第五章-定积分及其应用
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第五章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念
设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入若干个分点
b x x x x a n n ==- 110把区间[]b a ,分成n 个小区间[]10,x x ，[]21,x x ，
，
[]n n x x ,1-，则各个小区间的长度依次为011x x x -=∆，122x x x -=∆， ，
1--=∆n n n x x x ，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ（i i i x x ≤≤-ξ1），做函数值)(i f ξ与小区间长i x ∆的乘积)(i f ξi x ∆（n i ,,2,1 =）并作出和∑=∆=n
i i i x f S 1)(ξ。记{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎
样划分，也不论i ξ怎样选取，只要当0→λ时，极限∑=→∆n
i i
i x f 1
)(lim ξλ存在，则函数)(x f 在[]b a ,上可积，记为∑⎰=→∆=n
i i
i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ。
其中[]b a ,称为积分区间，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。
（1）定积分的实质是和式极限，是一个确定的数值。它只与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关。
（2）区间的划分和点的选取是任意的，但是在实际过程中经常“均分，端点取”
（3）函数)(x f 可积的充分条件：
①若函数)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。 ②若函数)(x f 在[]b a ,上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在 []b a ,上可积。
（4）函数)(x f 可积的必要条件：
若函数)(x f 在[]b a ,上可积，则函数)(x f 在[]b a ,上有界。 （5）定积分的几何意义：dx x f b
a ⎰)(表示由曲线)(x f y =，直线
a x =，
b x =以及x 轴所围成的面积的代数和。
备注：定积分的结果可正可负可为零。
例1：求极限⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-+
+-+
-∞→222
22
41
2411
41
lim n n n n n 例2：求极限⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∞
→n n n n n n n sin 2sin 21sin 1lim
2 例3：求定积分dx x ⎰-1
21
例4：求定积分)())((a b dx x b a x b
a
⎰--
例5：设)(x f 连续且dx x f x x x f ⎰--=1
022)(13)(，求)(x f
5.2 定积分的性质 （1）dx x f dx x f a
b
b
a ⎰⎰-=)()(
（2）0)(=⎰dx x f a
a
（3）[]dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a b
a ⎰⎰⎰±=±)()()()(
（4）dx x f k dx x kf b
a b
a ⎰⎰=)()(
（5）dx x f dx x f dx x f b c
c a
b
a
⎰⎰⎰+=)()()(（c 也可以[]b a ,外）
备注：积分区间的可加性适用于被积函数中含有max ，min ，
，[]等符号以及被积函数为分段函数。
（6）a b dx b
a -=⎰（几何意义：由区间[]
b a ,的长为底，1)(≡x f 为 高矩形的面积）
（7）设b a ≤，)()(x g x f ≤（b a ≤），则dx x g dx x f b
a b
a
⎰⎰≤)()(。
推论：①设b a ≤，0)(≥x f （b a ≤），则0)(≥⎰dx x f b
a
。
②设b a ≤，dx x f dx x f b
a
b
a
⎰⎰≤)()(
（8）设b a ≤，M x f m ≤≤)(（b a ≤），则)()()(a b M dx x f a b m b
a -≤≤-⎰
（9）定积分中值定理：设函数
)(x f 在[]b a ,上连续，则存在
[]b a ,∈ε，使得)()()(εf a b dx x f b
a -=⎰。
备注：
dx x f a
b b
a ⎰-)(1称为函数)(x f 在[]
b a ,上的平均值。 例6：证明：01lim
1
02
=+⎰
∞→dx x
x n n
例7：估计下列定积分的值 （1）dx e x
x ⎰-0
22
（2）⎰+-1
3
2
4x
x dx
例
8：设dx x x x M ⎰-⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=4
/4/841tan ππ，()
d x x x x N ⎰-+++=4/4/28)1ln(sin ππ， ()
d x x
e x e x P x x ⎰
---+=4
/4
/8
cos cos tan
ππ，则有（）
（A ）M N P （B ）M P N （C ）P M N （D ）N M P 5.3 微积分基本公式 5.3.1 积分上限函数 设函数
)
(x f 在[]b a ,上连续，x 是[]b a ,上任意一点，则
dt t f x x a
⎰=)()(φ称为积分上限函数。
备注：dt t f x x
a
⎰=)()(φ的几何意义是由曲线)(x f y =，直线a x =，x
轴以及右侧直线可以移动的面积的代数和。 5.3.2 积分上限函数的性质
（1）若函数)(x f 在[]b a ,上可积，则dt t f x x
a ⎰=)()(φ在[]
b a ,上连续。 （2）若函数)(x f 在[]b a ,上连续，则dt t f x x
a ⎰=)()(φ在[]
b a ,上可导。
（3）微积分基本定理：