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高等数学下册试题库
一、填空题
1.
平面
x
y kz 1
0 与直线 x y z
2
1 平行的直线方程是 ___________
1
2.
过点
M (4, 1,0) 且与向量 a (1,2,1) 平行的直线方程是 ________________
3.
设
a i
j 4k , b 2i
k ，且 a b ，则
__________
4. 设
| a | 3,| b | 2, ( )a 1 ，则 (a, b)
____________
b
5.
设 平 面
Ax By z D 0
通 过 原 点 ， 且 与 平 面
6x 2z 5
0 平 行 ，
则
A _______, B
________, D
__________
6.
设
直 线
x 1 y 2
(z 1) 与
平 面
3x 6 y 3z 25 0
垂 直 ， 则
m 2
m
________,
__________ _
7.
直线
x 1 ，绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是 _______________
y 0
8.
过点
M (2,0, 1) 且平行于向量 a (2,1, 1) 及 b(3,0,4) 的平面方程是 __________
9.
曲面
z
2
x 2
y 2 与平面 z 5的交线在 xoy 面上的投影方程为 __________
10. 幂级数
n
x n
的收敛半径是 ____________
n 1 2 n
11.
x 1
y 2
z 3
x 1 y
1 z 3
过直线 2
2
且平行于直线
2
的平面方程是 _________________
3
12. 设
f (x, y) ln( x
y
), 则 f y ' (1,0)
__________
2x
13. 设
z arctan(xy), 则 z
__________, z
____________
x
y
14. 设
f ( xy, x y) x 2 y 2 ,则 f x ' ( x, y) ____________________
15. 设
z
x
, 则 dz
_____________
y
16. 设
f ( x, y) x 2 y 3
,则 dz |(1,
2)
______________
17. 曲 线
x cos t , y sin t, z
sin t cos t ， 在 对 应 的 t 0 处 的 切 线 与 平 面 x By
z 0 平 行 ， 则
B __________
18. 曲面
z x2 y2 在点 (1,1,2) 处的法线与平面 Ax By z 1 0 垂直，则 A ________, B ______________
19. 设
a {1,0, 2} ，
b { 3,1,1} ，则a b =________， a b =____________
20. 求通过点
M 0 (2, 1,4) 和 z 轴的平面方程为________________
21. 求过点
M 0 (0,1,0) 且垂直于平面 3x y 2 0 的直线方程为_______________
22. 向量
d 垂直于向量 a [2,3, 1] 和 b [1, 2,3] ，且与 c [2, 1,1] 的数量积为 6 ，则向量d=___________________
23. 向量
7a 5b 分别与 7a 2b 垂直于向量 a 3b 与 a 4b ，则向量 a 与b的夹角为_______________
24.
球面x2 y 2 z2 9 与平面x z 1 的交线在xOy面上投影的方程为______________
点 M 0 ( 2, 1,`1) x 2 y z 1 0
25. 到直线 l ：
2 y z
3 的距离 d 是_________________
x 0
26. 一直线 l 过点 M 0 (1,2,0) 且平行于平面： x 2y z 4 0 ，又与直线l ：
x 2 y 1 x 2
l 的方程是
1 2
相交，则直线
1
__________________
27. 设
a 5,
b 2, a b π, 则 2a 3b ____________
3
28. 设知量
a, b 满足a b 3, a b 1, 1,1 ，则 a, b ____________
已知两直线方程L1 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z
29. :
1 0
，
L 2:
1
，则过 L 1且平行 L 2 的平面方程是 __________________ 1 2 1
30. 若 a b 2 ，$ π b 2 ， a b ____________
(a,b) ，则 a
2
31. z x y ,则
z
______________.
z
=_________________ x y
32. 设
z y 1 1 x 2 sin x, y x 3 , 则 z x 2,1 ____________
33. 设
u x, y xlny ylnx 1 则du __________ ____________
34.
由方程xyz x 2 y 2 z2 2 确定 z z x, y 在点 1,0, 1 全微分dz ______ 35.
z y 2 f x 2 y 2 ，其中 f u 可微，则y z z __________ _
x y
36. 曲线z 2x2
y
2
,
在 xOy 平面上的投影曲线方程为_________________ z 1
37.过原点且垂直于平面 2 y z 20 的直线为__________________
38. 过点 ( 3,1, 2) 和 ( 3,0,5) 且平行于 x 轴的平面方程为 _________________
39. 与平面 x y 2z 6 0 垂直的单位向量为 ______________
40.
z x ( x 2 ) , (u) 可微，则 2 z y
z
__________ __
y x
y
41. 已知
z ln x 2 y 2 ，则在点 (2,1) 处的全微分 dz _________________
42. 曲面 z
e z 2xy
3 在点 (1,2,0)
处的切平面方程为
___________________
43. 设
z z x.y 由方程 e
xy
2 z e z 0 ，求
z
=________________
x
设
z
f 2x
y g x , xy ，其中 f t
二阶可导，
g u , v 2
z
44.
具有二阶连续偏导数
有
=___________________
x y
x ln
z 定义了
z
z x.y ，求 2
z
45. 已知方程
z
y
x 2 =_____________
46. 设
u
f x.y.z ， x 2
. y .
z 0 ， y sin x ， 其 中 f
，
都 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且
0 ， 求
e
z
dz
=______________________
dx
1
2 y 2
47. 交换积分次序 0dy
y
f ( x, y)dx
_______________________________
48. 交换积分次序 1
dy y f ( x, y)dx
2 dy 2 y
f ( x, y)dx =___________________
1 0
49.
I D xe xy dxdy _________
其中
D { ( x, y) 0
x 1,0 y
1}
I
50.
(3x 2 y )dxdy ________
x y 2
所围
，其中 D 是由两坐标轴及直线
D
51. I
1
dxdy
________ ，其中 D 是由 x
2
y
2
4 所确定的圆域
1
x 2 y
2
D
52. I
a
2
x
2
y 2
dxdy
___________ ，其中 D ： x
2
y
2
a
2
D
53.
I
( x 6y)dxdy ________，其中 D 是由 y x , y 5x , x 1所围成的区域
D
54.
2
dx 2 e y 2 dy ＝ _____________________
0 x
1
x
2
y 2 ) 1
dx
2 dy __________ _
55.
x 2 ( x
56. 设 L 为 x
2
y 2
9 ，则 F
(2xy 2 y) i ( x 2 4x) j 按 L 的逆时针方向运动一周所作的功为 ___________ .
57.
曲线
y 2x
在1,2,7 点处切线方程为______________________ z 3x 2 y 2
58. 曲面
z x 2 y 2 在（ 2，1，3）处的法线方程为 _____________________ 2
59.
1
，当 p 满足条件时收敛n 1 n p
1 n
60. 级数的敛散性是 __________
2
n 1
n n 2
61.
a n x n在x=-3时收敛，则a n x n在x 3 时
n 1 n 1
62. 若ln a n 收敛，则a
的取值范围是 _________
n 1
63. 级数
( 1 1 ) 的和为n 1 n(n 1) 2
n
1
64. 求出级数的和n 1 2n 1 2n 1
=___________
65. 级数
(ln 3) n
_____
2n
的和为
n 0
u n 的前 n 项和 s n
n
66. 已知级数，则该级数为 ____________
n 1 n 1
2 n
67. 幂级数x n的收敛区间为
n 1 n
68.
x 2n 1
的收敛区间为，和函数
s( x) 为n 1 2n 1
69. 幂级数
x n (0 p 1) 的收敛区间为n 0
n p
70. 级数
1
当 a 满足条件时收敛0 1 a
n
n
x 2 2 n
71. 级数的收敛域为______
n4n
n 1
72. 设幂级数
a n x n的收敛半径为3，则幂级数na n ( x 1)n 1的收敛区间为_____
n 0 n 1
73.
f ( x)
x2 1
展开成 x+4 的幂级数为，收敛域为3x 2
74. 设函数 f (x)
ln(1 x 2x 2 ) 关于 x 的幂级数展开式为
__________ ，该幂级数的收敛区间为 ________
75. 已知
x ln y y ln z z ln x 1 ，则
z x y ______
x
y z
76. 设
z
(1 x
2
y 2
)
xy
y
, 那么
z _____________，
z
_____________
x
y
77. 设
D 是由 xy 2 及 x y 3 所围成的闭区域，则
D
dxdy
_______________
78. 设 D 是由 | x y | 1 及 | x y | 1
所围成的闭区域，则
dxdy
_______________
D
79.
( x 2 y 2 )ds
________________, 其中 C 为圆周 x
a cos t , y a sin t (0 t 2 )
C
80.
( x 2 y 2 )dx
________________, 其中 L 是抛物线 y x 2 上从点 0,0 到点 2,4
的一段弧。
L
二、选择题
1.
已知 a 与 b 都是非零向量，且满足 a b a b ，则必有（ ）
(A)
a b
0 ； (B) a b 0 ； (C) a b 0
(D)
a b
2.
当 a 与
b 满足（
）时，有
a b
a
b ；
(A) a
b ； (B) a
b (
为常数 ) ；
(C) a ∥ b ；
(D) a b a b ．
3.
下列平面方程中，方程 ( ) 过 y
轴；
(A)
x y z 1 ； (B) x y
z 0 ； (C) x z 0 ； (D)
x z 1
．
4.
在空间直角坐标系中，方程
z 1 x 2 2 y 2 所表示的曲面是 ( )
；
(A) 椭球面；
(B) 椭圆抛物面；(C) 椭圆柱面；
(D)
单叶双曲面
5. 直线
x 1 y
z 1
y z 1的位置关系是 (
) ．
2
1
与平面 x
1
(A)
(B)
(C) π
π
垂直； 平行；
夹角为
； (D)
夹角为
．
4
4
6.
若直线 (2 a +5) x +( a -2)
y +4=0 与直线 (2- a ) x +( a +3) y -1=0 互相垂直，则（
）：
(A).
a =2
(B).
a =-2 (C).
a =2 或 a =-2
(D).
a =±2 或 a =0
7.
z x 2 y 2 2,
)
空间曲线
z 5
在 xOy 面上的投影方程为 (
(A)
x 2
y 2
7 ； (B) x 2 y 2
7
； (C) x 2
y 2 7
z x 2
y 2 2
；(D)
z 5 z 0 z 0
1 cos x , x 0
8. 设 f x
x2
，则关于 f x 在 0 点的 6 阶导数f 6 0 是（）
1 , x 0
2
(A) ．不存在(B) ．1
．
1
(D) ．
1
(C)
56 56 6!
9. 设
z z( x, y) 由方程 F (x az, y bz) 0 所确定，其中 F (u,v) 可微， a,b 为常数，则必有（）(A)
a z
b z 1 (B) b z a z 1
x y x y
(C) a z b z 1 (D) b z a z 1
x y x y
xy sin 1
x, y 0,0
10.
f x, y x 2 y2 f x, y 在0,0 处（
设函数，则函） (A) ．不连续 (B) ．连续但不可微
0 x, y 0,0
(C) ．可微(D) ．偏导数不存在
11. 设函数
f x, y 在点x0 , y0 处偏导数存在，则 f x, y 在点x0 , y0 处 ( ) (A). 有极限(B). 连续(C). 可微(D). 以上都不成立
x x 2 y 2
dt ，则
12. 设0 e t
x ( )
(A). e -x 4y 2
(B).
e -x 4y2
2xy (C).
e -x 4y2
(-2t) (D).
e -x 4y 2
(-2x
2
y)
13. 已知
f x, y 在 a, b 处偏导数存在，则lim f a h,b f a h,b
h 0 h
(A).0 (B).
f x 2a,b (C). f x a,b (D). 2 f x a, b
14.设 f ( x, y)
(A)连续但偏导也存在
(C)连续但偏导不存在
15.函数 f x, y x 2
xy , x2 y2 0
y 2
x 2 y 2
，则在 (0,0) 点关于 f ( x, y) 叙述正确的是（）0 , 0
(B)不连续但偏导存在
(D)不连续偏导也不存在
4x 2 y4
x 2 y 2 0
y 4 x 2 2 在 0,0 极限 ( )
x 2 y 2 0
(A).0(B).不存在(C).无法确定(D).以上都不成立
16. 设zarctan xy
z
，则
4 x
(A) xy
(B)
x 1
1 ( xy ) 1 (xy )2
4 4
xy sec2 ( xy )
y
(C)
4 (D)
1 ( xy )
2 1 ( xy ) 2
4 4 17. 关于
x 的方程x k 1 x 2 有两个相异实根的充要条件是 ( ) (A).- 2 k 2 (B). - 2 ≤k≤ 2 (C).1
k ≤ 2 (D). 1 ≤ k 2
xy sin 1
x, y 0,0
18. 函数
f x, y x 2 y2 ，则函 f x, y 在0,0 处（）
0 x, y 0,0
(A). 不连续(B) ．连续但不可微(C). 可微(D). 偏导数不存在
设 f y
x sin
xy f(x,y)
19. x, = 2
y 2 ，则x = ( )
x x
(A). sin
xy
+ x cos
xy y y 2 x 2
(B) ．
x sin y
x 2 y2 x 2 y 2 2
x 2 y 2 1 y 2
(C). sin
y
(D). xcos
y 1 y 2 y 2
1
20. 函数
z x2 y 2 在点 0,0 处 ( )
(A). 不连续(B) ．连续且偏导数存在(C). 取极小值(D). 无极值
21.
设z ln xy x , 则 2 z = ( )
y x y
(A).0 (B) ．1 (C). 1
(D).
y
x y2 1
22. 设x z yf x2 z2
则
z x z + y y z = ( )
(A).
x (B) ． y (C). z (D). yf x2 z2
23.若函数 f x, y 在点 x0 , y0处取极大值，则( )
(A).
f x x0 , y0 0 , f y x0 , y0 0
(B)．若 x
0 , y0 是 D 内唯一极值点，则必为最大值点
(C). f
xy x0 , y0
2 f
xx x0 , y0 f yy x0 , y0 0,且 f xx x0 , y0 0
D 、以上结论都不正确
24.
判断极限 lim x
x
y
x 0
y 0
(A).0
(B) ． 1 (C).
不存在 (D).
无法确定
25.
判断极限
lim
x 2 y
x 2
y 2
x 0
y 0
(A).0 (B) ． 1 (C).
不存在 (D).
无法确定
26. 设 f x, y 可微， f x,3x x 4 ，则 f x 1,3
(A).1
(B)
． -1
(C).2
(D).-2
27.
设
f x, y, z
yz 2e x ，其中 z g x, y
是由方程 x y
z xyz
0 确定的隐函数，则
f x 0,1, 1
(A).0
(B)
．-1 (C).1
(D).-2
28. 设 f x, y, z 是 k 次齐次函数，即 f tx, ty ,tz
t
k
f x, y, z ，其中 k 为某常数，则下列结论正确的是（
）
(A)
x f y f
z f
k t f x , y z
(B)
． x
f y f
f t k f x , y z
x y z ,
x y
z
,
z
x
f y
f
z f
kf
x, y, z
x
f f z
f f x, y, z
(C).
x y
z
(D).
x y
z
y
29. 已知
I
cos y 2 sin x 2 d
，其中 D 是正方形域： 0
x 1,0 y 1，则 ( )
D
(A).
1 I
2 B ． 1 I
2
(C).
0 I
2
(D).
I
2
30. 设
f x y
4 xy
2 yf u v dudv ，其中 D 是由 y x, x 0, 以及 y 1 围成在，则 f
x , y
xy
,
,
D
(A).
4x
(B)
． 4 y
(C).
8x
(D).
8y
31. 设
D
x, y | x
2
y
2
a 2
, y 0 ，
D 1
x, y | x 2 y 2 a 2 , y 0, x 0 ，则下列命题不对的是： （
）
(A).
x 2 yd 2 x 2 yd
(B) ．
x 2 yd
2 xy 2d
D
D 1
D
D 1
(C).
xy 2d
2 xy 2d
(D).
xy 2 d
D
D 1
D
32. 设 f
x, y 是连续函数，当 t
0 时，
f x, y dxdy
o t 2
，则 f 0,0
x 2 y 2 t 2 (A).2
(B)
． 1
(C).0 (D).
1
2
d cos r cos ,r sin
rdr
33. 累次积分 2 0 f
可写成（
）
1
y y 2
x, y dx
1 dy
1 y
2
x, y dx (A). dy
0 f (B) ． 0 f
1
1
f x, y dy
1 x x
2 x, y dy
(C). dx
(D). dx 0 f
34. 函数 f x, y
4 x y
x 2 y 2
的极值为（ ） (A). 极大值为 8 (B)
．极小值为 0 (C). 极小值为 8 (D). 极大值为 0
35. 函数
z xy 在附加条件 x y
1 下的极大值为（ ） (A).
1
(B)
．
1 (C).
1
D ．1
2
2
4
36. e x y d
，其中 D 由
x
y 1所确定的闭区域。
D
(A).
e e 1
(B)
． e
e 1
(C).
e e 2
(D).0
37.
I 1
( x
y) 3 dxdy 与I
2
(x
y) 2 dxdy ，其中 D ：(x 2) 2 ( y 1) 2
2 的大小关系为 : （
）。
D
D
(A).
I 1
I 2
(B).
I 1
I 2 (C). I 1 I 2
(D). 无法判断
38. 设 f ( x, y) 连续 , 且
f ( x, y) xy
f (u, v) dudv , 其中 D 由 y 0, y
x 2 , x 1所围成 , 则 f ( x, y) (
)
D
(A).
xy
(B).
2xy
(C). xy 1
(D). xy
1
8
39.
5
x 2
y 2 d
的值是 (
) x 2 y 2
1
(A)
5
(B) 5
(C)
10
(D)
10
3
6
7
11
40. 设
D 是 x
y 1所围成区域 , D 1
是由直线
x y 1和 x 轴 , y 轴所围成的区域，则
1 x y dxdy
D
(A)
4
1 x y dxdy
(B) 0
(C)
2
1 x y dxdy
(D) 2
D 1
D 1
41. 半径为 a 均匀球壳 ( 1) 对于球心的转动惯量为（
）
(A) 0 (B)
2 a 4
(C) 4 a 4
(D)
6 a 4
42.
设椭圆
L ：
x
2
y 2 1 的周长为 l ，则 ( 3x 2 y)2 ds
（
）
4
3 L
(A)
l
(B)
3l
(C) 4l
(D)
12l
43. 下列级数中收敛的是（ ）
（A ）
4n 8n （B ）
8n 4 n
（C ）
2n 4n (D)
2n 4n
n 1
8n
n 1
8n
n 1
8n n 1
8n
44. 下列级数中不收敛的是（
）
（A ）
1 （ B ）
1
（C ）
1
（D ）
3
n
( 1)
n
n 1 ln (1
n )
n 1
3n
n 1 n(n 2)
n 1
4n
45. 下列级数中收敛的是（ ）
（A ）
1
（B ）
n 1
（C ）
3n （D ）
4 n 1
n n n
n(n
2)
1
n 2n
1 ( n
1)( n
3)
n 1
n
n
46.
n 1 u n 为正项级数，下列命题中错误的是（
）
(A) 如果 lim
u
n
1
1，则
u n 收敛。
(B)
lim u n 1
1，则
u n 发散
n
u n
n 1
n
u n
n 1
(C)
如果 u n 1
1 ，则
u n
收敛。
(D)
如果
u
n 1
1 ，则 u n
发散
u n
u n
n 1
n 1
47. 下列级数中条件收敛的是（ ）
（A ）
( 1)
n 1
1
（B ）
( 1) n
1
(C ）
( 1) n
n （D ）
( 1) n 1 n 1
n
n 1
n 2
n 1
n 1 n 1
n(n 1) 48. 下列级数中绝对收敛的是（ ）
（A ）
( 1) n
1 （B ） ( 1) n 1
（C ）
( 1)n 1
（D ）
( 1) n 1
n
n 1
n 2 ln n
n 1
n n
n 2 n ln n
49. 当
(a n b n ) 收敛时，
a n 与
b n （
）
n 1
n 1
n 1
（A ）必同时收敛 （B ）必同时发散 （C ）可能不同时收敛 (D) 不可能同时收敛
50. 级数 a n 2 收敛是级数
a n 4
收敛的（ ）
n 1
n 1
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既非充分也非必要条件
51.
a n 为任意项级数，若 a n
a
n 1
且
lim a n
0 ，则该级数（
）
n 1
n
（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ）发散 （D ）敛散性不确定
52. 下列结论中，正确的为（
）
1
发散 (u n 0) ； （ B ）若
u n
收敛，则
1 0)
（A ）若
u n
发散，则
发散 (u n
n 1
n 1
u n
n 1
n 1
u n
（C ）若
u n
收敛，则
(u n
1
100 )
收敛；
n 1
n 1
10
（D ）若
u n 与 v n
发散，则
(u n v n ) 发散
n 1 n
1
n 1
53. 函数 f ( x)
1 的麦克劳林展开式前三项的和为（
）
1
x
（A ）1 x
3
x 2
； （B ） 1 x 3
x 2
； （ C ） 1 x 3
x 2 ； （ D ） 1 x 3 x 2
2 4
2 4 2 8 2 8
54.
设
p n a n
| a n |
，
q n
a n
| a n |
, n 1,2,3, ，则下列命题正确的是（
）．
2
2
（A ）若
a n 条件收敛，则 p n 与
q n
都收敛；
n 1 n 1 n 1
（B ）若 a n 绝对收敛，则 p n 与
q n
都收敛；
n 1 n 1 n 1
（C ）若 a n 条件收敛，则 p n 与
q n 的敛散性都不定；
n 1 n 1
n 1
（D ）若
a n 绝对收敛，则 p n 与
q n 的敛散性都不定 .
n 1
n 1
n 1
55. 设 , 则（）
(A) 与 都收敛 .
(B) 与 都发散 .
(C) 收敛 , 而 发散 .
(D)
发散 , 收敛
56. 75、 若 在 处收敛 , 则此级数在 处（
）
(A) 条件收敛 , (B) 绝对收敛 , (C) 发散 , (D) 收敛性不确定
57. 设幂级数 的收敛半径为 3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ）
(A) ( －2, 4) (B) [ －2, 4] (C) ( －3, 3) (D) ( －4, 2)
58.
a n x n
的收敛半径为 R ，则幂级数a n
x 2 n
）（ A ）R, R （B ） 1 R, 1 R
（C ）
若幂级数
的收敛开区间为（ n 1
n 1
,
（D ） 2R, 2 R
59. 级数
( x 5) n
的收敛区间（ ）
n
n 1
（A ）（ 4，6）
（B ） 4,6
（C ） 4,6
（ D ） [4 ，6]
60. 若级数
(2x a)n
的收敛域为
3,4 ，则常数 a =（
）
n 1 2n 1
（A ）3
（B ）4 （ C ） 5 （D ）以上都不对
61. 若幂级数
n 1 a n x
1 n 在 x 1处收敛，则该级数在 x
2 处（
）
（A ）条件收敛
（B ）绝对收敛 （ C ）发散 （ D ）敛散性不能确定
62. 函数
f ( x)
e x
2
展开成 x 的幂级数为（
）
2 n
( 1) n x 2n
x n
( 1)n x n
（A ）
x
（B ）
（C ）
（ D ）
n!
n!
n!
n!
n 0
n 0
n 0
n
63. 函数 f
x
x 4 展开成 x 的幂级数是（
）
1
x 2
（A ）
x
2 n （B ）
( 1) n x 2n
（C ）
x 2 n
（D ）
( 1) n x 2 n
n 1
n 1
n 2
n 2
64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ） （A ）
，
，
2
（ B ） ，
，
4 3
3
3
3 4
（C ）
， ，
（D ）
2
，
，
6
6
3
3
3
65．向量
a a x , a y , a z 与 x 轴垂直，则（
）
（A ）
a x 0
（B ）
a y
（C ）
a z
（D ） a y a x
66．设
a 1,1, 1 ,b
1, 1,1 ，则有（ ）
（A ）
a// b
（B ）
a
b
（ C ）
a,b
（D ）
a,b
2 3
3
x
2y 1
x
y 1
z 1
) ．
67．直线
z 与直线
关系是 (
2y 1
1
1
(A) 垂直； (B)
平行；
(C)
重合； (D) 既不平行也不垂直．
68．柱面 x
2
z 0的母线平行于（
） （A ） y
轴
（B ） x 轴
（C ） z 轴
（D ） zox 面
69．设 a b a c, a, b,c 均为非零向量，则（
）
（A ）
b c
（B ） a //( b
c)
（C ） a (b c)
（ D ）
bc
70．函数 z
ln xy
的定义域为（ ）
（A ） x 0, y 0
（B ）
x 0, y 0或 x 0, y 0
（C ） x0, y
（D ） x 0, y 0 或 x 0, y 0
71．
f
x, y xy ，则
f y
,1
2
2
x
y
x
（A ）
xy x 2
y 2
（ C ） x
（D ）
x 2
y 2
（B ）
1 x 4
x 2
xy
x 2
1
72．下列各点中，是二元函数
f x, y
x 3 y 3 3x 2 3y 9x 的极值点的是（ ）
（A ）
3, 1
（B ）
3,1
（C ）
1,1 ．
（D ）
1, 1
1
1 x
2
1 x
2
y 2
dy （
73．
dx
） 0
（A ）
3
（ B ）
2
（C ）
4
（D ）
2
3
3
6
74．设
D 是由 x
2 ， y 1 所围成的闭区域，则
xy 2dxdy
（
）
D
4 8 （A ）
（ B ）
3 3
75．设
D 是由 0
x 1,0 y
16 （C ）
（D ） 0
3
所确定的闭区域，则 y cos xy dxdy
（ ）
D
（A ） 2
（B ）
2
（C ）
1
（D ）0
三、计算题
1、下列函数的偏导数
（1） z x 5 6x 4 y 2 y 6 ；
（2） z x 2 ln( x 2 y 2 ) ；
（3） z
xy x ；
（4） z
sin( xy) cos 2 ( xy) ；
y
（5） z
e x (cos y x sin y) ；
（6）
z tan x 2
；
y
（7） z
sin
x
cos y
；
（8） z
(1 xy) y ；
y
x
（9） z
ln( x ln y) ；
（10） z
arctan
x
y ；
1 xy
e x ( x 2
y 2
z 2
) ；
y
1
（11） u
（12） u
x z
(13) u
；
x 2
y 2 z 2
（14） u
x
y z
；
n
n
（15） u
a i x i
（
a i 为常数）；
（16） u
a
ij
x i y j ,
a ij a ji
且为常数。
i
1
i , j
1
（17） z
e
x 2 y
,
x
sin t,
y
t z e
x 2 y , x sin t, y t ；求
d z
d t
2．设 f ( x, y) x y
x 2 y 2 ，求 f x (3,4) 及 f y (3,4) 。
x
z
z
3．设 z
e y 2 ，验证 2x y 0 。
x
y
4．求下列函数在指定点的全微分： （ 1）
（ 2）
f ( x, y) 3x 2
y
xy 2 ，在点 (1,2) ；
f ( , ) ln( 1 x 2 y 2
) ，在点 (2,4) ；
x y
（ 3） f ( x, y)
sin x ，在点 (0,1) 和 ,2 。
y 2
4
5．求下列函数的全微分：
（1） z y x ；
（2） z
xy e xy ； （3） z x y
（4） z
y
；
x 2 ；
x y
y 2
（5） u
x 2
y 2 z 2
；
（6） u
ln( x 2 y 2 z 2 ) 。
xy , x 2 y 2
0,
6．验证函数
f ( x, y)
x 2
y 2
x 2 y 2
在原点 (0,0) 连续且可偏导，但它在该点不可微。
0,
( x 2 y 2 ) sin
x
2
1 y 2
, x 2
y 2
0,
f x ( x, y), f y (x, y)
在原点（ 0，
0）不连续，
7．验证函数
f ( x, y)
0, x 2
y 2
0 的偏导函数
但它在该点可微。
8．计算下列函数的高阶导数：
（1）
z
arctan
y
，求
2
z , 2 z , 2 z ；
x 2
y 2
x
x y
（2） z
x sin( x
y)
y cos( x
y) ，求
2
z
2
z 2 z
；
x 2 , x y
, y
2
（3） z
x e xy ，求
3
z , 3 z ； x 2 y x y 2
4
u
4 ,
4 z
（4） u
ln( ax by cz) ，求
x 2
2 ；
x
y
（5） z( x a)
p
( y
b)q ，求
p q
z ；
x p y q
（6） z
tan(3t 2x
2 y 2 ),
x 1 ,
y
t
p q r
u
t
，求
y q 。
x p z r
（7） y
a sin x ，求 d 3 u ；
9.计算下列重积分 :
（1） , 其中是矩形闭区域 : ,
（2） , 其中是矩形闭区域 : ,
（3） , 其中是顶点分别为(0,0),和的三角形闭区域.
所围成的闭区域.
（4） , 其中是由两条抛物线 ,
（5）, 其中是由所确定的闭区域 .
（6）改换下列二次积分的积分次序
①
②
③
（7）
（8）
（9） , 其中是由圆周所围成的区域 .
（10）, 其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域 .（11）,其中是由直线,及曲线所围成的闭区域
（12）,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 .（13）,其中是由直线 , , , 所围成的闭区域 .
（14） , 其中是圆环形闭区域 :
（15）,其中是平行四边形闭区域 , 它的四个顶点是 , , 和 .
（16）, 其中是由两条双曲线和,直线和所围成的在第一象限内的闭区域. （17） , 其中是由轴 , 轴和直线所围成的闭区域
（18）,其中为椭圆形闭区域
（19）化三重积分为三次积分 , 其中积分区域分别是
(1)由曲面及平面所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。
(2)由曲面 (c>0), , 所围成的在第一卦限内的闭区域 .
（20）计算 , 其中为平面 , , ,所围成的四面体.
（21）计算 , 其中是由平面 , , ,以及抛物柱面所围成的闭区域.（22）计算 , 其中是由锥面与平面所围成的闭区域 .
（23）利用柱面坐标计算下列三重积分
(1), 其中是由曲面及
所围成的闭区域
(2), 其中是由曲面
及平面所围成的闭区域
（24）利用球面坐标计算下列三重积分
(1), 其中是由球面所围成的闭区域 .
(2) , 其中闭区域由不等式,所确定.
25.选用适当的坐标计算下列三重积分
(1), 其中为柱面及平面
,, 所围成的在第一卦限内的闭区域
(2), 其中是由球面
所围成的闭区域
(3), 其中是由曲面
及平面所围成的闭区域.
(4), 其中闭区域由不等式
,所确定 .
26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积
(1)及
( 含有轴的部分 ).
(2)及
二. 曲线积分
1．计算下列对弧长的曲线积分
(1), 其中为圆周 ,
(2), 其中为连接 (1,0) 及(0,1) 两点的直线段
(3), 其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界 .
(4) , 其中为圆周 , 直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
(5), 其中为曲线 ,, 上相应于从 0 变到 2 的这段弧 .
(6), 其中为折线 , 这里 , , , 依次为点 (0,0,0),(0,0,2),
(1,0,2),(1,3,2).
(7), 其中为摆线的一拱 ,
(8), 其中为曲线,
2．计算下列对坐标的曲线积分
(1), 其中是抛物线上从点 (0,0) 到点 (2,4) 的一段弧
(2) , 其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( 按逆时针方向绕行).
(3), 其中为圆周(按逆时针方向绕行).
(4), 其中为曲线 ,, 上对应从 0 到的一段弧 .
(5), 其中是从点 (1,1,1) 到点 (2,3,4) 的一段直线
(6),其中是抛物
线上从点到点 (1,1) 的一段弧 .
3. 计算 , 其中是
(1)抛物线上从点 (1,1) 到点 (4,2) 的一段弧 .
(2)从点 (1,1) 到点 (4,2) 的直线段
(3)先沿直线从点 (1,1) 到点 (1,2), 然后再沿直线到点 (4,2) 的折线 .
(4)曲线 , 上从点 (1,1) 到点 (4,2) 的一段弧 .
4.把对坐标的曲线积分划成对弧长的曲线积分 , 其中为
(1)在面内沿直线从点 (0,0) 到点 (1,1)
(2)沿抛物线从点 (0,0) 到点 (1,1)
(3)沿上半圆周从点 (0,0) 到点 (1,1)
5. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性.
(1) , 其中是由抛物面和所围成的区域的正向边界曲线.
(2), 其中是四
个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向
边界 .
6.利用曲线积分 , 求下列曲线所围成的图形的面积
(1)星形线 ,
(2)椭圆
7.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关 , 并计算积分值
(1)
(2)
8.利用格林公式 , 计算下列曲线积分
(1) , 其中为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界
(2), 其中为正向星形线
(3), 其中为在抛物面上由点 (0,0) 到的一段弧
(4), 其中是在圆周上由点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧
9.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分 , 并求这样的一个
(1)
(2)
(3)
第三部分级数
1.判别下列级数的收敛性
(1)
(2)
(3)
(4)
2.用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性
(3)
(4)
3.用比值审敛法判别下列级数的收敛性
（1）
（2）
（3）
4．用根值审敛法判别下列级数的收敛性
(1)
(2)
(3), 其中 , , , 均为正
数 .
5.判别下列级数的收敛性
(1)
(2)
(3)
(4)
6.判别下列级数是否收敛 ?如果是收敛的 , 是绝对收敛还是条件收敛 ?
(1)
(2)
(3)
(4)
7.求下列幂级数的收敛区间
(1)
(2)
(5)
(6)
8.利用逐项求导或逐项积分 , 求下列级数的和函数 .
(1)
(2)
(3)
9.将下列函数展开成的幂级数 , 并求展开式成立的区间 .
(1)
(2)
(3)
(4)
10.将展开成的幂级数 , 并求展开式成立的区间 .
11.将函数展开成的幂级数 .
12.将函数展开成的幂级数 .
13.将函数展开成的幂级数 .
14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.
(1)( 误差不超过 ;
(2)( 误差不超过
(3)( 误差不超过
15.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值.
(1)( 误差不超过
16.将函数展开成的幂级数
17.下列周期函数的周期为 , 试将展开成傅里叶级数 , 如果在上的表达式为
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案
高等数学（B2）期末模拟试卷（一） 一、选择题（本大题共 小题，每题 ，共 ） ? ) 1ln(41222 2 -++--= y x y x z ，其定义域为 ?????????????????????????????????（?） ? { } 41),(2 2<+ ???????????????????（?） ? 5- ? 1- ? 1 ? 5 ? 设05432:=+++∏z y x ，4 1 321:-= =-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?） ? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内 ? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{} 40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2 2y x f +为 D 上的连续函数，则 σ d y x f D )(22?? +可化为 ?????????????????????????????????????????????? ????（ ） ? σd y x f D )(1 22?? + ? σd y x f D )(21 22??+ σd y x f D )( 4 1 22??+ ? σd y x f D )(81 22??+ ? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?） ? x e cx y += ? x e c y x c +=+21 x c e c y x 21+= ? )(21x e x c c y += ? 下 列 哪 个 级 数 收 敛 ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（ ） ? ∑∞ =-1 ) 1(n n ? ∑ ∞ =+1 1001 n n ? ∑∞ =+1100n n n ? ∑∞ =1100100 n n ? 若 ??=D d 4 σ，其中 ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数 北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++ x 1 ②1 - - ④x 大一高数试题及答案 、填空题（每小题1分，共10分） ----- 2 1 1?函数 v =arcsi nJ 1 — x + _______ 的定义域为 Jl —x 2 2 2 ?函数 y = x ? e 上点（0,1 ）处的切线方程是 ________________ 4 ?设曲线过（0,1）,且其上任意点（ x , y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 3 .设f （X ）在X 。可导, 且f （x ） = A ，则怛。 f(X o 2h)- f(X o - 3h) h 5. x ”dx 6. lim x sin 1 X )二 x 设 f(x,y)=sin(xy) ,则 fx(x,y)= 9.微分方程 3 dx 3 Jh 2的阶数为 dx OO 10 .设级数 n=1 OO 刀 a n 发散，则级数刀 n=1000 二、单项选择题。 （1?10每小题1分，1 1?2 0每小题2分，共3 0分） 1.设函数 1 f (x) , g(x)二 1 -x 则f [g(x)]= () ① tf ( x, y ) ② t 2 f (x, y ) 2. x sin 丄 1 是() x ① 无穷大量 ② 无穷小量 ③ 有界变量 ④ 无界变量 3 .下列说法正确的是 ① F (X) +G (X)为常数 ② F (X) -G (X)为常数 ③ F (X) -G (X) =0 ④ d ! F (x)dx d I G ( x ) dx 1 dx dx 6. 1 -1 x |dx =( ) i ① 0 ②i ③2 ④3 7 .方程2x + 3y =1在空间表示的图形是 () ① 平行于xoy 面的平面 ② 平行于oz 轴的平面 ③ 过oz 轴的平面 ④ 直线 ① 若f ( X )在X = Xo 连续, 则f( X )在X = Xo 可导 ② 若f ( X )在X = Xo 不可导，则f( ③ 若f ( X )在X = Xo 不可微，则f( ④ 若f ( X )在X = Xo 不连续，则f( X )在X = Xo 不连续 X )在X = Xo 极限不存在 X )在X = Xo 不可导 4 .若在区间(a,b )内恒有 f ' ( X ) b)内曲线弧『=f(x )为 () 0 , f " ( X ) 0，则在(a. ① 上升的凸弧 ② 下降的凸弧 ③ 上升的凹弧 ④ 下降的凹弧 '.设 F '(x) G '( x)，则() 8.设 f(x,y)= x 3 y 3 x 2 y t a n ，则 f(tx,ty)= 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室 以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题 一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤ （C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω 大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020 （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x 大一高数期末考试试题 一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________ 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .高数期末考试试题及答案[1]
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