4. 留数定理

开为洛朗级数，取负一次幂即可。
– –
(2) 求极限 lim[(z
(3)对于m
z→z0
级极点
−
z0 )
f
(z)] =
Re sf
( z0 )
[ ] Res
z = z0
f (z) =
1
⎧ d m−1
( ) m
−
1
!
lim
z→z0
⎨ ⎩
dz
m
−1
(z − z0 )m
f
(z
)
⎫ ⎬
⎭
–
例1.
求函数
f
(z)
=
1 zn −1
n=−∞
• 由积分公式：p34
⎧(n ≠ −1) 0,
∫ I
=
1
2πi
(z
l
−
z0
)n
dz
=
⎪ ⎨⎪(n
=
−1）
⎩
⎧0，→ l不包围 ⎩⎨1，→ l包围 z0
z0
+∞
∫ ∫ ∑ f (z)dz = l
( ) a ln=−∞ n z − z0 ndz = 2πia -1
• 称留数f (（z)的也洛称朗残级数数）中，(记z -为z0 )R-1e的s f系(z0数) 或a-1为Rz=ez0sf f((zz))在 z0 点的
f (z) = 1 (1+ z2 )2
∫ +∞ −∞
1 (1+ x2 )2
dx
=
2π i
Res z=i
f
(z)
y z=i
O z=-i x
当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理？
∫ 例2. +∞ 1 dx
−∞ cosh x
∫C
1 cosh
z
dz
∫ ∫ +R
=
1
−R
dx +
1
dx
−R cosh x
第四章 留数定理
§4.1 留数定理 §4.2 应用留数定理计算实函数的积分
§4.1 留数定理
• （一）留数的概念：
为什么a-1特殊？
• 设 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点，则由洛朗定理知：在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成洛朗级数
+∞
f (z) = ∑ an (z − z0 )n.
在
z=1 处的留数。
– 例2. 试确定函数 f (z) = 1 的极点，并求f (z) 在这些
sin z
极点处的留数。
–
例3.
试确定函数
f
(z) =
z + 2i z5 + 4z3
的极点，并求
f (z) 在
这些极点出的留数。
• （四）留数定理的应用
例1. 例2. 例3. 例4.
∫ dz
计算积分 |z|=1 ε z 2 + 2z + ε
z + z−1 z − z−1 dz
R(
,
)
0
|z|=1
2
2i iz
∫ 例1： 2π 1 dθ 0 1 + ε cosθ
其中0<ε<1
∫ 例2： 2π
1
dθ
0 3 − 2 cosθ + sinθ
•
类型二：
+∞
∫−∞
f (x)dx
其中被积函数在实轴上无奇点； -R 积分区间为(-∞，∞）。
CR
z1z2 zk
-R O
y=π y=π/2 y=0 R
∫ • 类型三： +∞ f (x)eimxdx −∞
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； 积分区间为(-∞，∞）,m > 0
-R
CR
O
R
∫∞ f (x)eimxdx = 2π i ×{ f (z)eimz在上半平面内所有奇点处的留数和} −∞
成立的前提： (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
(0 < ε < 1)
∫ zez
计算积分
|z|=2
dz z2 −1
∫z
计算积分
|z|=2
dz z4 −1
∫ 计算积分
ez dz
|z|=2 z( z −1)2
§4.2 留数定理计算实函数的积分
• 利用留数定理计算实积分的办法是，将实变函数的定积 分与复变函数的回路积分联系起来。
b
∫ ∫ ∫ ∫ f (x)dx → f (z)dz + f (z)dz ↔ f (z)dz
+R cosh(x + iπ )
奇点 z=πi/2, 3πi/2, 周期 2πi
∫ ∫ π
+i
1
0
dy + i
1
dy
0 cosh(R + iy)
π cosh(−R + iy)
∫ ∫ +∞ 1 dx = 1
1 dz
−∞ cosh x 2 C cosh z
= π i Res f (z) z=wk.baidu.comπ / 2
∫ 例3. 计算积分
+∞ xα −1 dx 0 x +1
(0 < α < 1) -R
-1
C
L
∫ 例4. 计算菲涅尔积分 +∞ sin(x2 )dx 0 ∫+∞ cos(x2 )dx 0
C
R
R
R
∫ (2) lim f (z)eimzdz = 0 R→∞ CR
约旦引理：如果m为正数，CR是以原点为圆心而位于上 半平面的半圆周，当z在上半平面或实轴上趋于无穷时
∫ f(z)一致趋于0，则 lim f (z)eimzdz = 0 R→∞ CR
∫ 例1. 计算积分 +∞ x sin x dx 0 1+ x2 f (z) = z 1+ z2
O
R
增加路径积分CR（RÆ∞）以构成复变函数的回路积分。
∞
∫ ∫ f (x)dx = f (z)dz
−∞
l
= 2πi × ∑ Re sf (zk )
k
成立的前提： (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点
∫ (2) lim f (z)dz = 0 R→∞ CR
∫ 例1.
+∞ dx −∞ (1+ x2 )2
y z=i
O z=-i x
∫ ∫ { } +∞ xsin x dx = 1 +∞ xeix dx = 2π Res f (z)eiz
−∞ 1+ x2
i −∞ 1+ x2
z=i
• 实轴上有奇点的情况：
∫ 例1. 计算积分 +∞ sin x dx 0x
∫ 例2. 计算积分
+∞ sin x dx 0 x(x2 +1)
a
l1
l2
l1 +l 2
• 利用留数定理
• 计算留数
y ℓ2
a
ℓ1 b x
•
类型一：
2π
∫0
R(cosθ
,
sin
θ
)dθ
其中被积函数是三角函数的有理分式函数；积分区间为 [0,2π]。
做自变数代换z=eix，实变数x从0增至2π，则复变数z沿回 路|z|=1一周，原积分化为
∫ ∫ I = 2π R(cosθ ,sinθ )dθ =
• （二）留数定理：
• 设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区域B内除有限个
孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，
则有
N
∫ ∑ C
f (z)dz = 2π i Res f (z j )
j =1
C
z1
z2
B
zN
• （三）留数的计算方法
– (1) 一般方法：利用留数的定义来求留数，即将函数展