)C (2)(－∞，－1] [方法技巧] 已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析． [即时演练] 1．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若B?A，则m＝________. 解析：由已知得A＝{x|x＝－2或x＝－1}， B＝{x|x＝－1或x＝－m}． 因为B?A， 当－m＝－1，即m＝1时，满足题意； 当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2. 答案：1或2 2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________. 解析： 由log2x≤2，得0 即A＝{x|0 而B＝(－∞，a)， 由于A?B，如图所示，则a>4，即c＝4. 答案：4 集合的基本运算 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力. 常见的命题角度有： 1求交集或并集； 2交、并、补的混合运算； 3集合运算中的参数范围； 4集合的新定义问题. 角度一：求交集或并集 1．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) 解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1 C．(－1,0) D．(1,2) 解析：选A 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)． 角度二：交、并、补的混合运算 3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(?U B)＝( ) A．(0,2] B．(－1,2] C．[－1,2] D．[2，＋∞) 解析：选D 因为A＝{x|x>0}，B＝{x|－1 所以?U B＝{x|x≤－1或x≥2}， 所以A∩(?U B)＝{x|x≥2}． 4．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∪(?U B)＝________. 解析：A＝{x|0 答案：{x|x<2} 角度三：集合运算中的参数范围 5．(2017·上海高考)设集合A＝{x||x－2|≤3}，B＝{x|x 解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x 答案：(－∞，－1] 角度四：集合的新定义问题 6．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x?P}，则 M －(M －P )＝( ) A ．P B ．M ∩P C ．M ∪P D ．M 解析：选B 设全集U ，由题意可得M －P ＝M ∩(?U P )，所以M －(M －P )＝M ∩P . 7．对于集合M ，定义函数f M (x )＝??? ?? －1，x ∈M ， 1，x ?M ， 对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合 A Δ B 的结果为________． 解析：由题意知当x ∈A 且x ?B 或x ∈B 且x ?A 时，有f A (x )·f B (x )＝－1成立，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}． 答案：{1,6,10,12} [方法技巧] 解集合运算问题4个注意点 (1)看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)应用数形 常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． (4)创新性问题 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决． 1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1} D ．A ∩B ＝? 解析：选A ∵集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}，故选A. 2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 解析：选 C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1 3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1 C．(0,2) D．(2,3) 解析： 选A 将集合A与集合B在数轴上画出(如图)． 由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A. 4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( ) A．?B．{2} C．{0} D．{－2} 解析：选B 因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B. 5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( ) A．A∩B＝?B．A∪B＝R C．B?A D.A?B 解析：选B 因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B. 一、选择题 1．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2 C．{x|－1 解析：选A 由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2 2．设集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|2x∈N}，则A∩B中元素的个数为( ) A．3 B．4 C ．5 D ．6 解析：选D 因为A ＝{x |－3 所以由2x ∈N 可得A ∩B ＝? ????? 0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选B 因为A 表示圆x 2 ＋y 2 ＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2 ＋y 2 ＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 4．设集合A ＝{x |x 2 －2x －3<0}，B ＝{x |x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，3) C ．(0,3) D ．(－1,3) 解析：选A 因为集合A ＝{x |x 2 －2x －3<0}＝{x |－1 5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2 －4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5} 解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2 －4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2 －4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}． 6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( ) A ．7 B ．10 C ．25 D ．52 解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示： x y －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A *B 中的元素共有10个． 7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．[0,1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1] 解析：选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(如图所示)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B. 8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ?Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( ) A ．{x |0 B ．{x |0 C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2≤x <3} 解析：选B 由log 2x <1，得0 由题意，得P －Q ＝{x |0 9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2 ＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________． 解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0， 即a ＝1时，A ＝???? ?? 23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需 Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18 . 答案：1或－1 8 10．已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x －1≥1}．若A ∩B 是集合{x |x ≥a }的子集，则实数 a 的取值范围为________． 解析：∵由x －1≥1，得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}． ∵A ＝{x |1≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}． 若集合A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}是集合{x |x ≥a }的子集， 则a ≤2. 答案：(－∞，2] 11．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3?A ，则a 2?A ；③若a 3∈A ，则 a 4?A .则集合A ＝________.(用列举法表示) 解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3?A ，则a 2?A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4 ∈A ，则a 3?A ，a 2?A ，a 1?A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}． 答案：{a 2，a 3} 12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种． 解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知： ①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－ y (种)． 由于???? ? 16－y ≥0，y ≥0， 14－y ≥0， 所以0≤y ≤14. 所以(43－y )min ＝43－14＝29. 答案：①16 ②29 三、解答题 13．已知A ＝{x |－1 (2)若B ??R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， 所以A ∪B ＝{x |－1 当B ＝?时，则m ≥1＋3m ，得m ≤－1 2 ，满足B ??R A ， 当B ≠?时，要使B ??R A ，须满足??? ? ? m <1＋3m ，1＋3m ≤－1 或??? ?? m <1＋3m ，m >3， 解得m >3. 综上所述，m 的取值范围是? ????－∞，－12∪(3，＋∞)． 14．记函数f (x )＝ 2－ x ＋3 x ＋1 的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B . (1)求A ； (2)若B ?A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－ x ＋3x ＋1≥0，得x －1 x ＋1 ≥0， 解得x <－1或x ≥1， 即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0， ∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)， ∵B ?A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥1 2或a ≤－2， ∵a <1，∴1 2 ≤a <1或a ≤－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪???? ??12，1. 1．已知定义域均为{x |0≤x ≤2}的函数f (x )＝x e x －1与g (x )＝ax ＋3－3a (a >0)，设函数 f (x ) 与g (x )的值域分别为A 与B ，若A ?B ，则a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1,2] C ．[0,2] D ．[1，＋∞) 解析：选B 因为f ′(x )＝1－x e x －1，所以f (x )＝x e x －1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数， 又因为f (1)＝1，f (0)＝0，f (2)＝2 e ，所以A ＝{x |0≤x ≤1}； 由题意易得B ＝[3－3a,3－a ]， 因为[0,1]?[3－3a,3－a ]， 所以3－3a ≤0且3－a ≥1，解得1≤a ≤2. 2．已知集合A ＝{x |x 2 －2 018x ＋2 017<0}，B ＝{x |log 2x 解析：由x 2 －2 018x ＋2 017<0，解得1 由log 2x ，故B ＝{x |0 }．由A ?B ，可得2m ≥2 017，因为210 ＝1 024,211 ＝2 048，所以整数m 的最小值为11. 答案：11 第2课命题及其关系__充分条件与必要条件 [过双基] 1．命题 概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题 2(1)四种命题间的相互关系： (2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4. 3．充要条件 若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p p 成立的对象的集合为A ，q 成 立的对象的集合为 的必要条件 B p 是q 的充分不必要条件 p ?q 且q ?/p A 是B 的真子集 集合与 充要条件 p 是q 的必要不充分条件 p ?/q 且q ?p B 是A 的真子集 p 是q 的充要条件 p ?q A ＝ B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ?/q 且q ?/ p A ， B 互不包含 [1．命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题是( ) A ．若a >b ，则ac ≤bc B ．若ac ≤bc ，则a ≤b C ．若ac >bc ，则a >b D ．若a ≤b ，则ac ≤bc 解析：选B 由逆否命题的定义可知，答案为B. 2．已知命题p ：对于x ∈R ，恒有2x ＋2－x ≥2成立；命题q ：奇函数f (x )的图象必过原点，则下列结论正确的是( ) A ．p ∧q 为真 B ．(綈p )∨q 为真 C ．p ∧(綈q )为真 D ．(綈p )∧q 为真 解析：选C 由指数函数与基本不等式可知，命题p 是真命题；当函数f (x )＝1 x 时，是奇 函数但不过原点，则可知命题q 是假命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故选C. 3．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3) 解析：选A 法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1. 法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B 、C ；同理，取a ＝－4，排除D ，选A. 4．已知命题p ：x ≠π6＋2k π，k ∈Z ；命题q ：sin x ≠1 2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 高考数学简易逻辑与推理1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为() A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 D[该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，故选项D正确．为真命题，故选D.] 2．(2019·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 A[由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．] 3．已知命题p：?x0∈R，tan x0＝1，命题q：?x∈R，x2＞0，下面结论正确的是() A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧(q)”是假命题 C．命题“(p)∨q”是真命题 D．命题“(p)∧(q)”是假命题 D[取x0＝π 4，有tan π 4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x 2＝0，故命 题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．] 4．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥1 B．a>1 C．a≥4 D．a>4 D[命题可化为x∈[1,2)，a≥x2恒成立． ∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a≥4，∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.] 5．若命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围 是( ) A ．[－1,3] B ．(－1,3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D [因为命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.] 6．已知命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β； 命题q ：若a ∥α， a ∥β， α∩β＝b, 则a ∥b, 下列是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(q ) C ．p ∧(q ) D ．(p )∧q D [若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ?β，故p 假，p 真；若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b ，正确， 故q 为真，q 为假，∴(p )∧q 为真，故选D.] 7．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：?x ∈? ?? ??0，π2， f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题， p ：?x ∈? ????0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，p ：?x ∈? ?? ??0，π2，f (x )>0 C [因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈? ?? ??0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对?x ∈? ?? ??0，π2，f (x ) 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便) 集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +< 一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。 2020-2021学年高一数学晚练（一） 命题人：范修团 时间：45分钟 满分：80分 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中，能组成集合的是（ ） A ．高一（3）班的好学生 B ．嘉兴市所有的老人 C ．不等于0的实数 D ．我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}< 1 高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ） A ．对任意x R ∈,使得20x < B ．不存在x R ∈,使得20x < C ．存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D ．存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则 （ ） A ．:,2p x A x B ??∈∈ B ．:,2p x A x B ???∈ C ．:,2p x A x B ??∈? D ．:,2p x A x B ???? 【答案】C 3 ．（2013年高考湖南（文））“1 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． 第1练集合与常用逻辑用语 [考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题． 考点一集合的概念与运算 要点重组 1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2. 2．A∩B＝A?A?B?A∪B＝B. 3．若已知A∩B＝?，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?或B＝?； 若已知A?B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?. 1．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则?U(A∪B)等于() A．{－2,3} B．{－2,2,3} C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3} 答案 A 解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2}． 又U＝{－2，－1,0,1,2,3}， ∴?U(A∪B)＝{－2,3}． 2．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． 3．(2020·聊城模拟)已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－x －6≥0}，则A ∩(?R B )等于( ) A ．{x |2≤x <3} B ．{x |2 集合与常用逻辑用语 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知集合A={x|x=2n —l ，n∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B=（ ） A ．}1{ B ．}41{< 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 集合及其表示方法 一、复习巩固 1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素． 答案：B 2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1， 3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－ 3|构成的集合 B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合 C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合 D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ， Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A. 答案：A 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a ，b .若集合A 与集 合B 相等，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝ 2. 答案：C 4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C 5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ?B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：∵a ∈A ，a ?B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D 6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________． 解析：由题意，得1－a 1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1± 2. 答案：－1± 2 7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1?A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1?A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 8．用符号“∈”和“?”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4 3 ________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填?，?，∈，?，∈. 答案：? ? ∈ ? ∈ 9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R . 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 一、集合与常用逻辑用语 一、选择题 1．（重庆理2）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】A 2．（天津理2）设则“且”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 3．（浙江理7）若为实数，则“”是的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．（四川理5）函数，在点处有定义是在点 处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B 【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。 5．（陕西理1）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是 A ．若，则∣∣∣∣ B ．若，则∣∣∣∣ C ．若∣∣∣∣，则 D ．若∣∣=∣∣，则= - 【答案】D 6．（陕西理7）设集合M={y|y=x —x|,x ∈R},N={x||x — ,i 为虚数单位，x ∈R}, 则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1] C ．[0,1） D ．[0,1] 【答案】C 7．（山东理1）设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3] 【答案】A 8．（山东理5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】B 9．（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 x <-1x 2 -1>0,,x y R ∈2x ≥2y ≥2 2 4x y +≥,a b 01m ab ＜＜ 11a b b a ＜或＞ ()f x 0x x =()f x 0x x =,a b a b =-a b a b ≠-a ≠b a b =-a ≠b a ≠b a b ≠-a b a b 2cos 2 sin 1 i 2 60x x +-<(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x θ12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈22:||1(,]3p a b π θπ+>?∈13:||1[0,)3p a b πθ->?∈4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 第1课 集合与常用逻辑用语 本节主要考察以下几个方面： 1、考察求几个集合的交、并、补集； 2、通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力； 3、“命题及其关系” 主要考查四种命题的意义及相互关系；4、“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容；5、“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定；6、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解。7、会用集合语言、分类讨论、数形结合（数轴、韦恩图解），探究集合问题，把握充要条件，实现命题的等价转换。 〖基点问题1〗（集合的运算） 例1、 已知集合{}1 349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ? ? =∈++-≤=∈=+ -∈+∞???? ，则 集合A B = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 〖基点问题2〗（充分必要条件） 例2、设0＜x ＜ 2 π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 〖基点问题3〗（复合命题真假的判定） 例3、已知命题p 1：函数y=2x -2-x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2-x 在R 上为减函数，则 在命题112212312q :p p ,q :p p ,q (p )p ∨∧?∨： 和412:p (p )q ∧?中，真命题是（ ） A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4 〖基点问题4〗（命题的否定与否命题） 例4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 〖热点考向1〗 例5、已知函数12cos 32 )4 ( sin 4)(2 --+=x x x f π ，且给定条件p :“ 2 4 π π ≤ ≤x ”,（1）求)(x f 的最大值及最小值 （2）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。 《常用逻辑用语》 一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（ ） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（ ） （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④ 5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．． 是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是 （ ） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。 其中真命题的序号 二、判断充分、必要条件 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C.高考数学 简易逻辑与推理
集合与常用逻辑用语重要知识点
集合与简易逻辑知识点整理
第1章 集合与常用逻辑用语(一)
高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语
第1练 集合与常用逻辑用语
高考数学易错题集锦 集合与常用逻辑用语
2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑
知识点集合与常用逻辑用语
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
2012年高考真题汇编理科数学解析版集合与简易逻辑
第1课 集合与常用逻辑用语
高中数学常用逻辑用语题型归纳
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc