组合数学课件第二章母函数与递推关系习题解答

组合数学
2019/3/9
2. 题目 4 8 100 4 8 100 解： ( 1 x x) [ 1 ( x x)]
C ( x x) 1
k 0 4 8 k k 100 4 8k
100
100 k
分析(x x ) 的结构可知仅当 k 3 , 4 , 5 时有 x 20 项
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先讨论相邻的 F i ，明显若有 F i Fi 1 ，则 可用Fi 2代替。以此类推可解决相邻问 题。 再讨论相同 F i ，可把超过1个的 F i 分解为Fi 1 Fi 2再用结决相邻问题的方法 即可解决 命题得证
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12. 题目 解：
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22. 题目 解： 由矩阵的结构知
n
1 1 3 K 0 2 0 2n
n
只要求出K即可
K ( n ) 3 K ( n 1 ) 2 ,K ( 1 ) 1
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2 4
23 3
x 系数即为所求。
10
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4. 题目 解： A、B、C、D组成的全排列数为
x x 4 P (1 ) 1 ! 2 ! 4x e
2 3 ( x ) x 3 3 P ( 1 ) [ 1 x 4 ] 1 ! 4 2 !
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1n n a 4 2 2 1 ) n ( 4
但是对n位四进制数来说最高位不能为 0。
an an an1 1 n n n 1 n 1 [(4 2 2 1 ) (4 2 2 1 )] 4 1 n 1 n (3 4 2 ) 4
1 n 2 求导得 y 2 ( 1 x ) 6 x
2
令 y 0
1 n 2 0 即 2 ( 1 x ) 6 x
2
解得
6 n 6 n x ( 0 , 1 ), x 1 1 2 6 n 6 n
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将 x 1 代入 y 得
k 3 时， 系数 C C k 4 时， 系数 C C k 5 时， 系数 C C
3 2 100 3 4 3 100 4 5 0 100 5
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三个系数相加即为所求
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3. 题目 解： 用指数型母函数，可得母函数
G ( x ) ( 1 x x ) ( 1 x x x )
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13. 题目 解：
当n位二进制数最高位为1时
h h n n 1
最高位为0时，次高位必为1
h h n n 2
h h h n n 1 n 2
即 h n 是F数列
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11 52 h ( ) n 5 2
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14. 题目 解： 设n为偶数 1）先把n-1个盘通过C移到B 2）把第n个盘移到C 3）把n-3个盘通过C移到A 4）把第n-2个盘移到B 对n为奇数时上述四步仍然成立，但是B、 C对调。
可证
如果最小编号是m则得到 C (n ,n )。
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9. 题目 由推导过程知 解：
x 1 1 ln( G ( x )) (1 2 2 ) 1 x 2 3 2 1 1 1 2 2 2 3 6 2 x ln( G ( x )) 1 x 6
1. 题目 2n n n 解： (1 x ) (1 x ) (1 x )
2n 2n 2n 2 n x x 0 1 2n n n n n 2 [ x x ] 0 1 n n n n n , , 0 n 1 n -1 比较n次方系数即可证。
k ( n ) h ( n 1 ) 1 h ( n 3 ) 1 k ( n 3 ) 其中 k ( 1 ) 1 , k ( 2 ) 2 , k ( 0 ) 2 h(k ) 为Hanota数列。
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15. 题目 解：
这是一个错排问题 把某种排列状态看成暂时状态 则
特征方程为 x x 10
2
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1 5 1 5 x , x 1 2 2 2
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设 Ax Bx 代入得
n 1
n 2
53 5 A 10 5 3 5 B 10
5 3 5 1 5 3 5 1 5 n5 n a ( ) ( ) n 10 2 10 2
N ( D 1 ) m ( D 1 ) 1 n n
m
m 1
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16. 题目 解： 把AD看成1 则AB为
1 2
5
B1 B AB AB 1 AB AD \ 5 1 2 AD 1 1 5 AB 5 1 B1 B 2 AD 2
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20. 题目 解：
设所求为 a n 则
a ( n 1 ) a ( n 1 ) a n n 1 n 2
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21. 题目 解：
S S S ( 1 n ) 是n的4次方 n 1 n 1 n Sn1满足第推关系
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6. 题目 解：
参见第四题解答前半部分。
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7. 题目 解：题设中序列的母函数为：
G( x) C(n, n) C(n 1, n) x C(n k, n) x
k
C(n k, n) x
k 0

k
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B C CB ABCD 1 1
同理可得其他矩形相似
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17. 题目 解： 满足条件的n条直线把平面分成 a n 个域， 其中n-1条直线分割成的域数为a n 1，第n 条直线与这n条直线均相交。 被分成n-1+1=n段。 增加的域数为n。
a a n , a 1 , a 2 n n 1 0 1
n
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5. 题目 解： 对符合题设要求的排列如果0可以出现 在最高位，则可得母函数：
G ( x ) (1 x
x2 x2 x4 ) 2 (1 ) 2 2! 2! 4!
1 e 2 x [ ( e x e x )] 2 2 1 ( e 4 x 2 e 2 x 1) 4 1 n xn n ( 4 2 2 1) 4 n0 n!
2 3 2 3 4
( 1 x x x x x )
2 3 4 5
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其中 x 项系数为所求
8
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11. 题目 解： 用归纳法可证明： 1）当k=1时命题成立 2）设当k=N时命题成立 即N可唯一表示成不同且不相邻的F 数之和。 则当k=N+1时，明显可以分成N的序列 再加上1（ F 2 ），但这可能会不能满足 “不同且不相邻”的条件。 下面予以讨论
4
S 6 S 15 S 20 S 15 S n n 1 n 2 n 3 n 4 6 S S 0 n 5 n 6
设
n n n n n S A A A A A n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 y n 3
pn e
2 n 3
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10. 题目 解：
把单位看成元素，共12个元素 其中 第1单位有3个 第2单位有4个 第3单位有5个 则命题可看成从12个元素中取8个的 组合。母函数为：
G ( x ) ( 1 x x x ) ( 1 x x x x )
2 n 1
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n n A A n A A 设 a n 0 1 2 3 2 3
解得
源自文库

A0 1 A1 1 A2 1 A3 1
n n a 1 n n 2 3
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1 ln( G ( x )) ln p n n ln x 2 x 1 ln p n n ln 1 x 6 x 2 x n n 1 x 6 x 2 x 1 n ln 令 y 1 x 6 x
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n 1 a a n n n 1 3
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19. 题目 解： 设n-1位不出现11的个数为a n 1 n-2位不出现11的个数为an 2 n位不出现11的个数为 a n a a 则a n n 1 n 2
a a 0 ,a 1 , a 2 , a 3 即a n n 1 n 2 0 1 2
设n个满足条件的平面把空间分成 a n 个域 a n 1 个域 n-1个满足条件的平面把空间分成 则第n个平面与这n-1个平面有n-1条交线， 且这些两两相交，任三线不共点。 2 个 第n个平面被这n-1条线分成 1 Cn 域 2 增加了 1 Cn 个域。可得
a a 1 C ,a 2 , a 1 n n 1 0
2
出现A后，其后续字母必为A、B、C、D 中的一个，其概率相等。
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e e e
3 x
3 x 4
15 x 4
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AB至少出现一次的排列为
4x P PP e e 15 x 4
15 n ) 4 ( n 4 x n! n0
n
排列数为
15 n a ( ) n 4 4
(k n)(k n 1)(k 1) k x n! k 0 1 由$4性质3得，上式 n 1 (1 x)
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8. 题目 解： 等式的右端相当于从n+m+1个球中取 n+1个球的组合。 把这n+m+1个球编号，如果取出的n+1 个球中最小编号是一，则得到 C ( n m , n ) 如果最小编号是二则得到 C ( n m 1 , n )
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代入可解得
A1 1 A 15 2 A3 50 A 60 4 A5 24 n n n n n Sn 1 A15 50 60 24 1 2 3 4 5
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设 a n A 0 A1n A 2 A0 1 解得 A 1 1 A 1 2 n an 1 n 2
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n 2
18. 题目 解： n-1个点把圆分为 a n 部分，加上第n个点 则增加了n-1条弦 增加第1条弦，被其他弦分成0段 增加第2条弦，被其他弦分成1x(n-2-1)段 ………… 增加第n-2条弦，被其他弦分成(n-3)(n-2n+3)段 增加第n-1条弦，被其他弦分成0段