苏科版七年级上册数学 有理数单元测试卷(含答案解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数.

（1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示；

（2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________；

（3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________.

【答案】（1）解：距离A点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求.

（2）；5；9

（3）；或1

【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 .

故答案为9.

（ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点，

得点表示的数是 .

到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1.

故答案为，或1.

【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。

（2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。

2．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：

（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.

（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.

（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.

（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没

有.请说明理由.

【答案】（1）1

（2）1或-5

（3）6

（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，

∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，

当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，

∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.

【解析】【解答】（1）AB= =1，

故答案为：1

（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，

∴ =3，

∴-2-a=3或-2-a=-3，

解得：a=1或a=-5，

故答案为：1或-5

（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，

∴|a+4|+|a﹣2|= =6，

故答案为：6

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出答案；

（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；

（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.

3．如图，为原点，数轴上两点所对应的数分别为，且满足关于的整式与之和是是单项式，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动.

（1）求的值.

（2）当时，求点的运动时间的值.

（3）当点开始运动时，点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，若

，求的长.

【答案】（1）解：因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式

所以

所以m=-40，n=30.

（2）解：因为A、B所对应的数分别为-40和30，

所以AB=70,AO=40,BO=30，

当点P在O的左侧时：

则PA+PO=AO=40，

因为PB-（PA+PO）=10, PB=AB-AP=70-4t

所以70-4t-40=10

所以t=5.

当点P在O的右侧时:

因为PB

所以PB-（PA+PO）<0,不合题意，舍去

（3）解：①如图1,当点P在点Q左侧时，

因为AP=4t,BQ=2t,AB=70

所以PQ=AB-（AP+BQ）=70-6t

又因为PQ= AB=35

所以70-6t=35

所以t= ,AP= = ,

②如图2，当点P在点Q右侧时，

因为AP=4t，BQ=2t，AB=70，

所以PQ=（AP+BQ）-AB=6t-70，

又因为PQ= AB=35

所以6t-70=35

所以t=

所以AP= =70.

【解析】【分析】（1）根据单项式的次数相同，列方程即可得到答案；（2）分情况讨论：当点P在O的左侧时：当点P在O的右侧时.即可得到答案.（3）结合题意分别计算：①如图1,当点P在点Q左侧时，如图2，当点P在点Q右侧时.

4．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P 从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：

（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；

（2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？

（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S，当P从A运动到O时,所

需时间为：（秒），

当0≤t≤5时，S＝10﹣2t，

当P从O运动到B时,所需时间为：（秒）

∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒

当5＜t≤15时，S＝t﹣5，

即动点P在运动过程中距O点的距离S＝；

（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a,

10+（a-5）+a=28

解得，a＝，

则点M所对应的数是：18﹣＝，

即点M所对应的数是；

（3）解：存在，t＝2或t＝，

理由：当0≤t≤5时，

10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1，

解得，t＝2

当5＜t≤8时，

（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1，

解得，t＝，

当8＜t≤15时，

（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1

该方程无解，

故存在，t＝2或t＝ .

【解析】【分析】（1）分点P在AO上和点P在OB上两种情况，先求出点P在每段时t 的取值范围，再根据题意分别列出代数式可得答案；（2）根据相遇时P，Q运动的时间相等，P，Q运动的距离和等于28可得方程，根据解方程，可得答案；（3）分0≤t≤5，5＜t≤8，8＜t≤15三种情况，根据PO=BQ，可得方程，分别解出方程，可得答案.

5．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式6x3y－2xy＋5的二次项系数为a，常数项为b

（1）直接写出：a＝________，b＝________

（2）数轴上点P对应的数为x，若PA＋PB＝20，求x的值

（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，求经过多少秒后，M、N两点相距1个单位长度

【答案】（1）﹣2；5

（2）解：①当点P在点A左边，由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴

②当点P在点A右边，在点B左边，由PA+PB=20得: x ﹣（﹣2 ）+(5﹣x)=20,

∴，不成立

③当点P在点B右边，由PA+PB=20得:x ﹣（﹣2 ）+(x﹣5), ∴ .

∴或11.5

（3）解：设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，

由运动知，AM＝t，BN＝2t，

① 当点N到达点A之前时，

Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，

t＋1＋2t＝5＋2，

所以，t＝2秒，

Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，

t＋2t﹣1＝5＋2，

所以，t＝秒，

② 当点N到达点A之后时，

Ⅰ、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度，

t﹣[2t﹣（5＋2）]＝1，

所以，t＝6秒；

Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，

[2t﹣（5＋2）]﹣t＝1，

所以，t＝8秒；

即：经过2秒或秒或6秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度.

【解析】【解答】（1）∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，

∴a=-2，b=5，

故答案为：-2，5；

【分析】（1）根据多项式的相关概念即可得出a,b的值；

（2）分①当点P在点A左边，②当点P在点A右边，③当点P在点B右边，三种情况，根据 PA+PB=20 列出方程，求解并检验即可；

（3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，故AM＝t，BN＝2t，分① 当点N 到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M 时，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，几种情况，分别列出方程，求解即可.

6．已知：线段AB＝20cm.

（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，点Q沿线段BA自B点向A 点以3厘米/秒运动，经过________秒，点P、Q两点能相遇.

（2）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后P、Q相距5cm?

（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，∠POB＝60°，点P绕着点O以60°/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q 运动的速度.

【答案】（1）4

（2）解：设经过a秒后P、Q相距5cm，

由题意得，20－（2＋3）a＝5，

解得：，

或（2＋3）a?20＝5，

解得：a＝5，

答：再经过3秒或5秒后P、Q相距5cm

（3）解：点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为 s或

s，

设点Q的速度为ycm/s，

当2s时相遇，依题意得，2y＝20?2＝18，解得y＝9

当5s时相遇，依题意得，5y＝20?6＝14，解得y＝2.8

答：点Q的速度为9cm/s或2.8cm/s．

【解析】【解答】解：（1）设经过x秒两点相遇，

由题意得，（2＋3）x＝20，

解得：x＝4，

即经过4秒，点P、Q两点相遇；

故答案为：4．

【分析】（1）设经过x秒两点相遇，根据总路程为20cm，列方程求解；（2）设经过a秒后P、Q相距5cm，分两种情况：用AB的长度?点P和点Q走的路程；用点P和点Q走的路程?AB的长度，分别列方程求解；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．

7．数轴上两个质点A．B所对应的数为?8、4，A．B两点各自以一定的速度在数轴上运

动，且A点的运动速度为2个单位/秒。

（1）点A．B两点同时出发相向而行，在4秒后相遇，求B点的运动速度；

（2）A、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；

（3）A、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CA=2CB，若干秒钟后，C停留在?10处，求此时B点的位置?

【答案】（1）解：设B点的运动速度为x个单位/秒，A.B两点同时出发相向而行，他们的时间均为4秒，

则有：，

解得x=1，

所以B点的运动速度为1个单位/秒

（2）解：设经过时间为t.

则B在A的前方，B点经过的路程?A点经过的路程=6，则

2t?t=6，解得t=6

A在B的前方，A点经过的路程?B点经过的路程=6，则

2t?t=12+6，解得t=18

（3）解：设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t，始终有CA=2CB，

即：

解得y=

当C停留在?10处,所用时间为：秒

B的位置为

【解析】【分析】（1）设B点的运动速度为x个单位/秒，根据A.B两点同时出发相向而行，时间均为4秒，列出方程即可，解得x即可；（2）分两种情况讨论：设经过时间为t 后，则B在A的前方，B点经过的路程-A点经过的路程=6；A在B的前方则A点经过的路程-B点经过的路程=6；列出等式解出t即可；（3）设点C的速度为y个单位/秒，运动时

间为t，始终有，，得y= ，当C停留在?10处,所用时间为：秒，B的位置为

8．阅读材料：求的值.

解：设

将等式两边同时乘以2，得

将下式减去上式，得

即

请你仿照此法计算：

（1）

（2）

【答案】（1）解：根据材料，设M= ①，

∴将等式两边同时乘以3，则3M= ②，

由② ①，得：，

∴；

∴ .

（2）解：根据材料，设N= ③，

∴将等式两边同时乘以5，④，

由④ ③，得：，

∴；

∴ .

【解析】【分析】（1）设M= ，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=

，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.

9．如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒

后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位：单位长度/秒)

（1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；

（2）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？

（3）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C 同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上点A时，C点立即停止运动，若C点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

【答案】（1）解：设点A的速度为每秒x个单位长度，则点B的速度为每秒4x单位长度依题意得3x+3×4x=15

解之得x=1

所以点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4单位长度

如图，

（2）解：设y秒时原点恰好在A、B两点的中间，依题意得

3+y=12-4y

解之得y=1.8

所以A、B两点运动1.8秒时，原点就在点A、点B的中间

（3）解：设点B追上点A的时间为z秒，依题意得

4z=15+z

解之得z=5

所以C行驶的路程为：5×20=100单位长度。

【解析】【分析】（1）根据两点的运动速度，设点A的速度为每秒x个单位长度，则点B 的速度为每秒4x单位长度，再根据两点之间相距15个单位长度，建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。

（2）由题意设y秒时原点恰好在A、B两点的中间，由此建立关于y的方程，解方程求出y的值。

（3）设点B追上点A的时间为z秒，根据已知条件建立关于z的方程，解方程求出z的值，然后求出C行驶的路程即可。

10．同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：

（1）求|5－(－2)|=________.

（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________.

（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.

【答案】（1）7

（2）-5，-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2

（3）解：|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3.理由如下：

当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；

当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；

当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3.

故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3

【解析】【解答】（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7.

故答案为：7；（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；

当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在.

故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题.

11．如图，点、、是数轴上三点，点表示的数为，， .

（1）写出数轴上点、表示的数：________，________.

（2）动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为秒.

①求数轴上点，表示的数（用含的式子表示）；

② 为何值时，点，相距个单位长度.

【答案】（1）2

；-10

（2）解：①根据题意得，点表示的数为，点表示的数为 .

②当点、相距个单位长度时，

若P在Q的左侧，则，解得；

若P在Q的右侧，则，解得，

所以的值为或

【解析】【解答】（）因为，所以表示的数为，

因为，所以表示的数为 .

【分析】（1）根据BC，AB的长和点B，A在数轴上的位置，可得到点B，A表示的数；（2）①点P表示的数比-10大4t，点Q表示的数比C小2t；②需要分两种情况讨论：若P在Q的左侧，PQ=6；若P在Q的右侧，PQ=6.

12．已知表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索：

（1）找出所有符合条件的整数，使，这样的整数是________；（2）利用数轴找出，当时，的值是________；

（3）利用数轴找出，当取最小值时，的范围是________．

【答案】（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2

（2）-5或4

（3）

【解析】【解答】解：（1）∵ = 表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，

又∵表示2与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6，

∴当数轴上表示x的点在表示-4的点的左侧时，，不符合题意，当数轴上表示x的点在表示2的点的右侧时，，不符合题意，

当数轴上表示x的点在表示-4的点与表示2的点之间（包括表示-4与2的点）时，

，符合题意，

∴，

∴使，整数是-4，-3，-2，-1，0，1，2．

故答案是：-4，-3，-2，-1，0，1，2；（2）∵ = 表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，

∴当x=-5时，表示-5与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，表示-5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，即：，

∴x=-5符合题意，

当x=4时，表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，表示4与2两数在数

轴上所对应的两点之间的距离为2，即：，

∴x=4符合题意，

综上所述：当时，的值是：-5或4．

故答案是：-5或4；（3）∵ = 表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，

∴当数轴上表示x的点在表示-7的点的左侧时，，

当数轴上表示x的点在表示4的点的右侧时，，

当数轴上表示x的点在表示-7的点与表示4的点之间（包括表示-7与4的点）时，

，

∴当取最小值时，．

故答案是：．

【分析】（1）根据绝对值的几何意义，得表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（2）根据绝对值的几何意义，得表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，得表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解．